利用导数研究恒成立与能成立（有解）问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第06讲利用导数研究恒成立与能成立(有解)问题

(2类核心考点精讲精练)

12.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

证明函数的对称性

利用导数求函数的单调性

2024年新I卷，第18题,17分利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数证明不等式

利用不等式求取值范围

2023年新I卷，第19题,12分利用导数研究不等式恒成立问题含参分类讨论求函数的单调区间

利用导数求函数的单调区间

(不含参)

2023年新H卷，第22题,12分利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数研究函数的零点

根据极值点求参数

含参分类讨论求函数的单调区间

2022年新II卷，第22题,12分利用导数研究不等式恒成立问题

裂项相消法求和

2020年新I卷，第21题,12分利用导数研究不等式恒成立问题求在曲线上一点处的切线方程

2020年新II卷，第22题,12分利用导数研究不等式恒成立问题求在曲线上一点处的切线方程

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分

【备考策略】1能用导数证明函数的单调性

2能求出函数的极值或给定区间的最值

3。2/(x)恒成立=a2/(x)max,a</(x)恒成立0a</(x)min,

4«>/(x)有解oa2/(xL，a</(x)有解=a</(x)max,

【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容，也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中

求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题，导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,

有一定的难度，一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养

都有较深入的考查，需综合复习

知识点1恒成立问题常见类型

知识讲解

1.恒成立问题常见类型

假设X为自变量，其范围设为。，/(x)为函数；。为参数，g(a)为其表达式，

(1)/(X)的值域为［制,

①VxeZ>,g(a)V/。),则只需要g(a)V/(x)血口=加

Vxe£),g(a)</(x),则只需要g(a)<<(x)1nhi=m

②VxeZ),g(a)i/(x),则只需要g(a)2

Vxe£),g(a)>/(x),则只需要g(a)>/(x)111ax=刊

(2)若/(x)的值域为(m,M)

①VxeZ),g(a)</(%)，则只需要g(a)W机

VxeD,g(a)</(%),则只需要g(a)W机(注意与(1)中对应情况进行对比)

②VxeZ),g(a)>/(%))则只需要g(a)2M

Vxe£),g(a)>/(x),则只需要(注意与⑴中对应情况进行对比)

2.恒成立问题的解决策略

①构造函数，分类讨论；②部分分离，化为切线；③完全分离，函数最值；④换元分离，简化运算；

在求解过程中，力求“脑中有‘形'，心中有‘数'”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.

一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等

式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综

合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热

点.

3.能成立(有解)问题常见类型

假设x为自变量，其范围设为。，/(x)为函数；a为参数,g(a)为其表达式，

(1)若/(x)的值域为［私

①*eD,g(a)"(x),则只需要g(a)W/(x)1mx="

BxeD,g(a)<f(x),则只需要g(a)</(x)111ax=M

②JeZ),g(a)i/(x),则只需要g(a)2/(x)mm=m

3xe£>,g(a)>/(x),则只需要g(a)>/(x)1nhi=m

(2)若/(x)的值域为(优,M)

①3xeD,g(a)</(x),则只需要g(a)<M(注意与(1)中对应情况进行对比)

3xeD,g(a)</(%),则只需要g(a)<M

②3xeD,g(a)>/(x),则只需要g(a)〉根(注意与⑴中对应情况进行对比)

3xeD,g(a)>/(%),则只需要g(a)〉机

4.能成立(有解)问题的解决策略

①构造函数，分类讨论；②部分分离，化为切线；③完全分离，函数最值；④换元分离，简化运算；

在求解过程中，力求“脑中有‘形‘，心中有‘数'”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.

一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等

式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综

合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热

点.

考点一、利用导数解决函数恒成立问题

典例引领

1.(2024・全国•高考真题)已知函数/(x)=(l-办)ln(l+x)-x.

(1)当a=-2时，求/(X)的极值；

(2)当x20时，/(x)>0,求。的取值范围.

QinX(TTA

2.(2023•全国•高考真题)已知函数———0,-

cosx12J

⑴当a=8时，讨论人工)的单调性；

(2)若〃x)<sin2x恒成立，求a的取值范围.

3.(2022•全国•高考真题)已知函数"x)=xea'-e'.

(1)当4=1时，讨论了⑴的单调性；

(2)当％>0时，/(%)<-1,求〃的取值范围;

/J+/J+-••+.1>ln(n+1)

⑶设〃EN*,证明:

A/12+1V22+2J42+n

2

1.(2024・广东汕头•三模)已知函数/(x)=lnx-ax,g(x)=一,a^0.

⑴求函数“X)的单调区间；

(2)若/(x)Wg(x)恒成立，求。的最小值.

2.(2024•江苏苏州•三模)已知函数"x)=cosx,g(x)=a(2-x2).

(l)a=l时,求尸(x)=/(x)-g(x)的零点个数；

⑵若〃x)Ng(x)恒成立，求实数a的最大值；

⑶求证:与sin[?-3>2k)(keR).

3.(2024•浙江温州•模拟预测)函数/(切=片>山工

①求/(x)的单调区间.

(2)若“X)Wax+/在％20时恒成立，求。的取值范围.

4.(2024•湖北武汉•模拟预测)已知函数〃x)=e、+G2_e,aeR.(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

⑴若“X)无极值点，求实数。的取值范围；

(2)当x20时，〃x)Z；x3+x-e+l恒成立，求实数。的取值范围.

考点二、利用导数解决函数能成立(有解)问题

典例引领

1.(2024•福建泉州,模拟预测)已知函数/(x)=x”nx.

⑴求/(x)的单调区间；

(2)若存在x>0,使得/(x)Wax成立，求实数。的取值范围.

2.(2024高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=e'-x.

⑴求函数〃x)的极值；

(2)若对任意苫＞0,〃》)＞；一+1有解，求。的取值范围.

3.(2024・湖南娄底•一模)已知函数=其中e=2.71828…为自然对数的底数.

⑴求函数〃x)的单调区间；

T

(2)证明：/(x)＜e-l;

⑶设g(x)=/(x)-e2x+2ae=4a2+l(aeR),若存在实数看使得g(x。)20,求。的最大值.

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1.(2024・湖北•模拟预测)已知函数/(x)=hu,g(x)=7-l其中。为常数.

⑴过原点作/(x)图象的切线/,求直线/的方程；

(2)若改€(0,+8),使〃x)4g(x)成立，求。的最小值.

2.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=%2_2alnx-2(a£R).

⑴讨论/(x)的单调性；

⑵若不等式/(x)＜2(ln%)2+-_2x在区间(1,+8)上有解，求实数a的取值范围.

3.(2024•山西运城•一模)已知av1,函数/(x)=xsinx+4cosx,XG(0,TI).

(1)求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(2)证明：存在唯一的极值点；

⑶若存在。，使得〈-ga+6对任意xe(0,7i)成立，求实数6的取值范围.

ML好题冲关

基础过关

1.(2023高三・全国•专题练习)设函数/(x)=e-l-X-”,若当xNO时/(x)20,求。的取值范围.

2.(2023高三•全国•专题练习)已知/'(x)=ln手，实数人使得〃尤)＞耳x+一对xe((M)恒成立，求实数上

II3J

的最大值.

3.(2023高三•全国•专题练习)设函数〃x)=ln(x+l)-M.

(1)讨论“X)的单调性；

(2)若/(x)20恒成立，求。的值.

4.(23-24高三上•贵州安顺・期末)已知函数〃无)=%3-x--x+2

⑴求/(x)的单调增区间；

(2)方程/(》)=加在xe-g,2有解，求实数加的范围.

5.(2024・陕西铜川•模拟预测)已知函数〃x)=ln(2x+l)-4ae，+(a-2)x(aeR).

⑴当。=0时，求/(x)的最大值；

⑵若g(x)=/(x)+3ae，对定义域内任意实数x都有g(x)W0,求。的取值范围.

6.(22-23高三上•河南•阶段练习)已知函数〃x)=H(x-l)e=6](其中e为自然对数的底数).

⑴若左=1,求函数〃％)的单调区间；

(2)若1W左W2,求证：Vxe[0,g,/(x)<x2.

7.(2023高三•全国•专题练习)己知函数〃x)=；x3一+其图象在点处的切线方程

为x+y-3=0.

⑴求。，b的值与函数/(x)的单调区间；

(2)若对xe[-2,4],不等式/(x)<c2-c恒成立，求C的取值范围.

8.(23-24高三上•江苏常州,期中)已知函数"X)=£x2+(2a-l)x-21nx,aeR.

⑴讨论f(x)的单调性;

(2)对于Vx«l,e],弘e[2,+s),使得八x)26,求实数。的取值范围.

9.(2024・吉林白山•二模)已知函数/(x)=21nx-mx+2.

⑴若冽=3,求曲线V=/(x)在x=l处的切线方程；

(2)若Vxe(0,+s)J(x)<0,求实数m的取值范围.

10.(23-24高三上■河南•阶段练习)已知函数〃x)=lnx+2ox(aeR).

⑴当。=-1时，求函数的单调区间；

⑵若g(x)=/(x)-2/,不等式g(x)Z-l在[1,+动上存在实数解，求实数。的取值范围.

能力提升

1.(2024・浙江绍兴•二模)已知函数〃x^'-x+asinx.

⑴当a=2时，求曲线昨〃x)在点(0，/⑼)处的切线方程；

(2)当xe(O,兀)时，/(x)>0,求实数a的取值范围.

2.(23-24高三上•广东深圳,阶段练习)已知/(x)=ax-lnx,aeR.

(1)讨论)(x)的单调性和极值；

(2)若xe(O,e］时，/(x)V3有解，求。的取值范围.

3.(2024・陕西渭南•二模)已知函数〃x)=xlnx,g(x)=^^-x+l.

XX

⑴求函数g(x)的单调区间；

(2)若当%>0时,mx-ex(何'(x)恒成立，求实数m的取值范围.

4.(2024•山东德州•三模)设函数/(xHbe'+qcosx,a,beR,曲线>=〃x)在点(0J(0))处的切线方程

为歹=x+2.

⑴求a,b的值；

(2)求证:方程/(x)=2仅有一个实根；

⑶对任意xe(0,+oo),有〃x)>左sinx+2,求正数上的取值范围.

5.(2024•江苏宿迁•三模)已知函数/(x)=ln(x-o)+j9a-4x(a>0).

⑴若曲线y=〃x)在X=2处的切线的方程为x+y=6,求实数b的值；

(2)若函数Ax)Wina+2a恒成立，求a的取值范围.

6.(2024•青海海西•模拟预测)已知函数/(x)=x3-x2+ax.

⑴讨论函数〃x)的单调性；

(2)令g(x)=〃x)+。-xln尤-2,若g(x"0恒成立，求实数。的取值范围.

7.(2024.四川泸州.二模)已知函数〃x)=2Y一加+2(a>0).

⑴求曲线y=〃x)在点(oj(o))处的切线方程；

⑵若土«-!』，|/(x),3,求实数a的取值范围.

8.(2024•广东梅州・一模)已知函数/(x)=ln(x+l)--^-(fl>0).

⑴若x=l是函数/(x)的一个极值点，求。的值；

(2)若/卜)20在［0,+。)上恒成立，求。的取值范围；

(2024Y°24

⑶证明：吗>e(。为自然对数的底数).

{2023)

2

9.(2024・四川宜宾•模拟预测)已知函数=5-xlnx,g(x)=a(x+liu)+/-B.

⑴求/(X)过原点的切线方程；

⑵求证：存在使得〃x"g(x)在区间(1,+⑹内恒成立，且=g(x)在(1,+动内有