2025年高考数学复习之函数概念与性质

2025年高考数学复习新题速递之函数概念与性

选择题（共10小题）

2x

1.（2024•包头开学）若/（%）=（%+a）-log2（2+1）是偶函数，则a的值为（）

11

A.一B.C.0D.1

42

ex~2,x<4

2.（2024•福鼎市校级开学）已知f(%)=，则/（7（6））等于（）

logs(x—1),%>4

11

A.-B.C.1D.2

5

3.（2024•河西区校级开学）下列函数是偶函数的是（）

ex—x2ccosx+x2

A-"EB-

C.”当csinx+4x

,x+1

则"爆的定义域是（）

4.（2024•福鼎市校级开学）已知函数y=/（2x-1）的定义域是[-1,3],

A.(-2,5]B.(-2,3]C.[-1,3]D.[-2,5]

5.（2024秋•五华区校级月考）已知函数/G）的定义域为R,且为奇函数，/（x+1）为偶函

数，当在[-1,1]时，f(x)=以+1,则/(2025)=(

A.0B.1C.2D.2025

6.(2024•河西区校级开学)已知函数/(x)满足/(-2-x)=f(-2+x),对任意xi,X2G(--2],

XI都有----------->0成H,且/（0）=0,则/（X）>0的解集是（）

Xr-x2

A.(-0°,-2)u(2,4-00)B.(-2,2)

C.(-8,-4)U(0,+oo)D.(-4,0)

7.（2024秋•五华区校级月考）函数/（%）=》（kTT+fcO是奇函数且在R上单调递增，则人的取值集

合为（）

A.{-1}B.{0}C.{1}D.{-1,1}

8.（2024•宝山区校级开学）定义在R上的函数y=/（x）和y=g（x）的最小正周期分别是乃和乃，已知

y=f（x）+g（x）的最小正周期为1,则下列选项中可能成立的是（）

A.Ti=l,72=2B.T、=3,T2=7

3

C.T1="T2=D.&=3

—丫2—2ax—n*Y<T0.

在R上单调递增，则〃的取值范围是()

{ex+Zn(x+1),%>0

A.(-oo,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+8)

10.(2024•珠海模拟)函数/(x)=lg(2x-1)的定义域为()

111

A.RB.(-°0,-)C.[-,+°°)D.(-,+8)

2

二.多选题(共3小题)

(多选)11.(2024•河南模拟)若函数/G)的定义域为R,则下列说法正确的是()

A.若/(x)=-f(x),则/(%)=0

B.若对VxER,f(x+1)4/(x)=1,则/(x+2)</(x)

C.若对Vxi,X2ER且%1WX2,\f(xi)-f(X2)](xi-X2)>0,则/(x)是H上的增函数

D.若对VxER,|f(-x)\=\f(x)I，则/Cx)=0

(多选)12.(2024•湖南开学)已知函数/(久)=(/)(x+2)z-i,则()

A.f(x)为偶函数

B.f(x)的值域为(0,2024]

C.f(x)在[2024,+8)上单调递减

D.f(66)<f(88)

(多选)13.(2024秋•新乡月考)已知函数了(无)的定义域为R,且其图象是一条连续不断的曲线，/(孙)

=对(y)+yf(x),记/(x)为于3的导函数，则下列说法正确的是()

A.f(0)=0

B.f(x)为奇函数

C.若/应)=1,则/(4)=-8

D.若f'(x)在(0,+8)上单调递减，则/(%)恰有三个零点

三.填空题(共3小题)

14.(2024•湖南开学)已知函数/(%)=灵寿满足/(0)=热则/(2024)+f(-2024)=

15.(2024•苏州模拟)己知奇函数y=f(x)的定义域为(2a,1")，则实数a=.

16.(2024•南开区校级开学)函数/(X)=乐|的定义域为__________________.

\x\J

四.解答题(共4小题)

1

17.(2024秋•三元区校级月考)已知函数于(x)是定义在(-2,2)上的奇函数，满足〃1)=也当-2

<xWO时，有〃>)=今£(

xz+4

(1)求函数/(无)的解析式；

(2)解不等式/(2x-1)+f(x)<0.

18.(2024•沙坪坝区校级开学)已知定义在(-1,b)上的奇函数/(久)=国麓.

(1)求实数a,b的值；

(2)若/(尤)在(m,ri')上的值域为(-1,+8),求实数相，”的值.

19.(2024•雁塔区校级开学)设函数/(无)=ln\2x+l\-ln\2x-1|,

(1)判断函数/(尤)的奇偶性；

(2)解不等式/(次+1)4/(-4)>0

20.(2023秋•宝安区校级期末)已知函数/(无)=2察是定义在［-1,1］上的奇函数，且/(I)=1.

(1)求根，n的值：

(2)试判断函数/(x)的单调性，并证明你的结论；

(3)求使/(a-1)+f<a2-1)<0成立的实数。的取值范围.

2025年高考数学复习新题速递之函数概念与性质(2024年9月)

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.(2024•包头开学)若〃%)=(%+。)2-10出(2元+1)是偶函数，则〃的值为()

11

A.-B.-C.0D.1

42

【考点】奇函数偶函数的性质；对数的运算性质.

【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】A

【分析】根据题意，由偶函数的定义可得/(X)=/(-X),即(％+。)2-，0比(2、+1)=(-％+。)2-

2。为(2—%+1)，变形分析可得答案.

2x

【解答】解：根据题意，/(x)=(%+a)-log2(2+1),其定义域为R,

2x2x

由于/(x)是偶函数，所以/(%)=/(-x),即(％+a)一log2a+1)=(-x+a)-log2(2~+1),

22xx

变形可得：(%+a)-(-%+a)=log2(2+1)-log2(2~+1),

rmi天〃,,2%+1、,.(2X+1)2X./2X+1)2\“

-xx7x7x,

则有4a%—log2—92^2+l)2—―i-\-2—~~

必有4。=1,即〃=

故选：A.

【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及对数的性质，属于基础题.

x<74.

2.(2024•福鼎市校级开学)已知/(%)=，则/(7(6))等于()

1/005(%—1)，x>4

11

A.—B.-C.1D.2

5e

【考点】函数的值.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】B

【分析】根据给定条件，逐次判断代入计算即得.

【解答】解：函数/(%)=|,则/(6)=log55=l,

Uo05(%—1)，X>4

1

所以/(/(6))=/⑴=也

故选：B.

【点评】本题考查函数求值，属于基础题.

3.(2024•河西区校级开学)下列函数是偶函数的是()

2

ex_x2COSX-^-X

A»EB.y=E-

-ex—x—sinx+4%

c-y=^+rD-y=^—

【考点】奇函数偶函数的判断.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象.

【答案】B

【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.

【解答】解：对A,设/。)=%苧，函数定义域为R，但/(—1)=弓匚，/(1)=三，则/(-1)

壬f(1),f(X)不是奇函数，故A错误；

对8,设g(x)=°。翌/,函数定义域为R,

且g(-X)=COS(X”(—X)2=因工/一°(乃,则g小)为偶函数，故正确；

对C,设久乃=言，函数定义域为{x|x#-1},不关于原点对称，贝I]h(x)为非奇非偶函数，故C

错误；

对。，设3(久)=亚答竺，函数定义域为R,因为9(1)=包*,火-1)=-s吁-4,

则隼(1)N(p(-1),则隼(X)不是偶函数，故。错误.

故选：B.

【点评】本题主要考察了函数奇偶性的判断，属于基础题.

4.(2024•福鼎市校级开学)已知函数y=/(2x-1)的定义域是[-1,3],贝的=/里的定义域是()

Vx+2

A.(-2,5]B.(-2,3]C.[-1,3]D.[-2,5]

【考点】抽象函数的定义域.

【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用抽样函数定义域列式求解即得.

【解答】解：由函数y=/(2x-1)的定义域是[-1,3],得-3W2尤-1W5,

因此在函数y=染中，|―解得-2<XW5.

V%+2U+2>0

所以函数丫=图的定义域为(-2,5］.

V%+2

故选：A.

【点评】本题考查抽象函数的定义域及其求法，是基础题.

5.(2024秋•五华区校级月考)已知函数/(无)的定义域为R,且/(2x-l)为奇函数，/(x+1)为偶函

数，当正［-1,1］时，f(x)=ax+l,则/(2025)=()

A.0B.1C.2D.2025

【考点】函数的奇偶性.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】C

【分析】由函数奇偶性，确定/(尤)为周期函数，再结合/(-I)=0,求得°,即可求解.

【解答】解：因为/(2x-l)为奇函数，所以无)关于点(7,0)中心对称，

又/(x+1)为偶函数，所以了(无)关于直线尤=1对称，

所以了(无)为周期函数且周期T=4X|1-(-1)|=8,

：.f(2025)=f(8X253+1)=/(1)=a+l,

,：f(-1)=-a+l=0,：,a=l,：.f(2025)=a+l=2.

故选：C.

【点评】本题考查函数的性质，属于中档题.

6.(2024•河西区校级开学)已知函数/(X)满足了(-2-x)=/(-2+x),对任意尤1,短6(-8,-2］,

且xi#尤2,都有“巧)一"久2)>o成立,且了(0)=0,则/(x)>0的解集是()

xr-x2

A.(…，-2)U(2,+8)B.(-2,2)

C.(-8,-4)u(0,+8)D.(-4,0)

【考点】由函数的单调性求解函数或参数；函数的单调性.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】D

【分析】由已知条件得到了(无)的图象关于尤=-2对称，从而可知了(%)在(-8,-2］上为增函数，

在(-2,+8)上为减函数，且/(-4)=0,再画出折线图表示出函数/(x)的单调性，即可得到答

案.

【解答】解：根据题意，因为数无)满足-2-x)=/(-2+x),则所以无)的图象关于x=-2

对称.

因为函数/(X)对任意尤1,X2C(-8,-2］,且xiWx2,都有“久1)一"冷)

>0成立,

久1一支2

所以了(尤)在(-8,-2］上为增函数.

又因为/(无)的图象关于x=-2对称，/(0)=0,

所以/(x)在(-2,+8)为减函数，且/(-4)=0.

用折线图表示函数/(%)的单调性，如图所示:

由图知：f(x)>0n-4cxe0.

故选：D.

【点评】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数的图象分析，属于中档题.

7.(2024秋•五华区校级月考)函数f(x)=Zn(V^Tl+依)是奇函数且在R上单调递增，则k的取值集

合为()

A.{-1}B.{0}C.{1}D.{-1,1)

【考点】复合函数的单调性；奇偶性与单调性的综合.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】C

【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析求出左的值，进而验证函数的单调性，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，函数〃久)=依)，其定义域为R,

/(-x)—hi(Vx2+1—Ax),

若/(x)为奇函数，则/(%)4/(-无)=ln(/+1-A2%2)=0,必有1-法=3

解可得左=1或-1,

当左=1时，f(x)—In(Vx2+1+x),

设t=7妤+1+尤,易得f在［0,+8)上递增，为y=l而在(0,+8)上递增，

故/'(x)=ln(Vx2+1+x)在［0,+°°)上递增，

而了(%)为奇函数，故/(无)=ln(V^Tl+x)在R上单调递增，符合题意，

当k=-1时，/(x)=历(Vx2+1-%),

设，=V%2+1-X=,1—,易得/在[0,+8)上递减，为y=lnt'在(0,+8)上递增，

J/+1+%

故/(x)=ln(V%2+1—x)在[0,+°°)上递减，不符合题意，

故左=1,则上的取值集合为{1}.

故选：C.

【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及函数的奇偶性，属于基础题.

8.(2024•宝山区校级开学)定义在R上的函数y=/(x)和y=g(%)的最小正周期分别是为和乃，已知

y=f(x)+g(x)的最小正周期为1,则下列选项中可能成立的是()

A.乃=1,72=2B.Ti=*,T2

C•4="芯=4D.7\=],7^=3

【考点】函数的周期性.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】D

47T47r

【分析】根据题意，通过举例说明：f(x)=cos—%,g(x)=sin(2irx)-cos—x,满足了(x)的周

3

期为5,g(X)的周期为3,且/(x)+g(x)的周期为1,由此判断出正确答案.

47r47rnn

【解答】解：设/(x)=cos—x,g(x)=sin(2nx)-cos—x,可知/(x)的周期为=而=亍

33-y

根据尸sin(2TLX)的周期乃=寿=1,尸-cos^x的周期〃=票=会

47r

可得g(x)=sin(2TLX)-COS-^-%的周期T2=3.

此时/(x)+g(x)=sin(2TIX),最小正周期T=L

综上所述，存在/(x)的周期为=怖，g(x)的周期72=3,使/(x)+g(x)的周期为1,。项符合题

故选：D.

【点评】本题主要考查正弦函数与余弦函数的周期公式、函数的周期性及其应用等知识，属于中档题.

—丫2—9/7y—ny<^C\,

在R上单调递增，则。的取值范围是()

{ex+Zn(x+1),x>0

A.(-8,o]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+8)

【考点】函数的单调性；由函数的单调性求解函数或参数.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】B

【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可.

【解答】解：函数为了(无)=(一―—2a“-a'在R上单调递增.

lex+ln(x+1)，%>0

_,(—CL20

可r知：[一aWe°+①(0+1)'

可得而[-1,0].

故选：B.

【点评】本题考查分段函数的单调性的应用，考查计算能力，是中档题.

10.(2024•珠海模拟)函数/(尤)=/g(2x-1)的定义域为()

111

A.RB.(-8,一)C.[-,+8)D.(-,+8)

22

【考点】函数的定义域及其求法.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用.

【答案】D

【分析】函数/(无)=lg(2x-1)有意义，可得2x-l>0,解不等式即可得到所求定义域.

【解答】解：函数/(%)=lg(2r-1)有意义,

可得2x-1>0,

1

解得尤

则定义域为(}+8).

故选：D.

【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数大于0,考查运算能力，属于基础题.

二.多选题(共3小题)

(多选)H.(2024•河南模拟)若函数/(x)的定义域为R,则下列说法正确的是()

A.若/(x)=-f(x),则/'(x)=0

B.若对VxCR,f(x+1)+f(x)=1,则/(x+2)</(x)

C.若对Vxi,X26R且无iWx2,|/(尤1)-f(X2)](xi-X2)>0,则/1(x)是R上的增函数

D.若对VxCR,(-x)\=\f(x)I，则/(x)=0

【考点】定义法求解函数的单调性；奇函数偶函数的判断.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象.

【答案】AC

【分析】对于A项，直接计算即可判定；对于B项，通过递推关系可判定了(x+2)=/3即可；对于

C项，利用函数单调性的定义即可判定；对于。项，举出反例即可判定.

【解答】解：A选项中，因为/(无)=-/(%),所以2/(x)=0,所以/(x)=0,故A正确；

2选项中，因为/(x+1)+f(x)=1,所以/(x+1)=1-f(x),

所以/(x+2)—1-f(x+1)—f(x),故2错误；

C选项中，不妨设X1<X2,则/(尤1)</(X2),所以/(X)是R上的增函数，故C正确；

D选项中，若/(无)=,，满足，(-x)|=，(x)|,但/(无)=0不成立，故。错误.

故选：AC.

【点评】本题主要考查了函数性质的综合应用，属于中档题.

(多选)12.(2024•湖南开学)已知函数/(x)=(忐)(，+2)2-1,则()

A.f(x)为偶函数

B.f(x)的值域为(0,2024］

C.f(x)在［2024,+8)上单调递减

D.f(66)<f(88)

【考点】复合函数的单调性.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】BC

【分析】根据函数的性质逐项分析判断即可.

【解答】解：函数f(x)的定义域为R,且f(—无)=(表)-1=(/)U*/(%),

则/(%)不为偶函数，故A错误；

令u=(x+2)2-12-1,

则y=(女立葡"在“4-1,+°°)上单调递减，

则其值域为(0,2024］,故8正确；

因为"=(x+2)2-1在［-2,+8)上单调递增，且丫=(余云)立在“日-1,+8)上单调递减，

由复合函数单调性法则，可知函数/(x)在［2024,+8)上单调递减，故C正确；

由于函数/(%)在［-2,+8)上单调递减，所以/(66)>/(88),故D错误.

故选：BC.

【点评】本题考查函数性质的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

(多选)13.(2024秋•新乡月考)已知函数/(%)的定义域为R,且其图象是一条连续不断的曲线，/(孙)

=^S)+W(尤)，记/(x)为/(x)的导函数，则下列说法正确的是()

A.f(0)=0

B./(x)为奇函数

C.若居)=1,则/⑷=-8

D.若f'(x)在(0,+8)上单调递减，则/(%)恰有三个零点

【考点】抽象函数的奇偶性.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.

【答案】ABD

【分析】利用赋值法可得/'(0)=0,/(-X)--f(x),f(4)=-16可判断A,B,C；

利用单调性以及/(0)=/(1)=0,结合函数是奇函数，可得f(x)恰有三个零点，判断。.

【解答】解：对于A,令x=y=O,则/(0)=0,故A正确；

对于8,令x=y=l,得/(I)=2f(1),/(1)=0,

令x=y=-1,得/(I)=-2/(-1),/(-1)=0,

所以/(-x)=xf(-1)-f(x)=-f(x),

即/(x)为奇函数，故3正确；

对于C,令尤=y=.得/(3==1，

令x=/，y=4,得f(1)=%(4)+4/(1)=0,

所以7(4)=-16,故C错误；

对于。，因为,(尤)在(0,+8)上单调递减，又于(0)=/(1)=0,

所以存在xoe(0,1),满足了(尤)在(0,X0)上单调递增，在(X0,+8)上单调递减，

因此/(x)在(0,+8)上只有一个零点1,又/(尤)是奇函数，

所以/(x)恰有三个零点-1,0,1,故D正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查了判断抽象函数的奇偶性、利用赋值法求抽象函数的值及零点存在定理,属于中档题.

三.填空题(共3小题)

14.(2024•湖南开学)已知函数/(%)=/不满足f(0)=^则/(2024)+f(-2024)=1.

【考点】奇函数偶函数的性质.

【专题】整体思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】1.

【分析】利用/(o)=g,求出“=i,代入求值.

【解答】解：/(。)=齐=小故;=；，解得。=1,

3°+1222

则=出

11]^2024

故〃2024)+f(-2024)=萍%+/亏^024^+^24^=

故答案为：1.

【点评】本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题.

15.(2024•苏州模拟)己知奇函数y=/(x)的定义域为(2a,1-a),则实数a=-1

【考点】奇函数偶函数的性质.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象.

【答案】-1.

【分析】由己知结合奇函数定义域关于原点对称即可求解a.

【解答】解：由于/(x)是奇函数，

所以2〃+(I-。)=〃+1=0,a=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题.

16.(2024•南开区校级开学)函数f(x)=夸三1的定义域为⑵3)U(3,+8)

\X\5

【考点】简单函数的定义域.

【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】［2,3)U(3,+8).

【分析】根据函数的解析式，列出不等式组求解即可.

【解答】解:由题意，令解得尤22,且xW3；

II人IO~7~~U

所以函数/(%)=落1的定义域为［2,3)U(3,+8).

故答案为：［2,3)U(3,+8).

【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题.

四.解答题（共4小题）

17.（2024秋•三元区校级月考）已知函数/（x）是定义在（-2,2）上的奇函数，满足/（I）=称，当-2

<xW。时，有〃乃=鬻・

（1）求函数/（无）的解析式；

（2）解不等式/（2尤-1）+f（x）<0.

【考点】奇偶性与单调性的综合；奇函数偶函数的性质.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】（1）/（久）（-2<%<2）；

（2）｛久|一2<xV•

【分析】（1）由奇函数的性质求解解析式即可；

（2）判断出/（x）为增函数，结合单调性和定义域列出不等式组，解不等式组即可.

【解答】解：（1）因为函数/（x）是定义在（-2,2）上的奇函数，所以/（0）=0,即？=0,解得b

4

=0,

因为y（i）=所以/'（—1）=—,=—g,所以。=i,

所以当-2<xW0时，〃久）=若干

当0<尤<2时，-2<-x<0,

则"x-=一m2=总,

综上所述，f（x）=>（-2<x<2）.

（2）任取xi,X2G（-2,2）,且

则/&）—/■&）=益一券

=%1（4+%22）-％2（4+巧2）

22

（4+%1）（4+%2）

=%1%2（%2_犬］）_402一汽1）

（就+4）（用+4）

二（九2一%1）（光1%2一4）,

（.彳+4）（%与+4）'

因为-2VXI〈X2<2,所以12-XI>0,XLX2-4V0,

（%2一巧）（巧刀2—4）

所以•<0,即/（XI）<f（X2）,

（好+4）（好+4）

故/(x)=喜在(-2,2)上为增函数；

因为函数/(x)是定义在(-2,2)上的奇函数，

所以+于(x)<0<=^f(x)<-f(2x-1)of(x)</(1-2%),

又由/(%)=等在「2,2)上为增函数，

%Z+4

p<l-2x

所以《一2<%<2,

(-2<2x-1<2

解得—；<XV称,

故原不等式的解集为国-±4〈筋

【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查解不等式，考查转化思想，是一道中档题.

18.(2024•沙坪坝区校级开学)已知定义在(-1,6)上的奇函数/(久)=旬需.

(1)求实数a,b的值；

(2)若/(x)在(m,〃)上的值域为(-1,+8),求实数m,n的值.

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【答案】⑴a=b=l；

9

(2)m=-1n=TT,

【分析】(1)根据函数为奇函数，得到-1+〃=0,/(-X)V(%)=0,求出。，匕的值;

(2)根据函数的单调性解不等式，结合函数定义域得到m=-1,n=g.

【解答】解：(1)由于-1+6=0,故b=l,/(尤)=国羽,

由〃")=匈舄为奇函数得以一久)+〃")=旬鬻+匈工=匈冏制=°，

C&L解…或…

故«=/?=!；

1—r,,1—X1

(2)f(%)=lgYVZ>—1,故---->一，

y1+%i+xio

又-1<X<1,

解得一1〈Xv言,

故m=-1，n=2.

【点评】本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，还考查了对数函数性质的应用，属于中档题.

19.(2024•雁塔区校级开学)设函数无)=/〃|2x+l|-历|塔-1|,

(1)判断函数尤)的奇偶性；

(2)解不等式/(屋+1)+/-(-4)>0

【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的图象与图象的变换；奇函数偶函数的判断.

【专题】整体思想；函数的性质及应用；排列组合；数学运算.

【答案】(1)函数/(x)为奇函数，证明见解析；

(2)(-V3,V3).

【分析】(1)根据题意求/(x)的定义域，结合奇函数的定义分析证明；

(2)利用导数求出/(x)在8,+8)上的单调性，结合单调性和奇偶性，将不等式转化为：«2+1<4

即可求解.

【解答】解:(1)函数尤)为奇函数，证明如下：

M…解得力士］

由题意可得:

\2x-l\>0人

所以函数，(X)的定义域为国XW土务，

又因为/(%)-+/(-x)=ln\2x+l\-ln\2x-l\+ln\-2x+l|-ln\-2x-1|

=勿|2x+l|-ln\2x-l\+ln\2x-1|-Zn|2x+l|=0,

即/(x)=-/(-x)，所以函数/(x)为奇函数.

1

⑵当％+00)0^*,y(x)=ln\2x+l\-ln\2x-l\=ln(2x+l)-In(2x-1),

1_2.x—1—(2x+l)——2_

所以广(X)=茹万2x^1=(2x+l)(2x-l)=(2x+l)(2x-l)<U,

所以/(X)在G，+8)上单调递减,

因为函数/(x)为奇函数.，所以不等式/(『+1)+/•(-4)>0等价于/(/+1)>/(4),

由于4>|,函数/(%)在8，+8)上单调递减,

所以/Q2+1)>/(4)等价于/+1<4,解得：-W<a<W,

所以不等式/(/+i)+/-(-4)>0的解集为(―8，V3).

【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断及单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题.

20.(2023秋•宝安区校级期末)已知函数/(x)=］岩是定义在［-1,1］上的奇函数，且/(I)=1.

(1)求WZ,W的值：

(2)试判断函数/(%)的单调性，并证明你的结论；

(3)求使/(a-1)1)<0成立的实数。的取值范围.

【考点】奇偶性与单调性的综合；由函数的单调性求解函数或参数；函数的奇偶性.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算.

【答案】(1)相=2,"=0；(2)f(x)在［-1,1］上为增函数，证明见解答；(3)［0,1).

【分析】(1)由奇函数的性质可得/(0)=0,结合/(I)=1,解方程可得机，w的值；

(2)/(%)在［-1,1］上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质；

(3)由奇函数/(x)在［-1,1］上为增函数，可将不等式的两边的“尸去掉，解不等式可得所求取值

范围.

【解答】解：(1)函数/(无)=黄普是定义在LL1］上的奇函数，

且7(I)=1,可得/(0)=0即〃=0；

1

又一(徵+〃)=1,则机=2,所以机=2,〃=0；

2

(2)/(九)=，^在［-1,1］上为增函数.

证明：设则/(XI)-f(X2)=2：；-弩彳

第1乙+1%2乙+1

=2(巧一%2)(1一巧冷)

一(%12+1)(%22+1)'

由-lWxi<X2(l,可得XLX2<0,X1X2<1,

则/(XI)-f(X2)<0,即尤1)<f(X2),

所以/(X)在L1,1］上为增函数；

(3)由/(无)为奇函数，

可得/(a-1)V<a2-1)<0即为/(a-1)<-f(cz2-1)=/(l-/),

由/(x)在［-1,1］上为增函数，可得-iWa-1<1-/wi,

解得0Wa<l,即a的取值范围是［0,1).

【点评】本题考查函数的奇欧旭和单调性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

考点卡片

1.函数的定义域及其求法

【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.

求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；

②根式（开偶次方）被开方式20;

③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；

④指数为零时，底数不为零.

⑤实际问题中函数的定义域；

【解题方法点拨】

求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组.（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析

式有意义的自变量的取值集合.（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意

义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）.（3）若一函数解析式是由几个

函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为

空集，则函数不存在.（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则/下的量"x+a"“尤所要满

足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是无，所以求g（尤）的定义域应求g（x）中的x的范围.

【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题.

2.简单函数的定义域

【知识点的认识】

函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.

求解函数定义域的常规方法：

①分母不等于零；

②根式（开偶次方）被开方式N0;

③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1;

④指数为零时，底数不为零.

⑤实际问题中函数的定义域；

【解题方法点拨】

求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组.（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式

有意义的自变量的取值集合.（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，

还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）.（3）若一函数解析式是由几个函数

经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为空集,

则函数不存在.

【命题方向】

常见的题目包括求一次函数、二次函数、分式函数的定义域，以及结合实际应用题求定义域.

函数f（久）=727^3+3的定义域为（）

解:由题意得：『久，堂0,

—3W0

解得：且％W3,

3

故函数的定义域是与，3）U（3,+8）.

3.抽象函数的定义域

【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.

求解函数定义域的常规方法：

①分母不等于零；

②根式（开偶次方）被开方式》0;

③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；

④指数为零时，底数不为零.

⑤实际问题中函数的定义域；

【解题方法点拨】

求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组.

（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.

（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、

面积必须大于零、人数必须为自然数等）.

（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不

等式组的解集.若函数定义域为空集，则函数不存在.

（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“尤”“x+a”“x-a”所要满足的范围是一样的；

②函数g（无）中的自变量是X,所以求g（x）的定义域应求g（X）中的尤的范围.

【命题方向】

涉及抽象函数的定义域求解，常见于参数未知的函数定义域问题.

已知函数，（3x+2）的定义域为（0,1）,则函数/（2x-l）的定义域为.

解：由函数/（3x+2）的定义域为（0,1）,即得2<3x+2<5,

3

令2<2x-l<5,解得5Vx<3,

函数/（2尤-1）的定义域为后，3）.

4.函数的图象与图象的变换

【知识点的认识】

函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线.

解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，

然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）.

命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数

的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题.

图象的变换

1.利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线.

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性

等）.

其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

（1）平移变换：

y=f（x）a>0,右移a个单位左移⑷个单位）=>y=/（x-a）；

y=f（x）b>Q,上移6个单位（6<0,下移族|个单位）^y=f（x）+b.

（2）伸缩变换：

0<兴1，伸长为原来对倍

---------------------f~>

y=f（x）3,缩短海来也产了（3X）；

y=/（x）A>1,伸为原来的A倍（0<A<l,缩为原来的A倍）=y="（尤）.

（3）对称变换：

y=f（x）关于x轴对称=y=~f（%）；

y=f(x)关于y轴对称=>y=/(-尤)；

y=/(无)关于原点对称ny=-f(-x).

(4)翻折变换：

y=f(x)去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边=y=/(|x|)；

y=/(x)留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y=|/(尤)|.

【解题方法点拨】

1、画函数图象的一般方法

(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本