电磁场与微波技术-场论

电磁场与微波技术—场论

在许多科学与技术问题中，特别是我们这门课中，通常要研究某个物理量的空间分布状况，时间变化规律，以及该物理量与产生它的源之间的相互关系。为研究方便，人们将某个物理量的时空分布定义为“场”，而研究场与源的数学方法就称为“场论”。1.1引言1.2场的概念1.3标量场的方向导数和梯度1.4矢量场的通量和散度1.5矢量场的环量和旋度1.6亥姆霍兹定理1.7常用正交曲线坐标系附录常用公式—1.1引言一、矢量矢量(Vector)：既有大小又有方向的量，一般用A表示。矢量的模：矢量的大小，表示成︱A︱或者A。在三维空间也可以用有方向的线段表示，有向线段的长度表示矢量的模，箭头表示矢量的方向。—1.1引言例如：矢量A分别与x、y、z轴的正向所成的角

，称为矢量A的方向角，它们的余弦称为方向余弦。所以有：其中：单位矢量：模为1的矢量，一般用表示坐标矢量：与坐标轴正向同方向的单位矢量，如直角坐标系下的x、y、z。这样，矢量A可写成：二、点积与叉积1.点积(或称标量积、内积)设矢量A与B方向的夹角为，则A与B的点积为：当A与B均不为0时，若A·B=0，则A⊥B(判断垂直)。运算规则：注：两个矢量的点积，结果为标量。—1.1引言—1.1引言2.叉积(或称矢量积、外积)若A与B的夹角为，则A与B的叉积记为，其模为，方向与A、B均垂直，且按的顺序构成右手螺旋关系。运算规则：当A、B均不为0时，若

，则A∥B(判断平行)注：两个矢量的叉积，结果仍为矢量。—1.1引言三、常用矢量1.曲线、曲面上任意一点处的法向单位矢量一般用表示切向单位矢量一般用表示。2.矢径：起始于原点，终止于任意点M(x,y,z)的矢量定义为M点的矢径，记为，则有：空间点的位置一般可用该点的矢径表示，(x,y,z)点处的矢量可记为，或。矢径方向上的单位矢量为：—1.2场的概念一、定义

某个物理量在某一空间区域的分布情况和变化规律可以用场来表示。如果在某一空间区域内的每一个点，在每一个时刻，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。

例如：教室中每一点都对应着一个确定的温度，因此在教室范围内确定了一个温度场；地球周围空间每一点都对应着一个重力加速度值，在地球周围就确定了一个重力场。二、分类

按照所研究的物理量是标量还是矢量，可把场分为标量场和矢量场，如温度场是标量场，力场是矢量场。按照物理量是否随时间变化，可把场分为时变场和静态场。本章讨论的都是静态场，所得结论也适用于时变场的任一时刻。—1.2场的概念—1.2场的概念

三、场的数学表示式

场可以用某物理量在某个区域内的单值时空函数来表示。

标量场矢量场静态场时变场一般假设函数u和标量函数Ax、Ay、Az连续且具有一阶连续偏导数。—1.2场的概念四、标量场的等值面

在标量场中，为了直观地研究标量u在场中的分布情况，引入等值面的概念。等值面是由场中使函数u取相同数值的所有点组成的曲面。标量场u的等值面方程为，C为常数。C取不同的数值，就得到不同的等值面。如图所示，当C遍取所有可能的值时，这组等值面就充满标量场所在的空间，且两两互不相交。这是因为，在每点都有一个等值面通过，由于函数u是单值的，所以一个点只能在一个等值面上。例：

在无界自由空间中，位于原点的、电量为q的点电荷在空间点(x,y,z)的电位为求其等位面方程。

—1.2场的概念—1.2场的概念在二维空间中，等值面退化为等值线。若按固定的差值∆c，取一系列常数C，则可得到一系列场值等差的等值面(线)。这样这些等值面(线)的疏密程度就反映了物理量变化的快慢，如等高线。五、矢量场的矢量线为了直观地描述矢量场的分布情况，引入矢量线的概念。矢量线是有向曲线，其上任意点的切线方向与该点处场矢量的方向相同，如图所示。曲线上任一点M(x,y,z)的矢径为：，其微分为曲线在M点的切向矢量。这样，按照矢量线的定义，在任意点处的应与该点的场矢量共线，故必有—1.2场的概念矢量线满足微分方程：—1.2场的概念例：

在无界自由空间中，位于原点的、电量为q的点电荷在空间点任意点M(x,y,z)处产生的电场强度为求该电场强度的矢量线方程。

矢量线充满整个矢量场，且互不相交。若矢量线为有起点，有终点的曲线，则矢量场称为有源场，发出矢量线的点和吸收矢量线的点分别称为正源和负源，统称为通量源。若矢量线是无头无尾的闭曲线并形成旋涡，则矢量场称为有旋场，有旋场由穿过矢量线旋涡的旋涡源激发。矢量线的形态和方向体现了场中各点矢量的方向，其疏密程度体现了场中各点矢量的强度。—1.2场的概念—1.3标量场的方向导数和梯度一、方向导数

定义：设是标量场

中的一点，从出发沿某一方向引一条射线l，在l上的邻近取一动点M，使如图。若当

(即)时，的极限存在，则称此极限为函数

在点处沿l方向的方向导数，记为：由此可见：方向导数是函数

在点处沿l方向对距离的变化率。当方向导数大于零时，表示函数

沿l方向是增加的，反之就是减小的。方向导数等于零表示

沿l方向无变化。—1.3标量场的方向导数和梯度定理：若函数

在点

处可微，为l方向的方向余弦，则函数u在点

处沿l方向的方向导数必定存在，且有：二、梯度1.概念

方向导数揭示了标量场中某点处标量沿某个方向的变化率。但从场中任一点出发有无穷多个方向，而我们通常只关心沿哪一方向变化率最大，此变化率为多少。为此，我们从方向导数的计算公式出发来讨论。—1.3标量场的方向导数和梯度已知，由于为

l方向余弦，所以l方向的单位矢量可表示为：这样，如果把看成是某个矢量G的三个分量，即：则由上式可以看出，G在给定点处为一常矢量，它只与函数有关。而则是在给定点处引出的任一方向上的单位矢量，与函数

无关。—1.3标量场的方向导数和梯度

显然，当与G方向一致，即时，方向导数最大。或者说，沿矢量G方向的方向导数最大，且：这样就找到了一个矢量G，其方向是

变化率最大的方向，其模是最大的变化率。

定义：标量场的梯度表示为某一点处标量场的最大变化率的矢量，即最大的方向导数就是该点的梯度大小，记作gradu(M)。

注意：梯度与所采用的坐标系无关，它由标量场u(M)的分布所决定。在直角坐标系中，梯度的计算公式为：其中，称为Hamilton算子，是具有矢量性质的微分算子，读作“del”或“nabla”。

2.性质

(1)标量u沿l方向的方向导数等于u的梯度在l方向上的投影，即有：。(2)标量场u(M)中每一点M处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数u(M)增大最快的方向。(3)标量场的梯度是一个矢量函数，其方向是函数u变化率最大的方向，其模等于函数u在该点的最大变化率的数值。3.运算公式

(其中，c为常数，u、v为函数)—1.3标量场的方向导数和梯度—1.4矢量场的通量和散度一、通量1.曲面的方向

为了区分曲面的两侧，规定任一侧为曲面的正侧面，另一侧则为负侧面。这种规定了正侧面的曲面称为有向曲面。对于封闭曲面，习惯上取其外侧为正侧面。在研究实际问题时，常规定有向曲面的单位法向矢量恒指向研究问题时所取的一侧。—1.4矢量场的通量和散度2.通量通量的概念是从流体场来的。流体中各点流速不同，流速v是一个矢量。表示单位时间穿过面元的流量。矢量场的通量类似于不可压缩的流体的流量。

在矢量场A中的任一曲面S上取一有向面元，由于所取面元很小，可视其上各点的A相等。这样，A与的标量积称为A穿过的通量,记作：，

为A与的夹角。则A穿过曲面

S的通量为：如果S是闭合曲面，则：—1.4矢量场的通量和散度3.通量的物理意义

利用矢量线的概念，通量可以认为是穿过曲面S的矢量线总和，故矢量线也叫通量线。通量是一个代数和(即标量)，它的正、负与面元法线方向的选取有关。对于闭合曲面来说，A在S上的通量等于正向(从负侧面到正侧面的方向)穿的矢量线根数减去反向穿过的矢量线根数。(无源或

正源和负源的代数和为0)当

时，表明穿出闭曲面S的矢量线多于穿入S的矢量线，此时S内必有发出矢量线的源，为正源；当

时，表明穿入闭曲面S的矢量线多于穿出S的矢量线，此时S内必有吸收矢量线的源，为负源；当

时，表明穿入闭曲面S的矢量线等于穿出S的矢量线。此时，S内正源和负源的代数和为零，或者说S内没有源。—1.4矢量场的通量和散度(正源)(负源)—1.4矢量场的通量和散度二、散度

根据穿出闭合面的通量

的正负可以判断出曲面内有正源或负源，但源在S内的分布情况和强弱却是不清楚的。为此，引入散度的概念。定义：设M是矢量场A(M)中的任一点，取任一包含M点的闭合曲面，其所围区域的体积为。当以任意方式收缩向M点时，若存在，则称其为矢量场A在点M处的散度，记作：散度的物理意义矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；矢量场的散度是一个标量；矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。—1.4矢量场的通量和散度—1.4矢量场的通量和散度

divA为一标量，表示场中任一点处的通量对体积的变化率，即该点处穿出包围单位体积的闭合曲面的通量。所以divA可称为“通量源密度”，表示该点处源的强度。divA>0表明该点是发出通量线的正源；divA<0表明该点是吸收通量线的负源；divA=0表明该点无源。的矢量场称为无散场(即无源场，矢量线无头无尾，只能是闭曲线)，否则称为有散场(即有源场，矢量线有起点或终点)。矢量场的散度的定义、意义与坐标系无关。在直角坐标系中，计算公式为：运算公式：其中，C为常矢量，c为常数，u为标量函数。—1.4矢量场的通量和散度是一个二阶偏微分算子，称为Laplace算子。三、高斯(Gauss)散度定理

任意矢量场A的散度在场中任意一个体积V内的体积分等于矢量场A穿出限定该体积的闭曲面S的通量，即这是一个非常重要的定理，从数学的角度看，高斯散度定理是实现面积分和体积分相互转换的公式。—1.4矢量场的通量和散度—1.5矢量场的环量和旋度

矢量场不仅具有通量源，而且还有旋涡源。例如我们经常在江湖中看到水的旋涡，这种打转的水流场就是旋涡场。通量源可以用散度来描述，而旋涡源则可以旋度描述。一、环量

若曲线L是矢量场A中任意一条有向闭曲线(环路、回路)，那么矢量场A沿有向闭曲线L的线积分：称为矢量A沿有向闭曲线L的环量。环量是一个标量，它的大小和正负不仅与矢量场A的分布有关，而且与所取的积分环绕方向有关，其物理意义由具体的场而定。例如，在力场F中，环量表示力F沿闭合曲线L所做的功。如果，场中必定有产生这种场的旋涡源。若在一矢量场中沿任何闭曲线上的环量，则该场中不可能有旋涡源。—1.5矢量场的环量和旋度二、旋度

根据环量是否为零，可以判断闭曲线L内是否有旋涡源，但它并不能体现场中每一点处旋涡源的分布情况。为了研究矢量场A中任意点M的性质，取包含M点的一个曲面，其边界为闭曲线L，的面积是。设M点处的单位法向矢量为，L的正向与成右手螺旋关系。沿闭曲线L取A的线积分，保持的方向不变，而使闭曲面以任意方式收缩向M点，若极限存在，则称其为矢量场A在点M处沿方向的环量面密度，记为，即：—1.5矢量场的环量和旋度

但是的方向有无穷多个，所以在同一点上，A对于不同方向上的环量面密度也可能不等。

因此，我们定义旋度矢量：在矢量场A中的任一点M处，其方向为M处使A具有最大环量面密度的方向，其模等于此最大环量面密度的矢量称为矢量场A在M点处的旋度，记为rotA或。旋度的物理意义：旋涡源密度。旋度表示旋涡源的强度。的点处存在A的旋涡源。存在非零旋度值的矢量场称为有旋场，其矢量线是环绕旋涡源的无头无尾的闭曲线。旋度值处处为零的矢量场称为无旋场(保守场),其矢量线有起点或终点。且的场称为调和场。—1.5矢量场的环量和旋度在直角坐标系中，旋度的计算公式为：运算公式：其中，C为常矢量，c为常数，u为标量函数。—1.5矢量场的环量和旋度旋度的性质

(1)旋度的散度恒等于0，即

结论：对于一个散度为0的矢量场，可以将其表示为一个矢量的旋度：，则

(2)标量的梯度的旋度恒为0，即

结论：对于一个旋度为0的矢量场，可以将其表示为某一标量的梯度：，则—1.5矢量场的环量和旋度

梯度、散度、旋度的比较

一个标量函数的梯度是一个矢量函数，它描述了空间各点标量位