2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算学案含解析新人教A版必修4

PAGE2．3.2平面对量的正交分解及坐标表示2．3.3平面对量的坐标运算内容标准学科素养1.了解平面对量的正交分解，驾驭向量的坐标表示.2.驾驭两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.应用直观想象提升数学运算授课提示：对应学生用书第57页[基础相识]学问点一平面对量的正交分解阅读教材P94～97，思索并完成以下问题力可以在不同方向上进行分解，那么向量是否可以分解为不共线的两个向量的和？(1)假如向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.相互垂直的两个向量能否作为平面内全部向量的一组基底？提示：可作为基底．(2)在平面直角坐标系中，取x轴同向的单位向量i，取y轴同向的单位向量j作为基底，坐标平面上的任一向量a可用(i，j)唯一表示吗？提示：a可以写为λ1i＋λ2j且唯一．学问梳理把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量正交分解．学问点二平面对量的坐标表示思索并完成以下问题在平面直角坐标系中，每个点都有唯一一对坐标表示，那么平面直角坐标系中的向量可用坐标表示吗？(1)如图，在平面直角坐标系中，A(3，2)，那么向量eq\o(OA,\s\up6(→))用x轴，y轴上的单位向量i，j如何表示？提示：eq\o(OA,\s\up6(→))＝3i＋2j.(2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，平面内的向量a用i，j如何表示？提示：a＝xi＋yj.学问梳理(1)平面对量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面对量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．②在直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)．学问点三平面对量的坐标运算思索并完成以下问题已知a＝(x1，y2)，b＝(x2，y2)，能得出a＋b，a－b，λa的坐标吗？设a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，0)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，2)，用几何法求a＋b，a－b.提示：以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))为邻边作平行四边形OACB，作CD⊥x轴于D点．可知|AD|＝1，∴C(4，2)，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝(4，2)，即a＋b＝(3，0)＋(1，2)＝(4，2)．延长BO至B′，使|BO|＝|OB′|，∴B′(－1，－2)，以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB′,\s\up6(→))为邻边作平行四边形OAC′B′，则C′(2，－2)，∴a－b＝eq\o(OC′,\s\up6(→))＝(2，－2)，即a－b＝(3，0)－(1，2)＝(2，－2)．学问梳理设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝(λx1，λy1)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)[自我检测]1．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b等于()A．(－1，2) B．(1，－2)C．(－1，－2) D．(1，2)答案：A2．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－5，－1)，则向量eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(1,2)))C．(－8，1) D．(8，1)答案：A授课提示：对应学生用书第58页探究一平面对量的坐标表示[教材P96例3]方法步骤：由点的坐标表示向量的坐标[例1]如图，已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°.(1)求向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标；(2)若B(eq\r(3)，－1)，求eq\o(BA,\s\up6(→))的坐标．[解析](1)利用三角函数的定义，得sin60°＝eq\f(y,|\o(OA,\s\up6(→))|)，cos60°＝eq\f(x,|\o(OA,\s\up6(→))|)，∴y＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|·sin60°＝4eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝6，x＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|·cos60°＝4eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3)，∴A(2eq\r(3)，6)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，6)－(eq\r(3)，－1)＝(eq\r(3)，7)．方法技巧求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．跟踪探究1．在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．解析：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则a1＝|a|cos45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2).a2＝|a|sin45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，b1＝|b|cos120°＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)，b2＝|b|sin120°＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，c1＝|c|cos(－30°)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，c2＝|c|sin(－30°)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2.因此a＝(eq\r(2)，eq\r(2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，c＝(2eq\r(3)，－2)．探究二平面对量的坐标运算[教材P97例4]方法步骤：将向量用坐标表示，按向量坐标法则进行运算．[例2](1)已知平面上三个点A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)已知a＝(1，2)，b＝(－3，4)，求向量a＋b，a－b，3a－4b[解析](1)∵A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7，5)－(4，6)＝(3，－1)．eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，8)－(4，6)＝(－3，2)．∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，－1)＋(－3，2)＝(0，1)．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)．2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝2(3，－1)＋eq\f(1,2)(－3，2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，－1)).(2)a＋b＝(1，2)＋(－3，4)＝(－2，6)．a－b＝(1，2)－(－3，4)＝(4，－2)．3a－4b方法技巧平面对量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则干脆应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．跟踪探究2.已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求下列向量的坐标：(1)2a＋3b(2)a－3b；(3)eq\f(1,2)a－eq\f(1,3)b.解析：(1)2a＋3b＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)．(2)a－3b＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)．(3)eq\f(1,2)a－eq\f(1,3)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)，\f(2,3))).探究三平面对量坐标运算的应用[教材P97例5]方法步骤：点的坐标→向量的坐标→D的坐标．角度1由相等的向量求参数的值[例3]已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，试求λ为何值时：(1)点P在第一、三象限的角平分线上；(2)点P在第三象限内．[解析]设点P的坐标为(x，y)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝3＋5λ，,y－3＝1＋7λ，))则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5＋5λ，,y＝4＋7λ.))(1)若点P在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝eq\f(1,2).(2)若点P在第三象限内，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＋5λ<0，,4＋7λ<0，))∴λ<－1.角度2向量运算与平面几何的综合应用[例4]如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O(0，0)，则AC与OB的交点P的坐标为________．[解析]法一：由题意知P，B，O三点共线，又eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4，4)，故可设eq\o(OP,\s\up6(→))＝teq\o(OB,\s\up6(→))＝(4t，4t)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4t，4t)－(4，0)＝(4t－4，4t)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6)．又∵A，C，P三点共线，∴eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴6(4t－4)＋8t＝0，解得t＝eq\f(3,4)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝(3，3)，即点P的坐标为(3，3)．法二：设点P(x，y)，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，易知eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4，4)，∵P，B，O三点共线，∴eq\o(OP,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，∴4x－4y＝0.∵P，A，C三点共线，∴eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，易求得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)－(4，0)＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6)，∴6(x－4)＋2y＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－4y＝0，,6（x－4）＋2y＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3，))∴点P的坐标为(3，3)．[答案](3，3)方法技巧(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，这是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪探究3.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，求M，N及eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．解析：法一：由A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，得eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))＝3(1，8)＝(3，24)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))＝2(6，3)＝(12，6)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则eq\o(CM,\s\up6(→))＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，x1＝0，y1＝20；eq\o(CN,\s\up6(→))＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，x2＝9，y2＝2，所以M(0，20)，N(9，2)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．法二：设点O为坐标原点，则由eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，可得eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝2(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，从而eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，即点M(0，20)，N(9，2)，故eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．授课提示：对应学生用书第59页[课后小结]1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个相互垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据，向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．2．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示．3．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不肯定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．[素养培优]1．混淆向量坐标与点的坐标[典例]在▱ABCD中，已知eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，3)，对角线AC，BD相交于O点，则eq\o(CO,\s\up6(→))的坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))易错分析eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，7)错认为D(3，7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，3)错认为B(－2，3)自我订正[解析]eq\o(CO,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)×(－2，3)－eq\f(1,2)×(3，7)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2