2025年高考数学总复习：平面向量的基本定理及坐标表示

第二节平面向量的基本定理及坐标表示

考试要求：1.理解平面向量基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

3.能用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

必备知识落实“四基”

自查自测

知识点一平面向量基本定理

1.判断下列说法的正误，正确的画“，错误的画“X”.

(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一个基底.(V)

(2)基底中的向量可以是零向量.(X)

⑶平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定

的.(J)

(4)ei,e2是平面内两个不共线的向量，若存在实数九“使得Mi+"e2=0,则％=〃=0.(/)

2.在/ABC中，点N满足祝=2就，丽=配.若丽=工方+＞就，贝！Jx=，y

解析：如图.0^）MN=MC+CN=^AC+^CB=^AC+^（CA+AB）=^AB~^AC,所以

11

x=-,y=-

276

核心回扣

平面向量基本定理

条件ei,。2是同一平面内的两个不共线向量

结论对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数21，22，使。=力。1+/12«2

基底若ei,«2不共线，把｛ei,或｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底

基底｛ei，e2｝必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能

作为基底中的向量.

自查自测

知识点二平面向量的坐标运算

1.(教材改编题)设平面向量”=(-1,0),%=(0,2),则2a—35等于()

A.(6,3)B.(-2,-6)

C.(2,1)D.(7,2)

B解析：2a—3b=2(—1,0)—3(0,2)=(—2,—6).

2.(教材改编题)已知口ABC。的顶点A(—l,-2),8(3,-1),C(5,6),则顶点。的坐标为

45—x(x]

一,解得1,

｛1=6—y,(y=5.

核心回扣

1.向量加法、减法、数乘运算及向量的模

已知a—(xi，乃)，b=(X2,>2)，则有

(1)。+6=。1+&，yi+j2)；

(2)a—b—(xi—X2,

(3必肛i);

(4)IM=Jx：+p.

2.向量坐标的求法

(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

(2)设yi),3(X2，>2)，则荏=(尤2・尤1，?一%)，|行|=J(三一二

自查自测

知识点三平面向量共线的坐标表示

若。=(6,6),5=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是()

A.a—c与》共线B.》+c与a共线

C.a与c共线D.a+8与c共线

C解析：a—c=(4,2),因为4X7—2X5=18W0,所以a—c与6不共线；

Z>+c=(7,11),因为7X6—11X6=—24W0,所以B+c与。不共线；

%—c=(3,3),因为3X6—3义6=0,所以。与Z>—c共线；

a+6=(ll,13),因为11X4—13X2=18W0,所以a+万与c不共线.

核心回扣

1.设4=(X1，力)，Z>=(X2，J2)，a,&共线的充要条件是Xl>2—X2yi=0.

2.当彳2丫2/0时，a//b等价于土=

$%

【常用结论】

丸=〃

1.如果对于一个基底｛。1，&｝，有。=41。1+22。2="1«1+"2c2，那么可以得到，1即基

，2=〃2，

底给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若九《1+22%=0，则九=22=0.

2.已知P为线段A5的中点，若A(xi,yi),B(x2,yi),则点尸的坐标为(卓，?).

3.已知WABC的顶点A(xi，yi),Bg,㈤，C(x3,券)，则AABC的重心G的坐标为(纪头

应用1在WABC中,M为AC的中点，若刀=瀛以~能Q,“eR),则下列结论正确的是()

A.2+〃=1B.A—〃=3

C.2+2〃=0D.22—〃=0

C解析：因为〃为AC的中点，所以丽瓦?+：品，所以荏=—2丽?+反?.

又方=4引方+〃灰%I,〃GR),所以；1=-2,〃=1,所以%+2〃=0.

应用2已知向量｛〃，5｝是一个基底，实数x,y满足(3x—4y)a+(2x—3y)》=6a+34则x

-y=•

3解析：因为｛〃，5｝是一个基底，所以a与万不共线.

由平面向量基本定理得［'解得］所以x—y=3.

—3y=3,(y=3,

核心考点提升“四能”

考点一平面向量的坐标运算

1.已知而=(1,-1),C(0,1),若而=2方，则点。的坐标为()

A.(-2,3)B.(2,-3)

C.(-2,1)D.(2,-1)

D解析：设。(x,y),则而=(x,y—1),2行=(2,—2).

根据丽=2方，得(x,1)=(2,-2),

(x=2,(x=2,f

即解得

lv—1=-2,ly=-1.

所以点。的坐标为(2,-1).

2.(2024.温州模拟)在平行四边形ABC。中，而=(3,7),刀=(一2,3),对角线AC与BZ)

交于点。，则力的坐标为()

A.(-；,5)B.(；,5)

C.(-p-5)D.9-5)

C解析：因为在平行四边形ABCD中，方+而=就=2而=2反，

所以—而=一施+刀)=一；(1,10)=(-；,—5).

3.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，用基底｛a,6｝表示c,贝！1()

D解析：建立如图所示平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1,

则A(l,0),BQ,1),C(0,4),D(7,1),

所以。=(1,1),b=(—2,3),c=(7,-3).

设向量c=ma+ftb.

则c=ma-\-nb=(m—2n,m+3n)=(7,-3),

m—2n=7m=3,

则f解得

“+3〃=-3,、n=-2

所以c=3a~2b.

A反思感悟

平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的.若已知有向线

段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.

考点二平面向量共线的坐标表示

【例11(1)(2024・临沂模拟)已知向量。=(3,1)"=(1,1),C=Q+比.若。〃c,则左等于()

A.-1B.0

C.1D.2

B解析：因为C=Q+H>=(3,1)+(左，左)=(%+3,Z+1),而a//c,所以3X(fe+1)—1X(%

+3)=0,解得攵=0.

(2)在△ABC中，角A,5,C的对边分别为a,b,c,。=多若加=(c—述，a~b),n=

[a-b,c+V6),且相〃小则△A3C的面积为()

A.3B.—

2

C.等D.3V3

C解析：因为根=(c—V6,a—6),n={a—b,c+V6),且机〃小

所以(〃一方产二小一直乂0+灰)，化为a*2+b2—c2=2ab—6,

22

〜.、，7Ta2+b-c2ab—61々“FT/

所以cos；=――=――=解得ab=6,

32ab2ab2

c17•-1/V33V3

所以S/\ABC=-absinC=-x6xy=—.

＞反思感悟

平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(I)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用"若a=(xi，

力)，b=(X2,72)＞则a〃5的充要条件是尤一尤2yl=0"解题.

(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，求与一个已知向量a共线的向量时，可设

所求向量为〃QWR),然后结合其他条件列出关于九的方程(组)，求出力的值后代入加即可

得到所求的向量.

多维训练

•••・

1.已知向量。=(1,2),b=Q,-2),c=(m,-1),若。〃(2〃+5)，则机等于()

A.l2B.—1

C.--D.-

22

A解析：因为Q=(1,2),b=Q,—2),所以2a+Z＞=(4,2).

又c=(m,—1),c〃(2a+5),所以2加+4=0,解得机=—2.

2.已知向量C?=(晨12),岳=(4,5),OC^(~k,10),且A,2,C三点共线，则k=.

-j解析：由题意，得方=历一次=(4一%,-7),AC=OC-OA^(~2k,-2).

因为A,B,C三点共线，所以方，就共线，

所以一2X(4T)=_7X(_2©,解得k=-2

考点三平面向量基本定理的应用

考向1用已知基底表示向量

【例2】如图，已知在梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD,E,E分别是DC,A8的中点.设

AD—a,AB=b,试用｛a,6｝为基底表示万S,EF.

解：因为。C〃A8,AB=2DC,E,尸分别是。C,AB的中点，

----->----->1----->1

所以DC=4F=-AB=-b,

22

EF=ED+DA+AF=--DC-AD+-AB=--x-b-a+-b=-b-a.

222224

［变式］本例中，若设BC的中点为G,则而=.

^a+-^b解析：BC=BA+AD+DC=—b+a+；b=a—",

所以就=刀+数=刀+1元=方+，一)=，+26.

22424

＞反思感悟

平面向量基本定理的作用以及注意点

(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向

量.用基底表示向量，实质上是利用三甬形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.

(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向

量.

考向2解析法(坐标法)在向量中的应用

【例3】如图，在直角梯形A8C。中，AB//DC,AD1DC,AD=DC=2AB,E为的中

点.若?3=2废+海瓦九〃GR),贝IU+〃的值为()

匚

A-IB.g

o

c-2D-i

B解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则。(0,0).

匚

不妨设AB=1,则CD=AD=2,

所以C(2,0),A(0,2),B(l,2),E(0,1),

所以C?=(—2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2).

因为B=/l赤+〃丽，所以(一2,2)="—2,1)+〃(1,2),

所以「,29=-2,解得产_6；

I2+2〃=2,//=-.

\5

故％+〃=*

＞反思感悟

应用平面向量基本定理解题的两种思路

(1)基向量法.(2)坐标法.

能用坐标法解决的问题，一般不用基向量法.

考向3利用平面向量基本定理求参数的值（或范围）

【例4】在△ABC中，点尸是AB上一点，且乔=g忑3+（赤，。是BC的中点，A。与CP

的交点为M.又说=在，则t的值为.

；解析：如图所示.

4

因为A,M,。三点共线，

所以设加=北交+（1-x）G4=^CB+（1-x）G4.

又因为守=三互?+：而，CM^tCP,

（X1

----t,*

所以423解得f=2.

42,4

1一X=-ty

I3

A反思感悟

用平面向量基本定理解决问题的一般思路

（1）先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来

解决.

（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几

何的一些性质定理.

多维训练.

1.（2024•青岛质检）在AABC中，亦=^NC,若P是直线BN上的一点,且满足9=加荏+：就,

则实数根的值为（）

A.-4B.-1

C.1D.4

B解析：根据题意，设丽=〃W〃GR）,

则/=方+方=方+力丽=方+〃（诉一方）=而+〃Q就一方）=（1—w）费+E就.

5LAP=mAB+-AC,所以〃解得《

57=72，（m=-1.

55

2.如图，在正方形中，E为。。的中点，若而=2就+〃近，则2—〃的值为（）

cE「

D\--------7----71C

AR

A.3B.2

C.1D.-3

D解析：以A3,AZ)所在直线分别为入轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.

设正方形的边长为1,则A(0,0),C(l,1),0(0,1),E(p1),

所以B=(；,1),就=(1,1),而=(0,1).

因为赤〃毋=,丸+〃)=(。，1),

,Q=一1,

所以12解得]所以丸一〃=一3.

2+〃=1,I4=2.

课时质量评价(二十九)

爱考点巩固

1.如果ei，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向

量的一个基底的是()

A.e\与ei+c2

B.e\-2^2与ei+2c2

C.0+«2与e\—C2

D.ei—2c2与—ei+2«2

D解析：对于A,设ei+e2=Mi,贝心'无解，故幻与d+。2不共线，可以作为平面

11=0,

内所有向量的一个基底；

对于B,设。1-262=2(《1+2。2)，贝叶无解，故ei-2及与01+2改不共线，可以作

1—2=2九

为平面内所有向量的一个基底；

(丸=]

对于C,设ei+e2=2(ei—«2),则|无解，故《1+«2与ei—«2不共线，可以作为平面

11=一九

内所有向量的一^个基底；

对于D,d一2«2=—(—ei+2c2),所以约一2改与一次+2«2为共线向量，不能作为平面内所

有向量的一■个基底.

2.(2024•南京模拟)设平面向量。=(1,2),6=(-2,y),若a〃b,则|3〃+"等于()

A.V5B.V6

C.V17D.V26

A解析：由于。〃人所以lXy=2X(—2),解得了=-4,所以》=(-2,-4).

因为3a+Z»=(3,6)+(-2,—4)=(1,2),所以|3。+臼=，1近=石.

3.已知点尸是△ABC所在平面内一点，且月J+而+定=0,贝!]()

A.R4^--BA+-BC

33

B.R4=-BA+-BC

33

C.PA^--BA--BC

33

D.PA^-BA--BC

33

D解析：由题意知无+而+京=0,所以向十(万一万)+(就一N)=o.

所以无+(万一+(BC-BA-AP)=0.

整理得3PA+BC-2BA=Q,即3PA=2BA-BC.所以百=^BA~^BC.

4.已知E为△ABC所在平面内的点，且瓦J+:配=2赤.若赤=加石+"就，则2=()

2m

A.-3B.3

C.-D.--

33

A解析：因为丽=品+而，

所以羽+；元=2砺=2(BC+CE).

所以2赤=_京一：就=-AB-|(AC-AB)=^AB-^AC.

所以屋=1万一2就.

44

所以m=1,n=--,故2=-3.

44m

5.已知向量。=(；,；),力=(—2,m),若。与方共线，贝！)|臼=.

V5解析：因为向量〃=(；，与b=(—2,m)共线，所以;X冽=：X(—2),解得m=-1.

所以6=(-2,-1),故依=](_2了+(_1了=右.

6.已知向量m=(2+1,1),〃=(2+2,2).若(2根+〃)〃(帆一2〃)，则丸=.

0解析：由题意得，2次+打=(32+4,4),m—2n=(—A—3,—3).

因为(2/w+〃)〃(加一2〃)，所以一3(32+4)—4(—A—3)=0,解得丸=0.

7.在△AO8中，AC=^AB,。为08的中点，若虎=九次+〃砺，则〃的值为.

一(解析：因为就=；花，所以就=：(历一ZH).

因为。为。8的中点，所以历=：丽，

所以虎=加+标=-^OB+(04+25)=-^0B+O4+-(0B-a4)=^O4-^OB,

所以/L=j〃=一5，则加的值为一卷.

8.已知A(—2,4),8(3,-1),C(-3,-4).设方=用BC=b,CA=c,且0?=3c,CN=

⑴求3a+b~3c；

(2)求满足a=mb+nc的实数m,〃；

(3)求M,N的坐标及向量而^的坐标.

解：由已知得Q=(5,-5),8=(—6,-3),c=(l,8).

(1)3〃+)-3c=3(5,—5)+(—6,—3)—3(1,8)=(15—6—3,—15—3—24)=(6,—42).

(2)(方法一^因为mb-\-nc={—6m+n,—3m+8n),

”,(—6m+n=5,_=—

所以《解得《

1―3m+8n=­5,(n=~\.

(方法二)因为a+>+c=O,所以a=—b—c.

又。=根)+〃c,所以根方+〃c=一8一。，

所2以,1~

(n=~\.

(3)设O为坐标原点，因为心而=而一碇=3c,

所以而=3c+0?=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),所以M(0,20),

因为网=后贯一友=—2b,所以丽=一2方+灰=(12,6)+(—3,-4)=(9,2),

所以N(9,2),所以丽=(9,-18).

*高考培优

9.(多选题)已知向量3?=(1,—3),砺=(一2,1),OC=(r+3,f—8),若点A,B,C能

构成三角形，则实数f可以为()

A.-2B.-

2

C.1D.-1

ABD解析：点A,B,C能构成三角形，故A,B,C三点不共线，则向量方，就不共线.由

于向量方=(1,-3),OB={-2,1),OC=(r+3,t-8),故方=无一方=(一3,4),BC=

OC~OB=(t+5,t-9).若A,B,C三点不共线，则一3«—9)-4«+5)/0,所以tWl.

10.(2024•大理模拟)在△ABC中，。是直线A3上的点.若2丽=赤+八刀，记△AC2的面

积为N,的面积为S2,贝岭等于()

D解析：依题意作图，如图所示.

A

B,C

设丽=商=〃@—同=~pjCB+/JCA.

由条件丽=；而+（心力

得〃=一；，g="=一；，BD=-1BA^

所以点。在AB的延长线上，并且A£）=：A8,

匕八、出AB2

所以」=—=一.

S2AD?>

11.（多选题）在△ABC中，。为AC上一点且满足而=；虎，若P为BD上一点,且满足N

=L4B+MC（L〃为正实数），则下列结论正确的是（）

A.加的最小值为16

B.〃的最大值为5

C.1+；的最大值为16

24〃

D.；+；的最小值为4

A4〃

BD解析：因为。为AC上一点且满足同=g皮，所以就=4近.

因为万=4方+〃就，所以方=尤而+4〃