《二面角》课堂教学实录

第16页共16页《二面角》课堂教学实录一、素质教育目标（一）知识教学点1．二面角的有关概念．2．二面角的平面角的定义及作法．（二）能力训练点1．利用类比的方法理解和掌握二面角的有关概念；掌握二面角的平面角的定义．2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题，进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力．3．通过练习，归纳总结作二面角的平面角的三种方法．（三）德育渗透点让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：二面角、二面角的平面角的概念．2．教学难点：如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题．3．教学疑点：二面角的平面角必须满足下列两个条件：一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．三、课时安排1课时．四、教与学过程设计（一）二面角师：我们知道，两个平面的位置关系有两种：一种是平行，另一种是相交．两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫生时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度（图看课本P．39中图1—43），等等．这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，我们就把这样的“角”叫二面角，那么如何定义二面角呢？阅读课本P．39—40，回答下列问题．师：我们先来回忆：什么是角？如何表示？生：从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角（如图1—117），表示为∠AOB．师：根据角的定义，我们可以类似地定义二面角．先给出半平面的定义．生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面（如图1—119）．师：那么如何表示二面角呢？生：棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α—AB—β，如果棱用a表示，则记作二面角α—a—β．师：二面角的画法通常有哪几种？生：第一种是卧式法，也称为平卧式（如图1－120）．第二种是立式法，也称为直立式．（二）平面角师：为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要研究二面角的大小问题．如门和墙所在的平面是相交的，但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上，也就是说两平面虽处于相交的位置关系，但相互之间的位置关系还是应当讨论的．为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义．定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．师：二面角的大小可以用它的平面角来度量，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．现在我们来思考：问题1：这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理？为什么？生：是合理的．如图1—121，在二面角α—a—β的棱a上任取一点O，在半平面α和β内，从点O分别作垂直于棱a的射线OA、OB，射线OA和OB组成∠AOB，在棱上另取任意一点O＇，按同样的方法作∠A＇O＇B＇，因为OA和OA＇、OB和OB＇都垂直于棱a，所以∠AOB和∠A＇O＇B＇的两边分别平行且方向相同，根据等角定理，得：∠AOB＝∠A＇O＇B＇，即∠AOB的大小是一定的．由于这个唯一性，从而说明这样定义二面角的平面角是合理的，且与点O在棱上的位置无关．问题2：二面角的平面角必须满足哪几个条件？生：两个条件．一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．师：平面角是直角的二面角叫直二面角．在实际生活中，木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，就是测量这两个角所成二面角的平面角（图见P．40中图1—45）．我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5°，就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是68.5°（图见P．39中图1—43）．下面请同学们完成例题和练习．（三）练习例如图1—122，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？解：已知CD=100米，设DH垂直于过BC的水平平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度．在平面DBC内，过点D作DG⊥BC，垂足是G，连结GH．∵DH⊥平面BCH，DG⊥BC，∴GH⊥BC．因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH所成的二面角的平面角，∠DGH＝60°，由此得：≈43.3（米）．答：沿直道前进100米，升高约43.3米．注：在解题中要特别注意书写规范．如：∵DG⊥BC，GH⊥BC，∴∠DGH是坡面DGC和水平面BCH所成二面角的平面角．练习：（P．41—42练习1、2、3、4．）1．拿一张正三角形的纸片ABC，以它的高AD为折痕，折成一个二面角，指出这个二面角的面、棱、平面角．2．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角．为什么？3．教室相邻两面墙、天花板两两所成的二面角各有多少度？4．在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10cm，求它到棱的距离．解：1．如图1—123，二面角B—AD—C中，面ABD，面ACD；棱AD；平面角∠BDC．2．如图1—124，平面AOB⊥a，平面AOB与平面α、β的交∠AOB是二面角α—a—β的平面角．3．如图1—125，二面角α—c—β，二面角β—b—γ，二面角α—a—γ的平面角分别为∠AOB，∠AOC，∠BOC，都是90°．4．已知：如图1—126，二面角α—AB—β为30°，P∈α，P到平面β的距离为10cm．求P到AB的距离．解：在β内作点P的射影O，过点P作PQ⊥AB于Q，连结OQ，根据三垂线定理，可得OQ⊥AB．∴∠PQO为二面角α—AB—β的平面角，即∠PQO＝3O°．∵PO＝10cm，∴PQ＝20cm．即P到AB的距离为20cm．小结：从上面四题练习，我们可以总结三种作二面角的平面角的一般方法．1．定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角即二面角的平面角（如练习1，3）．2．应用三垂线（逆）定理法：在二面角α—l—β的面α上取一点A，作AB⊥β于B，BC⊥l于C，则∠ACB即为α—l—β的平面角（如练习4）．3．作垂面法：作棱的垂面，则它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角（如练习2）．（四）总结本节课我们学习了二面角，二面角的平面角等有关概念，并学会了如何作二面角的平面角．学习的关键是将二面角的问题转化为其平面角的问题．五、作业P．45—46中习题六1、2、3、4、5．《二面角》练习课教学目标1．使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；2．使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力．教学重点和难点重点：使学生能够作出二面角的平面角；难点：根据题目的条件，作出二面角的平面角．教学设计过程重温二面角的平面角的定义．（本节课设计的出发点：空间图形的位置关系是立体几何的重要内容．解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化．在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步．可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益．这正是本节课要解决的问题．）教师：二面角是怎样定义的？学生：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角．教师：二面角的平面角是怎样定义的？学生：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．教师：请同学们看下图．如图1：α，β是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OCα，且OC⊥l；ODβ，且OD⊥l．这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．从中我们可以得到下列特征：（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；另外，如果在OC上任取一点A，作AB⊥OD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征．（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背影．教师：请同学们对以上特征进行剖析．学生：由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的定位可化归为“定点”或“定线”的问题．教师：特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”．耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背影互相沟通，给计算提供方便．（上面的引入力争符合练习课教学的特点．练习是形成技能的重要途径，练习课主要是训练学生良好的数学技能，同时伴随着巩固知识，发展智能和培育情感．特别要注意做到第一，知识的激活．激活知识有两个目的，一是突出了知识中的重要因素；二是强化知识中的基本要素．第二，思维的调理．练习课成功的关键在于对学生思维激发的程度．学生跃跃欲试正是思维准备较好的体现．因此，准备阶段安排一些调理思维的习题，确保学生思维的启动和运作．请看下面两道例题．）例1

已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小．分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂线定理可知，VO⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角．（图2）正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件．特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ与α，β的交线，而交线所成的角就是α-l-β的平面角．（如图3）由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”．例2

矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”．如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角．“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量．特征（3）显示，如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l．此时，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如图6）由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．课堂练习1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．练习1的环境背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征（2）可知，这两个二面角的大小必定互补．为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面？分析：这道题，考生答“7个面”的占99.9％，少数应服从多数吗？从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”．事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要．本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性．如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点．OP延长过A，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，∠AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR为平行四边形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以这道题的正确答案应该是5个面．（这一阶段的教学主要是通过教师精心设计的一组例题与练习题，或边练边评，或由学生一鼓作气练完后再逐题讲评，达到练习的目的．其间要以学生“练”为主，教师“评”为辅）为了提高“导练”质量，教师要力求解决好三个问题：1．设计好练习．设计好练习是成功练习的前提．如何设计好练习是一门很深的学问，要注意：围绕重点，精选习题；由易到难，呈现题组；形式灵活，题型多变．2．组织好练习．组织练习是“导练”的实质，“导练”就是有指导、有组织的练习过程．要通过一题多用、一题多变、一题多解等使学生举一反三，从而提高练习的效果．有组织的练习还包括习题的临时增删、节奏的随时控制、要求的适时调整等．3．讲评好练习．讲评一般安排在练习后进行，也可以在练习前或练习时．练习前的讲评，目的是唤起学生的注意，提醒学生避免出错起到前馈控制的作用；练习时的讲评，属于即时反馈，即学生练习，教师巡视，从中发现共性问题及时指出来，以引起学生的注意；更多的是练习后的讲评，如果采用题组练习，那么最常用的办法是一组练习完毕后教师讲评，再进行下一组练习，以此类推．教师：由例1、例2和课堂练习，我们已经看到二面角的平面角有三个特征，这三个特征互相联系，客观存在，但在许多问题中却表现得含糊而冷漠，三个特征均藏而不露，在这种形势下，需认真探索．学生：应探索体现出一完整的三垂线定理的环境背景，有了“垂线段”，便可以定位．教师：请大家研究下面的例题．例3

如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值．分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角．略解：如图10．在面BB1CC1内，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1．延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱．在平面A1B1C1D1内，作HK⊥GB1于K，连EK，则∠HKE为所求二面角的平面角．在平面A1B1C1D1内，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH．又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值教师：有时我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．例如我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时，可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置，以便等价地作出该二面角的平面角．略解：过F作A′B′的平行线交BB′于G，过G作B′C′的平行线交B′E于H，连FH．显见平面FGH∥平面A′B′C′D′．则二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数．过G作GM⊥HF，垂足为M，连B′M，由三垂线定理知B′M⊥HF．所以∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小．（练习课的一个重要特