高考数学复习压轴题：奔驰定理与三角形的四心（新高考地区专用）

专题25奔驰定理与三角形的四心

【方法点拨】

奔驰定理：设。是AA6C内一点，的面积分别记作SA，SB，SC，则

SA.OA+S£„>OB+SCOC=6

说明:

1.本定理图形酷似奔驰的车标而得名.

2.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：

(D。是AA6C的重心=S4：SB：=l：l：loOA+OB+OC=^

。是的内心=

(2)AA6CSA：SB：Sc=a:b:ca»OA+b»OB+c»OC=Q.

。是的外心o

(3)AA6cS人：SB：Sc=sin2A:sinIB:sin2C=

sin2A.OA+sin2B.OB+sin2C>OC=6

。是的垂心=

(4)AA6CSA：SB：Sc=tanA:tanB:tanC=

tanA»OA+tanB»OB+tanC»OC=6.

3.需记忆三角形的四心与向量关系：

(1)。是A4BC重心=西+9+反=0,P是平面ABC内任一点，PG=^(PA+PB+PC)^G

是AABC重心.

(2)。是AABC垂心<=>OAOB+OBOC+OCOA,若0是AABC垂心，则

tanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

(3)。是AABC外心反卜|朝H反|，若。是儿48。外心，则sin2A函+sin25历+sin2c反=0.

若。是AABC外心，则对于平面内任意点P,均有：

而)」^_西+―2^_丽+-2^^.

2siiiBsinC2sinAsinC2sinAsiriB

(___,___,、/、/\

(4)。是A4BC内心0次・普一⑶=砺,菽赢=无自

【网ML

。是AABC内心oaOA+bOB+cOC-0,。是AABC内心osinAOA+smBOB+sinCOC=0.

4.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

5.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有

着决定性的基石作用.

【典型例题】

例1在AABC中，«,b,c分别为内角A,B,。的对边，。为3c的外心，且有

AB+BC=2也AC,sinC(cosA-+cosAsinA=0,若AO=%AB+yAC,x,yG7?,贝!Jx—2y=

【答案】—3或----

33

【解析】由正弦定理得c(cosA—6)+〃cosA=0,所以2Z?cosA=3c,即〃二片十？/,

由条件得c+a=2"b，联立解得a=c,/?=,或〃=5。/=3j^c.

3

当a=c,人=y/3c时，AB•AC=becosA=—c2

由超=%通+＞高，得Xd•通=1诟2+N恁•南，

13

即—/=%./+/,所以2%+3y=l.①

22

同理，由前=x荏+)才才，得=x砺•/+%记2，

1Q11

即上尸=%.士02+丁力2,即_L〃=%」尸+y./,

2222

所以x+2y=l.②

联立①②解得x=—l,y=L故x—2y=—3.

当a=5c,Z>=3时，同理可得2x+3y=l③，x+18y=9④

一43

解得x—2y=———.

33

例20为三角形内部一点，a、b、。均为大于1的正实数，且满足a耐+。砺+°元=函，若SAOAB

、SAOAC、SAOBC分另U表水AOAB、AOAC、A05C的面积，贝！ISs0AB:S^OAC:S^OBC为()

A.(c+l):(Z?-l):tzB.c:b:a

【答案】A

【解析一】由。况+匕砺+。无=屈，砺+〃砺+。反=砺—玩,

■.aOA=(l-b)OB-(l+c)OC,:.adA+(b-l)OB+(l+c)OC=6,

如图设函=水讶，西=仅一1)砺，西=(l+c)反

:.OAl+OBl+OQ=Q,即。是第4G的重心，••SkOB\G~5八。4用=SAO^C]

-OA-OBsinZAOB八八八口1

Sc

.^OAB=2____________________OAOB=1

SAO^B]goAOqsinZ^Oq。4。4a(b-1)

,■SAOAB=丽1鼠°的同理可得二/而乂。岫'SA°BC=._I)(I+C)S.B©'

111

…§bOAB*SAOAC•SbOBC

〃仅一1)a(l+c)(Z?-l)(l+c)

所以^AOAB：S^OAC:S^OBC=(。+1)：("-1)：〃・故选：A.

【解析二】由。砺+b砺+。反=屈，.,.a函+b砺+c反二砺—诙,

.-.flOA=(l-Z>)OB-(l+c)OC,:.aOA+{b-1)OB+{l+c]OC=Q,

由奔驰定理得：SAOAB:S^OAC;S^OBC=(c+1):-1):a.故选：A.

例3itAABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,a=b=4,c=6,I是△?!5c中内切圆的圆心，若

AI=xAB+yAC,则x=,y=.

23

【答案】x=一,y=—

77

【解析一】（向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法）

曰分,曰3A/7—r-zABAC二匚［、itt

易求得r=-----,ffifA/=t（,+i,.）,所以x=—,y——

7|AB||AC|64

-►-►ABAC—►

另一方面，对上式两边同时作数量积得：AI-AI=t（„+^）-AI,

网M

易知万=32+（9）2=2，111r万=3,昌•屈=3

77|AB||AC|

1223

所以/=—,所以x=—,y——.

777

【解析二】（奔驰定理）联想到奔驰定理，将由=%而+、恁转化为-位=x（万-万）+y（而-区）

整理为：（l-x-y）IA+xIB+yIC=O

由奔驰定理得（1一x-y）:x:y=4:4:6

23

解之得x=_,y=—.

77

点评：

解法一中的很多知识点并不为学生所熟悉，解决起来有较大难度，而解法二直接使用奔驰定理十分简

洁.

例4已知G是AA6c的重心，且满足56sinA・G5+40sinb•丽+35sinC・GT=0,则5

冗

【答案】-

3

【分析】要牢记两，砺,诙前面的系数之比为LL1,求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.

【解析】：G是AA6C的重心

:.GA+GB+GC=6

56sinA:40sinB:35sinC=1:1:1

:.sinA:sinB:sinC=5:7:8

由正弦定理，a:ft:c=sinA:sinB:sinC=5:7:8

"+c2_"52+82-72_1

由余弦定理,cosB=

lac2-5-8~2

冗

•・・b£（0,〃），.・.B=-

例5设”是△ABC的垂心，若3/+4丽+5阮=6，贝hosNBf/C的值为（）

A屈R逐■「卡C屈

•----------------D.-------------------\_z.-------------------LJ•----------------

105614

【答案】D

【解析】因为3国+4丽+5沅=6，由三角形垂心的向量定理得tanA:tan6:tanC=3:4:5

设tanA=3%,tanB=4x,tanC=5x

1

由tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC代入得60d=12%，解之得x=

一“3

所以tanA=（彳

770

又因为N8HC=»—A,所以cosNBHC=—cosA=—

~L4~

.,uumuuuuuiur

例6已知点。为AABC所在平面内一点，且A0+20B+30C=0，则下列选项正确的是（）

uumiuun3111110

A.AO=-AB+-ACB.直线A。必过BC边中点

24

11叫Iuum____uur-

C.S^AOB-S/XAOC=3.2D.若期=|OC=lf且砺_L反，则O4=W

【答案】ACD

uum,uuruuu、/Uirnum、r10a1附3

【解析】对于4插入点A,AO+2（OA+AB）+3（Q4+AC）=0,所以A。=5AB+工AC；

uumC1uua1uun、uuu]uun3uun

对于8,若直线A。过BC边的中点，则AO=X,AB+^AC由上知40=万48+/47,不成立;

对于C,由奔驰定理知SAAOB''S^Aoc=3:2；

uumuuuuuiu1uciuuumuuiuiliuuuunlllUU

对于£）,由AO+20B+30C=0得2O5+3OC=—AO,两边平方得AO=2OB+3OC

//uunuum2/uuaumuum.-

二”203+30。）X=^4OB2+9OC+1203・0C=W.

例7在AABC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,b=2a—2ccosB,若△ABC的外接圆的圆

心为。，且满足8^而+辿4m=2m函，则加的值为_________.

sinAsinB

【答案】—

2

【解析】Vb=2a-2ccosB

b=2（ccosB+bcosC）-2ccosB,BpZ?=2Z?cosC

丁Z?w0,cosC=—

2

TC

*.*0<C*<7T,C——

3

ccsR___»CCS/X__►

对-----CB+------CA=2mC0两边同时点乘CO得:

sinAsinB

^CB.cd+^CACd=2mCO

sinAsinB

■：CB-CO=1[cB-（2CO）]=1a2,Ck-CO=1[C4-（2CO）J=^b2

1cosB2,1cosA--2

---------a+---------b2=2mCO,

2sinA2sinB

,1..na1An"

即ar—sinAcosB——---F—cosAsinB——--ImCO

2sin2A2sin2B

由正弦定理知一土二上一二4前2

sin2Asin2B

m=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)

~2~

【巩固练习】

1.已知P是△ABC所在平面内一点，若淡•丽=丽・正=讫•前，则尸是△ABC的（）

A.外心B回心C.重心D.垂心

OB+OC

2.已知。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点尸满足>5>=-5—+几嬴，%GR，

则P点的轨迹一定经过AABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

3.点P在△ABC内部，满足说+2访+3免=0,则SAABC：5砧?0为（）

A.2：1B.3：2C.3：1D.5：3

4.点0为△ABC内一点，若S^AOB-SABOC：&AOC=4：3：2,设施=施+嬴，则实数力和〃的值分别

为（）

2442—1221

A.g，9B.§,gC.§,§D.g,§

5.设。是AABC的内心，AB=c,AC=b,BC=a,若司0=4万+4/则（）

6.已知。为正AA3c内的一点，且满足砺+4赤+（1+彳）反=6,若钻的面积与AOBC的面积的

比值为3,则％的值为（）

15

A.—B.—C.2D.3

22

7.在AABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,a=5,b=12,c=13,/是AABC内切圆的圆心，若

-n,ABAC

d"国+园X），贝小——•

8.在"8C中,42=3,80=4,AC=5,/是"BC内切圆的圆心，若屈=4通+4反，则4+%=.

9.已知。是锐角AA3C的外接圆圆心，ZA^6Q°,^-AB+^^AC^2mAd,则实数机的值为

sinCsinB

__kks

10.已知。是AA6c所在平面内一点，且满足诟=—血+—正，则32=________

32S-

ULUUUUUL

11.在VABC中，3c=5,点G,0分别为VABC的重心和外心，且OG・BC=5,则VABC的形状是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D,上述三种情况都有可能

22

12.已知椭圆[+与=13＞匕＞0）的左、右焦点分别为耳居，经过片的直线与椭圆交于A,3两点，VAB工的

ab

LUUUUUUL

内切圆的圆心为/,若3/2+47A+5德=0,则该椭圆的离心率为.

13.（多选题）对于给定的△ABC,其外心为。，重心为G,垂心为则下列结论正确的有（）

----------►---------►]---------»2

A.AOAB=-AB

2

B.OAOB=OAOC=OBOC

C.过点G的直线/交AB,AC于E,F,若刀=2荏，~AF=/JAC,则工+工=3

4r丁》,ABAC*1

D.AH与i-----+------共线

|AB|COSJBJACCOSC

14.设H是AABC的垂心，若屈=!通+!正，贝|cos/BAC的值为.

42

______3

15.设P是AABC的外心，且C5=mCA+7Z屈，-m+2n=l（和、neR）,若CA=2C8,贝IcosC的值

为.

16.在AABC中，内角A,在C的对边分别为a,"c,O是AABC外接圆的圆心，若0acosB=41c-b，且

小二血+2£/=相正,则加的值是（）

sinCsinB

A.—B.—C.A/2D,272

42

17.已知点G是AABC的重心，且AG，BG,则（tan"+tan'）tanC的值为_____.

tanA-tan5

18.已知点G是AABC的重心，且CGL5G,BC=J2,则A5+AC的最大值为

19.在AABC中，BC=2,己知点。、G分别是的外心、重心，且而•而=荏•恁，则AABC面积的

最大值为.

20.已知A,B,C为圆。上的三点，线段CO的延长线与线段B4的延长线交于圆。外的一点。，若

OC=mOA+nOB,则加+"的取值范围为

A.(0,1)B.(0,+oo)C.(-1,+oo)D.(―L0)

【答案与提示】

L【答案】D

【解析】由丽・丽=西•正,可得协.(或一正)=0,即协・8=0,.,.迹同理可证讫，或

是△ABC的垂心.

2.【答案】C

―►-►

【解析】设8c的中点为M,则——=OM,

则有存=血+赤，即前=赤.

：.P的轨迹一定通过AABC的重心.

3.【答案】C

【解析】根据奔驰定理得，SAPBC:SAPAC:S^PAB=i2:3.5AABC:SAAPC=31.

4.【答案】A

【解析】根据奔驰定理，得3近+2为+4(元1=(),即3近+2(而+翁)+4(晶+废0=0,

整理得A3=|翁+标，故选A.

5.【答案】A

【分析】根据奔驰定理的内心恒等式。砺+匕砺+c而=0,利用向量的线性运算可以求得

—*h—(■c'—,

AO=---AB+---AC进而根据平面向量基本定理中的唯一性可得到4，4的值，进而得解.

a+b+ca+b+c

【解析】。是△A3C的内心，AB=cfAC=bfBC=a

则〃上4+b砺+c4=d，

所以ciOA+b(OA+A_B)+c(OA+AC)=0,

所以(Q+Z?+C)AO~bAB~\~cAC,

-"h—*c—k

所以AO=------------AB+-------------AC.

a+b+ca+b+c

又通+4AC,所以4=------------.4=--------------

a+b+ca+b+c

6.【答案】C

【解析】由奔驰定理得SQ.：S0c=(l+X)：l=3,解之得2=2,选C.

7.【答案】y

8.【答案】-

6

9.【答案】当

10.【答案】-

2

11.【答案】B

【解析】在VABC中，点G,0分别为VABC的重心和外心，取3C的中点。，连接AD,OD,则ARG三

点共线，如图所示,

IUUUILiumL1L1U

OD±BC,GD=-AD.QOG=OGBC=5,

uumumrutmumrUUDIuunuumuuniuunuumuumuun|Uumi2iuuni2

:.(OD+DG)BC=DGBC=--(AB+AC)BC=59BP--(AB+AC)(AC-AB)=5,-M=-30.

|UUtt|2lUUmpAIUL1D|2IUUD|2|ULini27r

又5c=5,.[AB]=|AC|+-|BC|>|AC|+,q.由余弦定理，得cosCvO,.•.»<°<兀，「.VABC是钝角

三角形.故选B.

12.【答案】京

umLIUuui3um5皿]un

【解析】因为3/B+47A+5/g=0,所以-由+—/氏=一/A.如图，在上取一点M,使得忸M|:四周=5:3,

882

uun1um

连接贝1」的=-万£4,则点/为W上靠近点M的三等分点，所以现伍：5面"£侬=3:4:5,所以

1M内邳:|网=3:4:5.不妨设|4周=3,则匡邳=4,忸囿=5,则|A周+|A段=忸耳|+忸闾=2a=6,所以

\AFt\=3,\BFt\=2,设由用=x,由余弦定理得cos/A陷」附,即

6

222

2+4-X=4>得x=4,所以0=生=/=好.

2x2x45752a65

13.【答案】ACD

【解析】对于A,由垂径定理可知，外心。在天谷上的射影为线段A3的中点，

所以豆•荏=工丽2,故A正确；

2

对于B,若市•历=厉•反=而加，

由况.9=凶灰，则丽•（砺—配）=0,即次.屈=0,

同理QB-C4=0,OCAB=Q,即点。为△ABC的垂心.

又女为△ABC的垂心，则有瓦鼠沅=诙・蔗=沅•血=0,故B不正确;

对于C,因为G、E、/三点共线,

故存在实数人使得AG=fAE+(1-AE=tAAB+(l-r)/JAC,

—.1—.1—.

又G为5c的重心，故AG=—AB+—AC,

33

tA=—

3,则雪工=3,

所以《故C正确;

2

(AB、

ACABBCACBC

对于D,因为-BC==-|BC|+|BC|=O,

cos3IACICOSCcosBIACICOSC

7

~ABAC—«___、—►

所以L-----+1——7--------------与8C垂直，又H为△ABC的垂心，则A”与BC垂直,

|AB|cosB|AC|COSC

所以通与富0—+—共线，故D正确，

|AB|cosB|AC|COSC

故选ACD.

14.【答案】B

3

【解析一】（利用三点共线）

AH^AB^AC=^AB]^AC

—.1—.—.1—.1—.

如图，取A3的中点为。，则AD=—AB,AH=-AD+-AC

222

故H、C、。三点共线,

：//是AABC的垂心C.CDLAB

1

AZ)-cc

在R3ADC中，cosZBAC=——=—=一①

ACb2b

另一方面，^-8+—AC=-+

/「4「AE32b

同理得cosZBAC=——=—=—

ABc3c

①②联立得cos/A4C=3.

3

【解析二】（抓住垂心概念，充分利用垂直，点乘，三化二）

-»1---*1---»____*--->1---k21------*,-----,■

对AH=zAB+/AC两边点乘初得AH.AB=/AB+-ACAB

•：AJlAB=(JC+CHyAB=ACAB+CHAB=ACAB

---•---■1----21-------•---•---,1---*2

/.ACAB=-AB+-ACAB,ACAB=-AB①

422

同理，对屈=,丽+工/两边点乘衣得屈」衣.通+工/2

4242

•：AHAC=^AB+BHyAC=ACAB+BHAC=ACAB

---►---►1---►---►1---*2---►---►2---*2

：.ACAB=-ACAB+-AC,ACAB=-AC®.

423

1

AC2

由①②联立得cosABAC=「1

lA4HI

3

15.【答案】-

8

3

【解析一】CP=—m，-m+2n=l

22

—■2——■1—■

^LCE=-CA,CF=-CB

32

则可酝+（2"）），|m+2n=l

所以E、F、P三点共线

又尸是弦2C的中点，故斯，2C

CF5c-CB

所以cosC=//=最一23

CE2cA-CB8

33

【解析二】（点乘作数量积）

对CP=mCA+〃屈两边点乘而得行.CA=tnCA+nCB-CA

-----►►1/►»\1>21»2»2►►

CPCA=-(2CPCA\=-CA,-CA=mCA+nCBCA

2、'22

*.*CA=2CB2=4m+2ncosC①

对CP=jnCA+〃屈两边点乘而得屈.CB^mCA-CB+nCB

---►►1/►►\1»21►2►►»2

CPCB=-(2CPCB\=-CB，-CB=mCACB+nCB

2、'22

CA=2CB—=2m+〃cosC②

2

16.【答案】