山东省某中学2024-2025学年高二年级上册10月月考数学试题（含答案）

数学试题

说明：试题分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第2页,

第II卷为第2页至第4页.考试时间120分钟.

第I卷（选择题58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知点关于z轴的对称点为以则H同等于（）

A.2亚B.276C.2D.372

2.如图，在斜三棱柱ABC-4Aq中,M为3c的中点,N为4G靠近4的三等分点,^AB=a，AC=b>

AAX-c,则用石，b,5表不Ml/为（）

;

AB

11-11-11-n1-1I-

A.-a+-b-cB.——a+-b+cC.-a——b-cD.——a——b+c

26262626

3.直线的一个方向向量为旧=0,-3）,且经过点（0,2）,则直线的方程为（）

A.3x—+2—0B.3x+jv—2=0

C.3x+y+2=0D.3x-y-2=0

4.已知直线/的方向向量为工=（2,1,—2）,平面a的法向量为3=（—2/一。4z+力）,（生力£R）.若/_L二，则

a+33的值为（）

A.1B.3C.4D.-4

5.“加=3”是“直线4:加x+y+加=0与/2,3x+（掰-2亚一3加二0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

6.正四面体尸-45c的棱长为2,点。是48的中点，则丽.前1的值为（

22

A.1B.一C.——D.-1

33

7.已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3,则其一条边所在直线的斜率是（)

1

B.-2C.一D.2

3

D,P。

8.设动点尸在棱长为1的正方体4BCD-451G2的对角线BA上，当/4PC为锐角时，2

的取值范围是（）

r1D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

已知向量:=（2,0,2）,b=

9.-NTc=（l,-2,3）,则下列结论正确的是（）

A.Z与否垂直B.B与工共线

C.Z与1所成角为锐角D.3，b,可作为空间向量的一组基底

10.已知两直线4:2加x+y—2〃z+l=0,l2;x-my-m-2=0(meR),则下列说法正确的是()

A.对任意实数小，直线小,2的方向向量都不可能平行

B.存在实数小，使直线4垂直于x轴

C.存在实数小,使直线/一％互相垂直

D.当加=0时，直线4的方向向量不存在

11.在正三棱柱NBC—44G中，28=24=1,点p满足加=人就+〃两，其中2e[0,l],

则（)

A.当2=1时，△幺男尸的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥尸-48C的体积为定值

C.当时，有且仅有一个点尸，使得4尸，8尸

2

D.当〃=1■时，有且仅有一个点P,使得48,平面2男尸

第H卷(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量£=(2,—1,1),3=(—1,1,x),若Z与B垂直，则5+21=___.

13.已知点2(3,1),5(-4,-1),直线/是过点尸(-2,3)且与线段N3相交且斜率存在，贝0/的斜率左的取值

范围是____________

14.在V4BC中，已知ZC边上的高线所在的直线方程为x-2y=0,48边上的高线所在的直

线方程为3x+2〉-3=0.则BC边所在的直线方程为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知空间中三点二(3,1,-1),3(2,0,—,^,a=AB,b=AC.

(1)若卜|=3,且"〃前求向量)；

(2)求以为一组邻边的平行四边形的面积S.

16.如图，四棱锥尸一48。。中，必，平面/BCD,四边形/BCD是梯形，BCHAD,ABAD=90°,

PB=AB=AD=2,3。=1,点£是/尸的中点，咒是网上的点，BF=-BP.

3

p

(1)求证：点厂在平面ECD内;

(2)求点P到平面ECD的距离.

17.已知直线/过点(3,4),。为坐标原点.

(1)若直线/在两坐标轴上的截距相等，求直线/方程；

(2)若直线/与X轴、V轴的正半轴分别交于a2两点且VNOB面积为24.

i)求直线/方程；

ii)若点尸为线段N3上一动点，且交。/于点。.在y轴上是否存在点使A"?。为等腰

直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

18.如图，在四棱锥P—48CO中，底面45CD是平行四边形，ZABC=45°,底面/BCD,

\AB\=\AC\=\P^\=2,E、尸分别为8C、/£＞的中点，点M在线段尸。上.

P

(1)求证：所_1,平面尸/。；

\PM\、后

(2)设%)=2,若直线VE与平面P8C所成的角。的正弦值为又三，求劣的值.

\PD\15

19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球。的半径为R,4瓦。为球面上三

点，劣弧8c的弧长记为。，设Q表示以。为圆心，且过民C的圆，同理，圆Q，&的劣弧ZC，4B的

弧长分别记为瓦c,曲面45c(阴影部分)叫做球面三角形，若设二面角C-0/-5,A-OB-C,

5—。。—/分别为a,P，Y,则球面三角形的面积为S球面”Bc=(a+A+7—兀)女.

图一图二

(1)若平面。45,平面。4C,平面。两两垂直，求球面三角形45。的面积；

(2)若将图一中四面体。4BC截出得到图二，若平面三角形45。为直角三角形，ACLBC,设

ZAOC=4,NBOC=仇,NAOB=a.

；

①求证：COS4+COS02-COSa=1

TTTT

②延长49与球。交于点。，连接AD,CD,若直线。4。。与平面48。所成的角分别为士，

43

BE=XBD，2e(o,l],S为ZC中点，T为BC中点,设平面08。与平面£ST的夹角为，，求sin。的

最小值.

山东省实验中学2023级十月测试

数学试题

说明：试题分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第2页,

第II卷为第2页至第4页.考试时间120分钟.

第I卷（选择题58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知点关于z轴的对称点为以则H.等于（）

A.2亚B.2A/6c.2D.372

【答案】A

【解析】

【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解.

【详解】点2（1,-1,2）关于z轴的对称点为3（—1,1,2）,

所以=V4+4+0=272.

故选：A.

2.如图，在斜三棱柱48C—44cl中,M为3C的中点,N为4G靠近4的三等分点，设方=a，AC=b>

AAX=c,则用2,b，1表示NM为（）

A.—ciH—b—cB.—ciH—b+cC.-a--b-cD.——a——b+c

26262626

【答案】A

【解析】

【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案.

【详解】NM=NC[+C[C+CM=—b—c+—（fi—b）=-a+-b-c

3226

故选：A

3.直线的一个方向向量为旧=（1,-3）,且经过点（0,2）,则直线的方程为（）

A.3x—+2=0B.3x+y-2=0

C.3x+y+2=0D.3x-j-2=0

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：由直线的方向量求出直线斜率，然后利用点斜式可求出直线方程；方法二：由已知可得

直线的一个法向量为力=（3,1）,则设直线为3x+y+C=0,再将（0,2）代入求出。，从而可得直线方程.

【详解】方法一..•直线的一个方向向量为旧=（1厂3）,.•.左=-3,

二直线的方程为>=—3x+2,即3x+y-2=0.

方法二由题意知直线的一个法向量为方=（3,1）,

直线的方程可设为3x+v+C=0,将点（0,2）代入得C=-2,

故所求直线的方程为3x+>-2=0.

故选：B

4.已知直线/的方向向量为e=（2』,一2）,平面。的法向量为〃=（一2,6-a,。+b）,（a,Z?eR）.若/_La,则

a+3b的值为（）

A.1B.3C.4D.-4

【答案】B

【解析】

【分析】依题意可得2不，则］=屋，即可得到方程组，解得。、6的值，即可得解.

【详解】因为直线I的方向向量为e=（2,1,-2）,平面a的法向量为n=（-2,6-+6）,（a,beR）且/J_a,

所以e〃“,则〃=/e,BP（—2,b—a,a+b^=Z（2,l,-2）,

t=-l

-2=2t

31

所以＜b-a=t解得6所以a+3b=-I-3x—=3.

222

ct+b=—2t

故选：B

5.“加=3"是"直线/1：加工+7+加=0与l2,3x+（m-2）y-3m=0平行''的（)

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线平行的条件，判断“加=3”和“直线4:加x+y+掰=0与4,3X+（加—2）y—3加=0平行”

之间的逻辑关系，即可得答案.

【详解】当加=3时，直线4：3x+y+3=0与4,3x+y—9=0平行；

当直线Z]:加x+7+加=0与』2,3x+（加-2）y-3m=0平行时，

有-2）-3=0且-3m-m（m—2）w0,解得m=3,

故'‘机=3”是“直线4:mx+y+m=0与（Ux+O"-2）j-3m=0平行”的充要条件，

故选：C

6.正四面体尸。的棱长为2,点。是48的中点，则而.瓦的值为（）

22

A.1B.—C.----D.—1

33

【答案】D

【解析】

【分析】取｛百，而，正｝为空间向量的一个基底，利用空间向量运算求解即得.

【详解】棱长为2的正四面体尸-4BC中，向量苏，而，定两两的夹角都为60°，

—.1—.—._.

由点。是48的中点，得PD=3（P4+PB）,而BC=PC-PB，

所以瓦・灰=+质）•麻—质）=；■•衣+质•衣—PA-PB-PB2）

lII

故选：D

7.已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3,则其一条边所在直线的斜率是()

A.-3B.-2C.-D.2

3

【答案】B

【解析】

【分析】以正方体的一顶点为坐标原点建立坐标系，设正方形的一对角线的倾斜角为a,贝Utana=3,可

得到正方形边的倾斜角，利用两角和差的正切公式，即可求解.

以正方形N8CD的顶点A为坐标原点，建立如图坐标系，

根据题意，对角线ZC的斜率为3,设其倾斜角为%tana=3,

TTTT

则正方形AB,AD的倾斜角分别为。-一十+—,

44

冗、tana-11/"、tancr+l八

又tan(a----)—----------——,tan(aH—)------------——2,

41+tana241-tana

所以两直角边的斜率分别为工或-2.

2

故选:B.

D.P.

8.设动点尸在棱长为1的正方体4BCD-481G2的对角线3。上，-^-=2,当/4PC为锐角时，2

的取值范围是(

【答案】A

【解析】

PA-PC八_

【分析】建立空间直角坐标系，N4PC为锐角等价于cos/4PC=>°,即可.正>o,根据

向量数量积的坐标运算即可求解.

如图建立空间直角坐标系：则/(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),。(0,0,1),

D^B=(1,1,-1),印==2(1,1,-1)=(2,2,-2),

D^4=(l,0-l),D^C=(O,l,-l),

所以苏=a7_印=(1,0_1)_(44—4)=(1_4—44_1),

PC=酝-9=(0,1,-1)-(2,2,-2)=(-2,1-2,2-1),

由ZAPC为锐角得cosZAPC=网,因>0,即可.无>o,

所以—2X(1—2)+(1—4)2〉0,即(2—1)(32—1)>0,解得：0<%<g,

当4=0时，点尸位于点A处，此时N4PC=NZ。。显然是锐角，符合题意,

所以

3

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是NZPC为锐角等价于cos//PC=扃后习〉0,即强.无>0,

\PA\\PC\

还需利用苏=方区-印，定=瓦-印求出而、定的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量：=（2,0,2）,3=］一；/，一|］，）=（1，-2,3）,则下列结论正确的是（）

A.［与B垂直B.B与工共线

C.£与展所成角为锐角D.a，B，c.可作为空间向量的一组基底

【答案】BC

【解析】

【分析】对A：计算出£石即可得；对B：由向量共线定理计算即可得；对C：计算="并判断£与工是否

共线即可得；对D：借助空间向量基本定理即可得.

【详解】对A：«J=2x^-1^+0xl+2x^-|^=-l-3=-4,故2与石不垂直，故A错误;

对B：由书=1一5/，一万］、。=（1，—2,3）,有3=3。，故B与c共线，故B正确；

对C：a-c=2xl+0x（-2）+2x3=8>0,且［与"不共线，

故£与工所成角为锐角，故C正确；

对D：由3与"共线，故3，展不可作为空间向量的一组基底，故D错误.

故选：BC.

10.已知两直线4:2加x+y-2〃z+l=0,l2;x-my-m-2=0（meR）,则下列说法正确的是（）

A.对任意实数相，直线小，2的方向向量都不可能平行

B.存在实数〃?，使直线4垂直于x轴

c.存在实数〃?，使直线/-4互相垂直

D.当加=0时，直线4的方向向量不存在

【答案】AC

【解析】

【分析】根据直线平行以及垂直满足的系数关系，即可结合方向向量的定义逐一求解.

【详解】若两直线的方向向量平行，则-2加2=1，则掰无实数解，故两直线的方向向量不可能平行，故A

正确，

由于4：2加x+y-2掰+1=0的斜率为-2加，所以直线4不可能垂直于x轴，B错误，

当2加一加=0=＞加=0时，此时/］：y+l=0,Z2:x-2=0,此时两直线垂直，C正确，

当加=0时，直线，2：x-2=0,则其方向向量可以为(0,1),故D错误，

故选：AC

11.在正三棱柱—44G中，28=/4=1,点尸满足/=人而+”西，其中％

则()

A.当2=1时，△幺男尸的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-4BC的体积为定值

C.当2=!时，有且仅有一个点P,使得/『LAP

D.当〃=1■时，有且仅有一个点P,使得平面/男尸

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解尸点的个数；

对于D,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解尸点的个数.

【详解】/N

yB

易知，点尸在矩形5CG国内部(含边界).

对于A,当4=1时，丽=前+函=前+西,即此时尸e线段CG，△281「周长不是定值，故A

错误；

对于B,当〃=1时，前=入阮+西=西+河石，故此时P点轨迹为线段耳G,而BiCJ/BC,8cJ/

平面则有P到平面45C的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.

1_,__

对于C,当2=不时，/=3阮+〃西，取BC,用G中点分别为。，H,则肝=丽+〃初，所以尸点

2N

轨迹为线段”，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，4^,0,1,0(o,o,〃)，5p,1,ol

则孙=(―1),BP=(0,-i/z),审・乔=H(〃一1)=0,所以〃=0或〃=1.故瓦Q均满足,

故C错误；

对于D,当〃=；时，BP=XBC+取网，CG中点为MN.BP=BM+\MN,所以2点轨迹

为线段MN.设《O/o，；］,因为4俘，0,0),所以而=(—今y。,》=所以

3111

—+—v——=0=>j=——，此时尸与N重合，故D正确.

420202

故选：BD.

【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.

第n卷(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量£=(2,—1,1),3=(—1,1,x)，若Z与石垂直，则5+2闸=.

【答案】5拒

【解析】

【分析】根据给定条件，利用向量垂直关系求出x,再结合向量的坐标运算及模的运算计算作答.

【详解】向量£=(2,—1/)与3=(—1,1户)垂直，则有2x(—1)+(—l)xl+x=0,解得了=3,

于是彳+26=(2,-1,1)+2(-1,1,3)=(0,1,7)，

所以|«+2b\=A/02+12+72=5^.

故答案为：542

13.已知点5(-4,-1),直线/是过点尸(-2,3)且与线段相交且斜率存在，贝!]/的斜率左的取值

范围是____________

【答案】^-co,-|-u[2,+oo)

【解析】

【分析】利用斜率计算公式可得上取，kpB，根据直线/过点尸(-2,3)且与线段48相交，数形结合即可求

出直线/的斜率左的取值范围.

【详解】因为尸(—2,3),2(3,1),5(-4,-1),

,1-32,-1-3-

所以原广西百=-《，如=不百=2-

V直线I过点「(-2,3)且与线段AB相交，如下图所示：

2、

.,.号<kPA=――或左/2kPB=2,

...直线/的斜率上的取值范围是：，叫—|。[2,+8).

故答案为：[一叫一§u[2,+co).

14.在VZ8C中，已知ZC边上的高线所在的直线方程为x-2y=0,28边上的高线所在的直

线方程为3x+-3=0.则BC边所在的直线方程为.

【答案】2x+5j+9=0

【解析】

【分析】由ZC边上和48边上的高线所在的直线方程，可得NC边和A8边所在直线的斜率，再由A点

坐标，可求ZC边和边所在直线的方程，通过联立方程组，求出5,C两点的坐标，可求BC边所在的

直线方程

【详解】ZC边上的高线所在的直线方程为x-2y=0,得3c=-2,

2

A8边上的高线所在的直线方程为3x+2y-3=0,得3B

已知4(1,1),则/C边所在的直线方程为y—1=—2(x—1),即2x+y—3=0,

2

则AB边所在的直线方程为=即2x—3y+1=0.

2x+y-3=0

由＜，得C(3,-3).

3x+2y-3=0

2x-3y+1=0

由＜

x-2y=0

了一(-3)x—3

则5C边所在的直线方程为即2x+5歹+9=0.

-1-(-3)-2-3

故答案为：2x+5v+9=0.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知空间中三点3）,设。=AB,b=AC.

（1）若卜卜3,且工〃反S求向量"；

（2）求以为一组邻边的平行四边形的面积S.

【答案】（1）c=（2,l,-2）ngc=（-2,-l,2）

（2）3

【解析】

【分析】（1）利用向量平行和向量模长的坐标表示列式求解即可；

（2）利用向量数量积和向量模长的坐标表示求出夹角进而求面积即可.

【小问1详解】

由5（2,0,—1）,C（4,1,—3）可得元=（2,1,-2）,

若"〃反则c=，

又忖=3,所以,（2/）2+1+（_2/『=3,解得/=±1,

所以）=（2/,一2）或）=（—2,—1,2）.

【小问2详解】

由l）,B（2,0,—1）,C（4,1,—3）可得［AB=（-1,-1,0）,S=JC=（1,0,-2）,

所以，卜1）+（-1）+。2=y/2，|&|=Jl2+O?+（―2）=s/5，—1+0+0=—1,

所以cos/=cos伍m=市=正入—霁，所以smz=嘲，

所以S=1弧卜in/=>/2xV5x3^^=3.

16.如图，四棱锥尸—48C。中，必J_平面/BCD,四边形/8CO是梯形，BCIIAD,ABAD=90°,

PB=AB=AD=2,5c=1,点E是AP的中点，歹是P8上的点，BF=-BP.

3

p

(1)求证：点尸在平面£C£＞内；

(2)求点尸到平面ECO的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵巫

7

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量的共面定理证明;

(2)利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离.

【小问1详解】

因为BC//AD,ABAD=90°,所以

又因为平面A8CD，4§,8Cu平面48CD,

所以「8,45,必，BC,

所以如图所示，以3为坐标原点，建立空间直角坐标系8-乎，

则/(0,2,0),5(0,0,0),C(l,0,0),D(2,2,0),P(0,0,2),E(0,l,l),F(0,0,1),

所以互=(—1,1,1),而=(1,2,0),CF=(-l,0,1),

^CF=xCE+yCD,

-l=-x+yx——2

,所以赤而而

则《Q=x+2y,解得<3=2—1

133

2y=一一

—=x3

[3

所以点尸在平面ECD内.

【小问2详解】

设平面ECD的一个法向量为加=（见8c）,

由(1)知酝=(—1,1,1),函=(1,2,0),

CD-m=0a+2b=0

因为＜—,,所以<

CE-m=0—a+b+c=0

令。=2,则b=-1,。=3,所以加=(2,—1,3),

又因为丽=(—1,0,2),

CPm42V14

所以点P到平面ECD的距离d=

\m\V147

17.已知直线/过点（3,4）,O为坐标原点.

（1）若直线/在两坐标轴上的截距相等，求直线/方程;

（2）若直线/与x轴、y轴的正半轴分别交于4,8两点且V/05面积为24.

i）求直线/方程;

ii）若点尸为线段N3上一动点，且P0〃O8交。/于点。.在y轴上是否存在点使AMP。为等腰

直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】⑴4X一3k0或x+y—7=0

)4x+3y—24=0,ii).0,m，M(0,0),24

(2)i

7

【分析】（1）分类讨论截距是否为零，计算即可;

（2）利用截距式结合面积公式计算可得第一小问，利用等腰直角三角形的特征分类讨论计算即可.

【小问1详解】

若直线过原点，易知其方程为：4x-3y=0；

若直线不过原点，不妨设其方程为：-+^=1,

aa

代入点（3,4）得。=7,即x+y—7=0；

【小问2详解】

341

—I—二］

i）由截距式设直线48的方程为也+1=1伍）〉0）,所以＜ab

ab

ab=48

所以_|+方=1,即4x+3y—24=0；

ii）若存在A"?。为等腰直角三角形，不妨设。亿0）,fe（0,6）,则尸，,8-g/

因为AMP。为等腰三角形，

当M为直角顶点时，设川0,4—十），赤=0,4—：[,近=]岛—4；

所以声•诙—4]=|r2+yf-16=0，即«+12）（5/-12）=0,

12221212（12、

所以/=一或/=—12（舍），所以4——1=4——x—=—,即点儿f0,一；

53355I5）

（2424、

当。为直角顶点时，点M（O,O）,P\—,—\,符合题意；

当P为直角顶点时，设/10,8—g],由□可得：/=8—g/,

24（24、

所以小1,屈0万；

综上所以W,0）,L符合题意.

18.如图，在四棱锥中，底面48CD是平行四边形，ZABC=45°,尸4,底面/BCD,

\AB\=\AC\=\PJ\=2,E、尸分别为8C、/£＞的中点，点M在线段尸£＞上.

（1）求证：所_1平面尸2。；

\PM\、后

（2）设匕+=2,若直线VE与平面P5C所成的角。的正弦值为匹，求丸的值.

\PD\15

【答案】（1）证明见解析

(2)

2

【解析】

【分析】（1）证明EFLAC,推出尸尸，然后证明EEL平面PNC；

（2）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量法求解即可.

【小问1详解】

在平行四边形ZBCD中，因为N8=ZC,ZABC=45°,

所以N4cs=45。，故4BJ.4C,

由£、F分别为BC、40的中点，得EF〃4B,所以£E_L/C,

因为尸底面48CZ）,EEu底面/BCD,所以/，

又因为「2口2。=2,24u平面PNC,/Cu平面PZC,

所以所，平面PZC.

【小问2详解】

因为R4_1_底面48cD,AB1AC,所以NP,45,ZC两两垂直,

分别以48,/C,4P所在直线为x轴、＞轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系孙z.

则A(0,0,0),5(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),£>(-2,2,0),£(1,1,0).

所以方=(2,0,—2),数=(―2,2,0),历=(-2,2,-2),由己知所=X而(Xe[0,l]),

BPPM=(-22,22,-22),所以M(-22,22,2-22=(1+22,1-22,22-2),

设平面P8C的一个法向量为万=(x,y,z),

n-BC=0[-2x+2y=0

由｛—，得1c/八，

n-PB=0[2x-2z=0

令x=l,得为=(1,1,1),

I-.IME-n\11+22+1-22+22-21J15

所以sin8=cosME,n\=--=/------=-----,

网同^(1+22)2+(1-22)2+(22-2)215

13

化简得4%2+44—3=0,故2=彳或2=—巳(舍).

22

所以2」.

2

19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球。的半径为R,。为球面上三

点，劣弧的弧长记为。，设Q表示以。为圆心，且过民C的圆，同理，圆Q,a的劣弧ZC，48的

弧长分别记为瓦c,曲面48C(阴影部分)叫做球面三角形，若设二面角C-04-5,A-OB-C,

5—0C—4分别为0,?,则球面三角形的面积为S球面如c=(a+A+/—兀)斤.

(1)若平面048,平面。4C,平面。两两垂直，求球面三角形48c的面积；

(2)若将图一中四面体。48C截出得到图二，若平面三角形45C为直角三角形，ACLBC,设

ZAOC=ex,ZBOC=e2,ZAOB=.

①求证：COS4+COS02一COSa=1；

TTjr

②延长与球。交于点D,连接AD,CD,若直线。4。。与平面45。所成的角分别为一，一，

43

BE=XBD，2e(o,l],S为ZC中点，T为8C中点，设平面05。与平面£ST的夹角为，，求sin。的

最小值.

JT

【答案】(1)―胃

2

(2)①证明见解析；②巫.

5

【解析】