2025年高考数学一轮复习：指数与指数函数（学生版）

考点11指数与指数函数(3种核心题型+基础保分练+综合提

升练+拓展冲刺练)

m【考试提醒】

i.理解有理数指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌握指数幕的运算性质.

2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象3理解指数函数的单调性、特

殊点等性质，并能简单应用.

皿【知识点】

1.根式

(1)一般地，如果廿=〃，那么叫做〃的〃次方根，其中心1,且〃£1^*.

(2)式子"G叫做，这里〃叫做根指数，Q叫做被开方数.

(3)(〃)"=.

当〃为奇数时，，

当〃为偶数时，而尸厂’.既

V(―Q,6Z<0.

2.分数指数幕

m

正数的正分数指数累：a"—(a>0,m,"GN*,n>l).

-HLJ

正数的负分数指数累：an==-；=(a>0,m,"GN*,n>l).

Vam

0的正分数指数幕等于,0的负分数指数幕没有意义.

3.指数幕的运算性质

aras=；(。'>=;(ab)r=(a>0,b>0,r,sGQ).

4.指数函数及其性质

(1)概念：一般地，函数y=a工(a>0,且a=l)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域

是.

(2)指数函数的图象与性质

a>l0<6Z<l

yiy=axy=ax\

图象(0,1)公

二1X1X

定义域

值域

性质过定点________,即x=0时，y=l

当x>0时，_______；当x<0时，________；

当x<0时，_________当x>0时，__________

在(一8,+8)上是_______在(一8,+8)上是_______

【常用结论】

1.指数函数图象的关键点(0,1),(1,a),(—1,3

2.如图所示是指数函数(l)y=a*(2)y=〃，(3)y=cS(4»=#的图象，则0分1>0>6>0,即

在第一象限内，指数函数>="(60,且aWl)的图象越高，底数越大.

题型一指数塞的运算

(1)指数赛的运算首先将根式、分数指数赛统一为分数指数幕，以便利用法则计算，还应注

意：

①必须同底数森相乘，指数才能相加.

②运算的先后顺序.

(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

【例题1】(2024•广东•模拟预测)若盯=3,则

1Cx+n2+e*一5*

【变式1](2024高二下•全国•专题练习)已知函数〃x)=(5)、」.二2八—，则

212(%+1)

/(log,6)+/(log,.

6

2、x<l(7、

【变式2】(2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=；-।则/彳卜______

/x-2,x>l,[2)

【变式3】(2024高三•全国•专题练习)化简下列各式:

2

(1)O.O64"一旧一无。=

y]a3b2y[ab^

(2)(11V_11(。>0,6>0=______

a4b2a3b3

7

（3设£+丫4_a，贝Ux+%-1的值为

题型二指数函数的图象及应用

对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、

对称变换得到.特别地，当底数。与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

【例题2】（2024高三•全国・专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数了=4，y=loga（尤

【变式1】（23-24高三下•江西,开学考试）

【变式2】（23-24高三上•山东潍坊•期中）

A.0<a<b<lB.0<a<l<b

C.Q<b<\<aD.a<O<l<b

【变式3］（2024•四川•模拟预测）已知函数y=£,y=bx,V=log,%在同一平面直角坐标

系的图象如图所示，则（）

aa

Alogjc<b<sinZ?Blog}c<sinb<b

22

a

Csinb<〃<log】cDsin/）<logxc<b

22

题型三指数函数的性质及应用

⑴利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小

还可以借助中间量.

（2）求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、

最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断.

命题点1比较指数式大小

【例题3】（2024•甘肃武威・模拟预测）^a=b=log050.8,c=log040.9,则。也c的大

小关系是（）

A.b>c>aB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

【变式1］（2024•全国•模拟预测）已知"logs?,b=lg4,0=2「，则。也c的大小关系为

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【变式2］（2024•北京房山•一模）已知〃,6,C£R,则下列命题为假命题的是（）

A.若贝（Ja+c>b+cB.若a>b>0,贝lj〃以>阴,

C.若a>b,则已『<已『D.若a>6>0,c>0,则吼三

V2）（2）aa+c

15

【变式3］（2024•陕西西安・模拟预测）^a=0.31,b=log312,c=log26,d=3pi,则有

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

命题点2解简单的指数方程或不等式

【例题4】(23-24高三上•陕西咸阳•阶段练习)若函数/(x)="+l(a>0且"1)在区间

[1,2]上的值域为[3,5],则实数。的值为()

11

A.-B.2C.3D.-

23

【变式1】(23-24高三上•河南周口•阶段练习)己知函数/(x)=22、-幺2,+4,若/(x)20恒

成立，则实数。的取值范围为()

A.(-<»,4]B.(-0>,2]C.[4,+oo)D.[2,+a>)

【变式2】(2023•山东苗泽・三模)已知函数〃x)=siiw+无，若xeR,不等式

+2及j>0恒成立，则正实数用的取值范围为()

A.(3,4)B.(2,+co)C.[3,+oo)D.(4,+<x>)

【变式3】2024高三•全国•专题练习)若集合A={x|log2xV1},集合8={昨-2},则/口5=

()

1x|0<x<ljC.1x|0<x<ln21D.1x|0<x<2j

命题点3指数函数性质的综合应用

【例题5】(23-24高三上•陕西•阶段练习)已知函数=m。是奇函数.

⑴求。的值；

(2)求在上的值域.

【变式1](23-24高三上•广东茂名•阶段练习)若函数/(x)=(2a-1广3+6的图象恒经过定点

(3,-2).

(1)求6的值；

⑵当在R上是增函数，求a的范围.

【变式2】（2024,全国•模拟预测）已知函数〃x）=12x-4|+|x+3］.

（1）求不等式卜4,的解集；

（2）128

（2）若〃x）＞依+1恒成立，求实数上的取值范围.

【变式3］（23-24高三上•江苏淮安•期中）已知不等式Iog2（x+2）41og2（8-2x）.

⑴求不等式的解集A；

⑵若当xeZ时，不等式［；［［4口］+22加总成立，求加的取值范围.

□【课后强化】

基础保分练

一、单选题

1.（2024•四川绵阳•二模）的展开式中，x的系数为（）

A.-5B.-10C.5D.10

V-/）

2.（2024•内蒙古包头•一模）已知〃x）=171r伍＞0）是奇函数，贝防=（）

A.4B.3C.2D.1

3.（23-24高三上•广东梅州•期中）计算：1.1°+W-0.5-2+lg25+21g2=（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2024高三下,全国•专题练习）已知〃x）=嘿，彳+xcosx（-IVXVI）,设函数,⑴

的最大值是"，最小值是N,则（）

A.M+N=8B.M-N=S

C.M+N=6D.M-N=6

二、多选题

5.（23-24高三上•福建漳州•阶段练习）小明同学对函数〃无）=「-版＞0且aR1）进得

研究，得出如下结论，其中正确的有（）

A.函数/'（X）的定义域为RB.函数/（x）有可能是奇函数，也有可能是偶

函数

C.函数/（x）在定义域内单调递减D.函数/（无）不一定有零点

2

6.（2024•山东临沂・一模）已知函数/（力=不~-+a（aeR）,则（）

2—1

A.〃》）的定义域为（-8,0川（0,+向

B.的值域为R

C.当。=1时，无）为奇函数

D.当。=2时,/（-x）+/（x）=2

三、填空题

7.（2023•上海金山•一模）若x＞0时，指数函数的值总大于1,则实数加的取

值范围是.

8.（23-24高三上•江苏连云港•阶段练习）设xeR,用［x］表示不超过x的最大整数，则y=［x］

称为高斯函数.例如：［2』=2,-3.1］=-4.已知函数/.=芸〉则［〃一1）］=，

函数y=［f(x)］的值域为.

四、解答题

9.(2024高三・全国•专题练习)画下列函数图像

⑴y=2工+2；

,、x+2

⑵尸”

10.(2024高三•全国•专题练习)化简：

(1)(—P+(0.002p-10(V5-2r'+(V2-V3)°；

(2)^(1+V2)3+V(1-V2)4

11.(23-24高三上•安徽合肥•阶段练习)已知函数/(X)=2、；2、,=

(1)若存在xe(O,+s),使得/(x)=/.2£+g成立，求实数，的取值范围；

(2)若不等式〃2x)+26g(x)N0,对任意的恒成立，求实数b的取值范围.

12.23-24高三上•河南郑州•阶段练习)己知函数/(%)=优+6,g(x)=log.x,

其中6均为实数.

⑴若函数/(x)的图像经过点4(0,2),8(1,3),求凡6的值；

⑵如果函数/(x)的定义域和值域都是，求0+6的值.

⑶若。满足不等式22)>25。-2,且函数g(2x-l)在区间［1,3］上有最小值-2,求实数。的

值.

综合提升练

一、单选题

1.（2023•广东珠海•模拟预测）己知。>0且“N1,下列等式正确的是（）

6

A.2.。3=。-6B.—=a2

a

N1

C.a6+a3=a9D.a2=-?=

2.（23-24高三下•重庆•阶段练习）已知为奇函数，贝丫⑴二（）

22

A.-B.——C.2D.-2

33

3.（2024・全国•模拟预测）已知函数/（x）=3，,若a=〃log36）/=/（log510）,c=/1|],则

（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

2%+2-x,x<3

4.（2024•江苏南通•二模）已知函数〃x）=（x）.,则〃bg?9）=（）

]/匕/>3

8108082

A.-B.—C.—D.—

3399

5.（2023•江西南昌三模）设函数〃可=优（0<。<1）,g（x）=k>gr（6>l）,若存在实数加

满足：①/（加）+g（承）=0；②/（XHgShO，③|加-小1,则;机-〃的取值范围是

（）

6.（23-24高三上•福建莆田•阶段练习）函数7=优~+2（。>0且awl）的图象恒过定点化6）,

91

若加+〃=6—左且加〉0,〃〉0,则一+一的最小值为（）

mn

95

A.9B.8C.D.

22

7.（23-24高三上•云南楚雄・期末）设衿的小数部分为x,则/+6工2+12、=（）

32

A.1B.-C.2D.-

23

8.（23-24高三上•河南郑州•阶段练习）下列结果正确的是（）

B.log。(MN)=log。M+logflN

D.(log32+log92)•(log43+log83)=|

9.（2024•广西柳州•三模）若。＞6,则（

A.a3-b3>0B.ln("b)〉0C.ea-b>1D.同一例>0

_i

10.（23-24高三上•浙江温州•期末）已知函数/⑴=1^^,则（）

A.不等式的解集是

B.VxeR,都有〃-x）=/（x）

C.〃x）是R上的递减函数

D./（x）的值域为

11.（22-23高三上•河北邯郸・期中）设函数则下列结论正确的是（）

A.伏刈是偶函数B.是奇函数

c./W[/（X）|是奇函数D.7（|x|）/w是偶函数

三、填空题

12.（2024•北京房山•一模）若对任意私"eR,函数/（x）满足/（，"）/（〃）=/（加+功，且当加〉〃

时，都有/＞）＜/（〃），则函数〃x）的一个解析式是.

x

13.（2024•全国•模拟预测）已知16嘀2X—9*X=X,1610g"一口嗨丁=y,则一=.

2丫+1

14.（23-24高三下•江西•阶段练习）已知函数/（》）=2.+2「'「I-。，存在实数与工2,…，必使

得力（x,）=/（x」成立，若正整数"的最大值为8,则正实数。的取值范围是.

1=1

四、解答题

15.（23-24高三上•内蒙古通辽•阶段练习）求值或化简

⑴计算:0.0643+2-+o.r2；

⑵化简(用分数指数幕表示):

16.(2023高三・全国•专题练习)已知/(x)=2"的图象，指出下列函数的图象是由/(x)的图

象通过怎样的变换得到的.

(i)y=2"

(2)y=2'+l；

⑶y=2T；

⑷>=2忖.

17.(23-24高三上•安徽•阶段练习)已知募函数/(x)=(/-5加+5)/一2M在(0,+动上单调

递减，函数g(x)=2~.

(1)求加的值；

⑵记集合么=例》=/(x),xe[l,2]},集合8=卜卜=8(月,工«-1,1]},若/p|2=/,求实

数上的取值范围.

18.(23-24高三上•陕西西安•阶段练习)解不等式:

⑴log1^一x-2)>logjx-1)-1

22

(2)1<4A-3-2v+3<7.

3="a<>

19.(23-24高三下•全国咱主招生)S[=<aa<2>,S2=\aloga1-<2L53j^'

求(HCS2)US3

拓展冲刺练

一、单选题

1.（2024,宁夏固原•一模）已知函数/（x）的部分图像如图所示，则〃x）的解析式可能为

()

D-"A右

2.(2024•河北沧州•一模)下列命题为真命题的是()

A.Vx>0,ex>cosxB.\/a>b,a1>b2

C.Bx>0,cosx>exD.3a>b,a3<b3

3.(2024•陕西西安•一模)已知函数/(x)为偶函数，满足〃x+2)=-7凸，且一24x40

时，/(x)=-2,若关于