高三数学一轮复习：平面向量及其应用练习

第二章平面向量及其应用

一、选择题

1.已知向量方=(x,3),3=(2,1),aLb,贝晨=()

33

A.6B.-C.-6D.--

22

2.如图，在口Q4GB中，E是AC的中点，R是线段3c上的一点，且5c=3防，若

0C=mOE+nOF,其中机，neR,则机+〃的值为()

BFC

0A

377

A.lB.-C.-D.-

253

3.在△ABC中，b=>/2c，a=\/10，A=—，则S^ABC=()

A.垃B.lC.20D.2

4.在矩形ABCD中,AB=2,5C=1,圆”为矩形内恒与AB,BC相切的动圆，则

市•限+诟•比+迈•加的最小值为()

513

A.-iB.--C.-lD.--

322

5.在AABC中，a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边，”为边AC上一

点，满足A/C=3AM,a2+c2—b2+ac=0,c=2,a=4,则,四|=()

A卫B.立C.1D.叵

2772

6.在ZvlBC中，cosC=|,AC=4,BC=3,则tanB等于()

A.A/5B.4^C.2A/5D.8j?

7.对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，

在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中,AB=2,以三条边为直径

向外作三个半圆,M是三个半圆弧上的一动点，若丽=4而+7,则2+〃的最大值为

)

A.-B.—C.lD.-

232

8.已知向量满足7石=10,且B=(—3,4),则£在B上的投影向量为()

ALB.(6,-8)C哈,々

二、多项选择题

9.向量满足:同=4,W=2,3/23,则向量B在向量［上的投影向量的模的可能值是

()

A.lB.lC.-D.2

44

10.设点。是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有()

A.若砺=|则点。是边的中点

B.若莅=丽+/,贝U点。是AABC的重心

C.若而=2通-而，则点。在边3C的延长线上

D.若15=+y正，且x+y=g,则△BCD是△ABC面积的一半

11.在AABC中，角A,3,C所对的边分别为见瓦c,已知3=交,>=8,则()

3

A.若A=二,则a=±^B.若。=4,则sinA&

634

C.AABC面积的最大值为电由D.AABC周长的最大值为巫+8

33

三、填空题

12.已知以。为起点的向量％,B在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方

形的边长为1,贝1Ja.(a-B)=.

13.设4是不共线的两个向量，怎=4+屹,魂=&+3",历=2不-1.若

A,B,。三点共线，则左的值为.

14.已知录.是两个不共线的单位向量,£=£—如■石=雨+2£若［与坂共线，则

k------------

四、解答题

15.在AABC中，已知NB4C=120。，。为上一点，CD*,BD=4近,且

ZBAD=9Q°.

⑴求任的值；

AC

(2)求△ACD的面积.

16.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为瓦c,其中a=2，Z?=3，sinC=2也.

3

(1)求c的值.

(2)求sinA的值.

17.已知向量1=(2,—1),b=(l,x)-

(I)若a，(a+5)，求防|的值;

(H)若I+2石=(4,-7)，求向量万与5夹角的大小.

18.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为〃力,c,且他-c)sinC=(6+〃)(sinB-sinA).

(1)求角A的大小；

(2)若a=4,。为的中点,445。的面积为主叵，求AD的长.

2

19.设7B是不共线的两个向量.

⑴若次=21小OB=3a+b^反=Z-3小求证：A，B,C三点共线；

(2)若丘+防与筋+23共线，求实数左的值.

参考答案

1.答案：D

解析：/.a-b=Q,即2x+3xl=0,解得％=一』，

2

故选：D.

2.答案：C

解析：在平行四边形中次=宓，OB=AC,OC=OA+OB,

因为E是AC中点，

AE=-AC=-OB,

22

:.OE=OA+AE=OA+-OB,

2

BC=3BF,

:.BF=-BC=-OA,

33

:.OF^OB+BF^OB+-OA,

3

OC=mOE+nOF,

7

m+n=—

5

故选C.

3.答案：B

解析：在AABC中，b=缶，a=y/lQA=与，由余弦定理得

b1+C1-2Z?ccosA=a29

即(伍y+c2—2・伍・ccos女=(M)2,整理得02=2,

4一

所以S^=­Z?csinA=—•V2c2sin—=-c2=1•

△ABC2242

故选：B

4.答案：D

解析：建立以3为原点，｛丽，患｝为正交基底平面直角坐标系，设

M（a,a）,0<a<1,A（2,0）,C（O,1）,D（2,l）,

AZA=(2—a,—a),MB=(—a,—ci),NIC=(_tz,1—a)，A/Z)=(2—tz,1—ci)，

所以

MA^+Mb-MC+MB^=(MA+MD+MB)MC=(4-3tz,1-3(2)•{-a.1-(2)

(2丫5

=6〃2-8Q+1=6Q————，

I3j3

又0WaWL所以其最小值在a=工时取得,即为-3・

222

故选:D.

5.答案：A

解析：

6.答案：B

解析：设AB=c，BC=a，CA=b，

2

c1=a2+b2-labcosC=9+16—2x3x4x—=9:.c=3

3

a2+c2-b21.L,1.475人£

cosBD=--------------=—sinBD=Jl-(—)2=------tanB=4j5

2ac9\99

故选：B

7.答案：B

解析：如图，过点M作MPIIBC交直线AB,AC于点P,Q,

贝I」AM=xAP+yAQ,x+y=l.

设衣=左丽，而=左无至.则的二加一刀二（"一1）通+白恁.

•/BM=2AB+//AC2+〃=kx—l+ky=k—l.

由图可知，当PM与半圆BC相切时，上最大，易求得左=延=心8,

AB3

即左最大为邛工二4+〃的最大值为当.

故选：B.

8.答案：C

解析:因为ai=10,且5=（-3,4），所以a在坂上的投影向量同cos<£,

b则上=68]

b>10x3

H/9+16555/

故选:C.

9.答案：ACD

解析:由题意，向量ZJ满足同=4,网=2且.九3,

所以向量办在向量Z上的投影向量的模为例85（。,可=悼之3.

故选:ACD

10.答案：ABD

解析：对=■（原+急）,即工而通■/_工石,

221

即丽=元，

即点D是边BC的中点，故A正确；

对B,设BC的中点为M,须=g（荏+恁）=gx2皿=g汨,

即点。是△ABC的重心，故B正确；

对Cj.•须=2商一衣，

即击-荏=丽-/，

即加=函

即点。在边CB的延长线上，故C错误；

对D,-.-AD=xAB+yAC,_ILx+y=,

^2AD=2xAB+2jAC,J!L2x+2y=l,

^AM=2AD,

则而7=2x南+2”交，且2x+2y=l,

故MB,C三点共线，且;W=2AD,

即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确.

11.答案：BCD

•3x--/-

解析：对于A,若4，又8=生2=8,由正弦定理得。=刎史=—=孚，故A错误;

63sinBV33

对于B,由题意人用力=8,“=4,由正弦定理得五“1=竺g=上£=走，故8正确；

b84

对于C，由余弦定理/=〃2+。2_2tzccosB得,64=a2+c2+ac>2ac+ac=3ac，所以

ac〈竺，当且仅当q=c=延时取等号,

33

所以SABC=~^csinB=^-ac<"6,

A/iDC243

所以△ABC面积的最大值为史正，故C正确；

3

对于D,由3=~^，b=8，及余弦定理/=a2+C2—2accosB得，

64=a2+c~+ac=(a+c)2-ac>(a+c)2—("+°).=乂。+c)，所以“+。<建百,

443

当且仅当a=c=8叵时取等号，

3

所以△ABC的周长/=8+a+c<8+更由，

3

所以△ABC周长的最大值为更无+8，故D正确.

3

故选：BCD

12.答案:2

解析：以。为坐标原点建立如图所示直角坐标系，

设一小格为1单位，则工=(2,1)，3=(2,—1)，a-b=(O,2)，

则£.伍-％(2,1).(0,2)=2,

故答案为：2.

13.答案：4

解析：因为荏=冢+攵£，株=4+3&，®=24_4，

以BD—CD—CB-2e、—e、一(G+3eJ=6一4g2，

由题意，A,B,。三点共线，故必存在一个实数九使得顺=彳丽.

所以G+ke7=2(q—4e2),

又因为［与£不共线，

1=2

所以解得左=T.

k=-4A

故答案为：4

14.答案：-工或-0.5

2

解析：因为冢匕是两个不共线的单位向量,£=冢-4区方=胸+区,若2与B是共线向

量，

设B=花，2eR,则kex+2e2=A（er-4e2}=-42e2,

所以\k=2，解得左.=」1.

2=-422

故答案为:_L

2

15.答案：（1）2

（2）至

2

解析：（l）N£WC=120。，ZBAD=9Q°,则NC4£）=30。,

在△ACD中，———=———,所以AC=2j7sinNADC=277sinNADB.

sinZADCsinZCAD

在△AB£>中，ZBAD=90°,sinZADB=—,所以A3=4巾sinNAD3.

BD

故四—4折sinZADB_?

AC277sinZADB-

（2）在△ABC中，由余弦定理可得BO?=402+452-ZACCOSNBAC,

即（577）2=AC2+（2AC）2-4AC2COS120°,

解得AC=5,AB=10,

则AD=7B/)2-AB2=273.

故△ACD的面积为LACAOsin/C4D=%8.

22

16.答案：(1)3

(2)逑,

9

解析：(1)•.•△ABC为锐角三角形,sinC

故c的值为3.

2_3

(2)由正弦定理得：—吼=，—，即：潟7=布,解得：sinA=^.

sinAsinC—9

3

故sinA的值为逑.

9

17.答案:(I)5正；

(II)

4

解析：⑴因为斤=(2,-1),5=(1,X)，所以Z+石=(3,-1+x)，

由a_l_(a+B),可得a.(a+B)=O，

即6+1—x=0，解得x=7，即B=(l,7)，

所以㈤=,f+72=5夜;

(II)依题意£+2B=(4,2x-l)=(4,—7)，

可得％=—3，即1=(1,—3)，

2+3_41

所以cos<a,b>—,」

⑷闻亚・屈―2

因为<a,b>e[0,n]>

所以