2024-2025学年苏科版九年级上册月考数学试卷 （10月份）（含解析）

2024-2025学年九年级(上)月考数学试卷(10月份)

一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为()

A.2x2+xy=3B.x2=1C,x2+--5=0D.ax2+bx+c=0

2.用配方法解方程久2一4x-4=0时，原方程应变形为()

A.(x-2)2=0B.(x—2)2=8C.(x+2)2=0D.(x+2)2=8

3.。。以原点为圆心，5为半径，点P的坐标为(4,2),则点尸与。。的位置关系是()

A.点尸在。。内B.点P在。。上

C.点P在。。外D.点尸在。。上或。。外

4.如图，N8是。。直径，ZXOC=130°,贝吐。=()

A.65°

B.25°

C.15°

D.35°

5.如图，是。。的直径，。。垂直弦/C于点。，的延长线交O。于点£若4C=4裾，DE=4,则

8c的长是()

A.1

B,"

C.2

D.4

6.如图，N5是半圆O的直径，点。在半圆。上，AB=2^61,AD=10,C是弧8□上的一个动点，连接

AC,过。点作DHLAC于8,连接在点C移动的过程中，AHr的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

7.一元二次方程/=2的根是.

8.若关于X的一元二次方程依2—6x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.

9.某菜鸟驿站第一天揽件100件，第三天揽件169件，设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为x,根据题意所

列方程为.

10.如图，N8是半圆。的直径，点C,。在半圆。上.若乙4BC=54。,

则NBDC的度数为.

11.已知直角三角形的两条直角边分别为6、8,则它的外接圆半径R=.

12.若弦长等于半径，则弦所对圆周角的度数是.

13.若三角形的两边长分别是2和4,第三边的长是方程N—6X+8=0的一个根，则这个三角形的周长为

14.平面上一点N与。。上的点的最短距离为2,最长距离为10,则。。的半径为,

15.已知a,b是关于x的方程/+3%-2010=0的两根，则-a-4b的值是,

16.如图，在半圆。中，C是半圆上的一个点，将前沿弦NC折叠交直径

48于点。，点£是前的中点，连接。E,若。E的最小值为避一1,贝妹8

三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)

解方程：(1)/—2x—3=0.

(2)(久—3)2=2x—6.

18.(本小题6分)

如图，在。。中，点C是蓝的中点，D、£分别是半径。4和的中点，求证：CD=CE.

19.(本小题8分)

已知关于x的方程0-3)(%-2)-p2=0.

(1)求证：无论〃取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

(2)设方程两实数根分别为xi，x2,且满足靖+始=3犯冷，求实数p的值.

20.(本小题8分)

如图这是一个残缺的圆形部件，已知/,B,C是该部件圆弧上的三点.

(1)利用尺规作图作出该部件的圆心；(保留作图痕迹)

(2)若A4BC是等腰三角形，底边BC=16cm,腰AB=10cm,求该部件的半径艮

21.(本小题8分)

如图，/2为。。的直径，。是弦NC延长线上一点，AC=CD,D2的延长线交。。于点E,连接CE.

(1)求证乙4=N。；

(2)若第的度数为108。，求NE的度数.

E

B

22.(本小题8分)

某汽车专卖店经销某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型

号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.

(1)当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润.

(2)若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价.

23.(本小题8分)

如图，四边形48CD内接于O0,连接NC、AD相交于点£

(1)如图1,若AC=BD,求证：AE=DE；

(2)如图2,若2C1BD,连接OC,求证：AOCD=AACB.

图1图2

24.(本小题8分)

已知，在。。中，设前所对的圆周角为NB4C,求证：NB4C=%B0C.

证明；圆心。可能在4艮4c的一边上，内部和外部(如图①、②和③).

如图①，当圆心。在NB4C的一边上时.

•••OA=OC,

•••Z-A=乙C,

Z.BOC=Z-A+Z.C,

ABOC=2^A,即NBac/zBOC.

请你完成图②、图③的证明.

A

25.（本小题8分）

如图，48是。。的直径，弦CD14B,垂足为K为弧ZC上一动点，AK,0c的延长线相交于点尸,

连接CK,KD.

(1)求证：4AKD=4CKF；

(2)已知力B=8,CD=4y/3,求NCKF的大小.

26.（本小题8分）

阅读下面的材料，解决问题：

解方程-—5*2+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设尤2=>,那么久4=y2,于是原方程可变为y2-5y+4=0,解得月=1,y2=4.

当y=l时，x2=1,x=±1；

当y=4时，久2=4,x=±2；

:•原方程有四个根：x1=l,x2--l,x3=2,x4=—2.

（1）解方程（7+%）2—4（久2+%）—12=0；

（2）解方程：/—3田=18.

27.（本小题10分）

【问题背景】

在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣.

教材原题：如图1,BD、CE是AABC的高，M是2C的中点.点3、C、D、£是否在以点M为圆心的同

一个圆上？为什么？

小军在完成此题解答后提出：如图2,若BD、CE的交点为点。，则点/、D、。、£四点也在同一个圆

上.

(1)请对教材原题或小军提出的问题进行解答.(选择一个解答即可)

当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在

直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决.

(2)如图3,AABC的两条高2D、CE相交于点。，连接工。并延长交2C于点反

求证：//为ANBC的边8c上的高.

【拓展延伸】

在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：

⑶在(2)的条件下连接EF、尸。(如图4),设=贝吐40B的度数为.(用含a的式子表示)

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：/、含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；

夙是一元二次方程，故本选项符合题意；

C、分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意；

D、当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：B.

根据一元二次方程的定义逐个判断即可.

本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知

数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

2.【答案】B

【解析】解：X2—4%—4=0,

移项，得%2-4%=4,

两边同时加4,得久2一4%+4=8,

(x-2/=8,

故选：B.

根据配方法即可求出答案.

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型.

3.【答案】A

【解析】解：过尸作PM1久轴于

点P的坐标为(4,2),

.-.OM=4,PM=2,

在RtAOMP中，由勾股定理得：OP=«TN="U<5,

•••O。是以原点为圆心，5为半径的圆，

点尸和O。的位置关系是点尸在O。内，

故选：A.

画出图形，求出0P的长，再根据点与圆的位置关系得出即可.

本题考查了点的坐标、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，能求出。尸的长是解此题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：••・乙4。。=130°,

NBOC=180°-AA0C=180°-130°=50°,

1

:・乙D=]x50=25.故选：B.

先根据邻补角的定义求出NB0C,再利用圆周角定理求解.

本题利用了圆周角定理和邻补角的概念求解.

5.【答案】C

【解析】【分析】

由垂径定理可知，点。是/C的中点，则。。是AABC的中位线，所以。设。。=羽贝法C=2

x,0E=4-x,AB^20E=8-2x,在RtAABC中，由勾股定理可得A/=AC2+吕。2,即(8—2x)2

=(4出产+(2x)2,求出x的值即可得出结论.

【解答】

解：・••4B是。。的直径，

.•.“=90°,

0D1AC,

•••点。是/C的中点，

.•・。。是△ABC的中位线，

0D//BC,且。。=如C,

设。D=x,则BC=2x,

•・,DE=4,

OE=DE—OD=4—%,

・•・AB=20E=8—2x,

在中，由勾股定理可得ZB2=AC2+BC2,

即(8-2久A=(4*)2+(2%)2,

解得X=1.

BC=2久=2.故选:C.

【点评】

本题主要考查垂径定理，中位线的性质与判定，勾股定理等知识，设出参数，根据勾股定理得出方程是解

题关键.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅

助线解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

如图，取的中点连接区D,HM,BM.由题意点〃在以〃为圆心，为半径的OM上，推出当

M、H、8共线时，8〃的值最小即可.

【解答】

解：如图，取的中点连接BO,HM,BM.

■.■DH1AC,

■■^AHD=90°,

.・•点〃在以M为圆心，为半径的OM上,

.♦.当M、H、8共线时，8〃的值最小，

•・•48是直径，

N4DB=90°,

•••BD=J（2V61）2-io2=12,

BM=y/BD2+DM2=y/122+52=13,

的最小值为BM-MW=13-5=8.

故选：D.

7.【答案】x=±"

【解析】解：TX2=2,

两边开平方得：X=+72,

%1="，久2=一也.

故答案为：X\=",X2=—V2.

根据直接开平方法解方程即可.

此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的

右边，化成N=a(a20)的形式，利用数的开方直接求解.

8.【答案】卜<9且人力。

【解析】解：；依2_6X+1=。有两个不相等的实数根，

••.A=36—4/c>0,且

解得k<9且k丰0；

故答案是：卜<9且人去0.

根据一元二次方程—+1=0有两个不相等的实数根，知A=62—4ac>0,然后据此列出关于左的方

程，解方程即可.

本题主要考查了一元二次方程的根的判别式.解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条

件.

9.【答案】100(1+x)2=169

【解析】解：设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为x,根据题意所列方程为：

100(1+久)2=169.故答案为：100(1+*)2=169.

设该菜鸟驿站揽件日平均增长率为x,根据题意列出一元二次方程即可求解.

本题考查了一元二次方程的应用增长率问题，根据题意列出一元二次方程是解题的关键.

10.【答案】144°

【解析】解：••・48是半圆。的直径，

：.^ACB=90°,

••ZBC=54。，

.­./.CAB=90°-AABC=36°,

•••四边形4BDC是。。的内接四边形，

AA+ZBDC=180°,

/8℃=180°-/4=144°.故答案为：144°.

根据直径所对的圆周角是直角，可得NACB=90。，从而求出Z_C4B,再根据圆内接四边形对角互补，即可

解答.

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

11.【答案】5

【解析】解：,；直角边长分别为6和8,

斜边是10,

•••这个直角三角形的外接圆的半径为5,

故答案为：5.

根据勾股定理即可得到结论.

本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的

圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.也考查了勾股定理.

12.【答案】30°或150°

【解析】解：由弦长等于圆的半径得到这条弦和两条半径组成了等边三角形，因此这条弦所对的圆心角是

60°,

①当圆周角的顶点在优弧上时，此时圆周角的度数=£x60。=30。，

②当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的对角互补，得到此时圆周角的度数=180。一30。=

150°,

•••弦所对圆周角的度数是30°或150。.

故答案为：30。或150°.

根据圆的一条弦长等于它的半径得到这条弦和两条半径组成了等边三角形，所以这条弦所对的圆心角是

60°,再根据弦所对的圆周角有两种情况即可求解，

本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是求出这条弦所对的圆心角

的度数，分两种情况讨论.

13.【答案】10

【角犁析】解：%2—6%+8=0

（x-2）0-4）=°解得x=2或x=4

当x=2时，2+2=4,不能构成三角形.舍去；

当尤=4时，2+4>4,4-2<4,可以构成三角形，故三角形的周长为2+4+4=10.

故答案为：10.

利用因式分解法求出X的值，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形，求出周长即可.

本题主要考查三角形的三边关系以及解一元二次方程，熟知以上知识是解题的关键.

14.【答案】6或4

【解析】解：当点/在圆内时，。。的直径长为10+2=12,半径为6；

当点/在圆外时，O。的直径长为10—2=8,半径为4；

即。。的半径长为6或4.

故答案为：6或4.

分点/在圆内或圆外进行讨论.

本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距

离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.

15.【答案】2022

【解析】解：a是关于x的方程N+3久—2010=0的两根，

.­.a2+3a—2010=0,

a2+3a=2010,

原式=-4(a+b)+2010,

・•,a与b是关于x的方程N+3x-2010=。的两根，

a+b=—39

・・.原式=-4x(-3)+2010=2022.

故答案为：2022.

先根据一元二次方程的解得到a2+3a—2010=0,则a2+3a=2010,所以原式可化简为一4(a+b

)+2010,然后利用根与系数的关系求解.

本题考查了根与系数的关系：若久1，久2是一元二次方程公2+6刀+。=0(£1力0)的两根时，%1+%2=

%1•冷=泉也考查了一元二次方程的解.

16.【答案】2

【解析】解：补全弧所在的圆及圆心，连接CE,OC,O'E,O'C,

由三角形任意两边之差小于第三边得，当。、C、E共线时最小，即。E="—1,

设部的弧度为必，

•••林的弧度为：(180-x)。,

VZ.CAD=4CAB,

•••曲的弧度为:(180-%)°,

•••将废沿弦/C折叠交直径AB于点D,

屈的弧度为£,

•••筋的弧度为：%°-(180-%)°=(2%-180)°,

・・•点E为弧4D中点，

；•会的弧度为：!(2x-180)°=(x-90)°,

••・禧的弧度为：(180-%)°+(%-90)°=90°,

即禧所对圆心角NCO'E=90°,

设半圆。的半径为r,则由折叠的性质得：。£=。£=「，

•••OE=72-1,

：.CE=r+y/2-l,

.../+/=&+*—1)2,

解得：勺=1,宝=2"—3(不符合题意，舍去)，

AB=2,

故答案为：2.

连接CE,OC,由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时O£最小，设蓝的弧度为£,求

出福的弧度为90。，再设半径为A列方程求解即可.

本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键.

17.【答案】解:(l)x2-2x-3=0,

移项，得：x2-2x=3,

配方,得：x2-2x+1=3+1,即O—1)2=4,

两边同时开方，得：X—1=±2,

=3,%2——］；

(2)•••(久—3)2=2(x—3),

(x_3)2_2(%-3)=0,

则(％—3)(%—5)=0,

■■■x—3—。或x—5=0,

解得刀1—3,*2=5.

【解析】(1)方程利用配方法求解即可；

(2)方程移项后，利用提公因式法因式分解求解即可.

本题考查了解一元二次方程，掌握配方法以及提公因式法因式分解是解答本题的关键.

18.【答案】证明：连接CO,如图所示，

••・OA=OB,且。、£分别是半径OA和OB的中点,

0D-0E,

又•点C是蓝的中点，

•••AC=CB,

/.Z.COD=Z-COE,

在△C。。和△COE中，

(OC=OC

Z.COD=(COE

0D=0E

••.ACOD沿△COE(SAS),

CD=CE.

【解析】连接OC,构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD=CE.

本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质.判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS,SSA,HL.

注意：AAA.SSN不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对

应相等时，角必须是两边的夹角.

19.【答案】(1)证明：方程整理为久2—5x+6—p2=o,

；.△=(一5尸—4x1x(6-p2)=1+4p2,

...4P2>o,

0,

这个方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：根据题意得％1+刀2=5,%1%2-6—p2,

=

V+%23%1%2>

(%i+*2)之—2刀1%2=3%1比2，

即25=5(6—p2),

p=+1.

【解析】本题考查了一元二次方程a/+6%+c=0(aH0)的根的判别式△=b2-4ac,当△>。时，方程

有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当△<()时，方程没有实数根，也考查了

一元二次方程的根与系数的关系.

(1)先把方程化为一般式，再计算出A=l+4p2,根据非负数的性质得到△>(),则根据判别式的意义得到

这个方程总有两个不相等的实数根；

(2)根据根与系数的关系得到得X1+%2=5,%1%2=6-p2,由已知条件变形得到01+X2)2-2x^2=3%1

K2，即25=5(6—p2),然后解关于P的方程即可.

20.【答案】解：(1)如图所示：分别作弦和/C的垂直平分线交点。即为所求的圆心;

(2)连接/。，OB,BC,BC交OA于D.

■：AB=AC,

•••AB=AC,

•••OALBC,

BD=DC,

BC=16cm,

.・.BD—8(cm),

AB—10cm,

AD=7AB2-BD2=^/102-82=6(cm),

设圆片的半径为R,在RtABOD中，0D=(R—6)cm,

R2=82+(R—6)2,

解得：R=ycm,

••・圆片的半径R为筝

【解析】(1)作相等/C的垂直平分线交于点。，以。为圆心，04为半径作。。即可；

(2)利用垂径定理，勾股定理求解.

本题考查作图-应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识

解决问题.

21.【答案】（1）证明：连接8C,

•.TB是。。的直径，

•••即AD1BC,

又AC=CD,

■■AB=BD,

Z.A=Z.D；

（2）解：•.•薪的度数为108°,

・•・乙EBA=54°,

又4E8A=Z.A+zD,Z,A=zD,

・・.41=%EBA=27。,

•••Z-E—Z.A=27°.

【解析】（1）连接BC,首先证明B4=BD,即可解决问题；

（2）根据0的度数为108。，可得NEB4=54。，又=乙4=ND,所以NA=，NEB4=27。，即

可求出答案.

本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考

题型.

22.【答案】解：（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：失¥xl+8=14,

则此时，平均每周的销售利润是：（22-15）x14=98（万元）；

（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：

（25-%-15）（8+2%）=90,

解得％1=1,x2=5,

当x=l时，销售数量为8+2x1=10（辆）;

当x=5时，销售数量为8+2x5=18（辆）,

为了尽快减少库存，贝卜=5,此时每辆汽车的售价为25—5=20(万元)，

答：每辆汽车的售价为20万元.

【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部

分.找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利x销售的辆数=90万元是解决问题的关键.

(1)根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1

辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润=一辆汽车的利润X销售数量

列式计算；

(2)设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利X销售的辆数=90万元，列方程求出x的值，进而得到每辆

汽车的售价.

23.【答案】证明：⑴•••4C=BD,4r---、

^AB+BC=BC+CD,j//小)

^ADB=ACAD,c

AE=DE；图2

(2)作直径CR连接DR如图2,

AC1BD,

・•.AAED=90°,

・・・N4DE+"/D=90°,

•••乙ACB=乙ADE,ZF=Z.CAD,

cACB+ZF=9O°,

・・•CF为直径，

/.ZCDF=90°,

・•.ZF+ZFCP=90°,

Z.ACB=Z-FCD,

即4OCD=4ACB.

【解析】(1)利用"=得到标=访，则旋=曲，然后根据圆周角定理得到乙4DB=NC4。，从而得到

结论；

(2)作直径CR连接。尸，如图2,先利用垂直定义得到N4DE+4010=90。，再利用圆周角定理得到N

ACB=^ADE,乙F=4CAD,乙CDF=90。,然后根据等角的余角相等得到结论.

本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.也考查了圆周角定理.

24.【答案】解：图②证明：如图②所示，连接4。并延长交圆。于

图②

OA=OB=0C,

Z-OAB=Z-OBA,Z.OAC=/-OCA,

•••乙BOD=/.OBA+乙。28,乙COD=Z-OCA+NOZC,

/.Z-BOD=2/-0AB,Z.COD=2/-0AC,

•••乙BOD+Z.COD=2(OAB+2N0AC,

.­.Z.BOC=2/-BAC,BPZB^C=1ZBOC；

图③证明：如图③所示，延长8。交圆。于E,

由图①的证明可知NE=jzBOC,

Z71=^ABAC.

【解析】图②证明：如图②所示，连接/。并延长交圆。于。，根据。a=OB=OC,得到NO4B=N

OBA,N04C=N0C4利用三角形外角的性质得到NB0D=2N(MB,乙COD=2乙0AC,由此证明即可；

图③证明：如图③所示，延长80交圆。于£,由同弧所对的圆周角相等得到NE=ABAC,再由图①的证

明等量代换即可证明图③.

本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，圆周角定理，同弧所对的圆周角

相等等等，熟知相关知识是解题的关键.

25.【答案】（1）证明:连接ZD、AC,

••・NCKF是圆内接四边形ZDCK的外角，

•••Z.CKF+/.AKC=180°,UKC+Z.ADC=180°

•••乙CKF=/.ADC,

•­•AB为。。的直径，弦CO1AB,

BD=BC,

•••AD=AC,

：.Z.ADC=Z.AKD,

■■■^LAKD=NCKF；

(2)解：连接OD,

,"B为O。的直径，AB=8,

・•.OD=OA=4,

•.•弦CD14B,CD=473,

:.DE=CE=*D=2B

在Rt△ODE中,OE=y/OD2-DE2=2,

・••AE=6,

在RtZkAOE中，tanZ-ADE==A/3,

DE27s

・•・AADE=60°,

,:乙CKF=/.ADE=60°.

【解析】⑴连接4。、4c根据“圆内接四边形对角互补”以及同角得到补角相等，推知=乙4DC；

然后由圆心角、弧、弦间的关系以及圆周角定理证得乙4OC=乙4KD；最后根据图中角与角间的和差关系

证得结论;

(2)连接。。.利用垂径定理知DE=CE=2CD=2平,然后在Rt△ODE中根据勾股定理求得0E=2,最后在

RM4DE中利用三角函数的定义求得tan〃DE=掷，由等量代换知NCKF=60°.

此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、垂径定理、勾股定理以及解直角三角形等知识，熟练运用

有关知识是解题的关键.

26.【答案】解:(1)设/+%=%

则原方程可化为：y2-4y