圆（原卷版）-2023年中考数学一轮复习专练

专题21圆

一、垂径定理及其应用

【高频考点精讲】

1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

2、垂径定理的推论

（1）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

3、垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。

【热点题型精练】

1.（2022•泸州中考）如图，43是的直径，0。垂直于弦AC于点£>,。。的延长线交O。于点E.若4。=4近,

DE=4,则BC的长是（）

B.V2

2.（2022•云南中考）如图，已知是。。的直径，是。。的弦，AB±CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,

则/OCE的余弦值为（）

3.（2022•荆门中考）如图，C3是圆。的弦，直径A8_LCD,垂足为E,若A8=12,BE=3,则四边形ACBO的

面积为（）

A.36V3B.24V3C.18V3D.72V3

4.（2022•鄂州中考）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件

槽，其两个底角均为90。，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，

该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，己知O。的直径就是铁球的直径，AB

是OO的弦，CD切于点E,ACLCD.BDLCD,若CD=16c7〃，AC=BD=4cm,则这种铁球的直径为（）

(1)

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

5.（2022•自贡中考）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦A8长20厘米，弓形高C。为2

厘米，则镜面半径为____厘米.

D

6.（2022•牡丹江中考）。。的直径CQ=10,AB是。。的弦，ABLCD,垂足为OM：OC=3：5,则AC的长

为.

7.（2022•长沙中考）如图，A、B、C是。。上的点，0CLA8,垂足为点且。为0c的中点，若04=7,则

8.（2022•荆州中考）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高A8=20cm,底面直径8C=12cm,球的最

高点到瓶底面的距离为32cm,则球的半径为cm（玻璃瓶厚度忽略不计）.

9.（2022•六盘水中考）群舸江”余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天

大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面示

意图.

（1）科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28〃3洞高约是12%通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮

洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1"。；

（2）若/COO=162°,点/在前上，求/CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶

前上巡视时总能看清洞口C。的情况.

二、圆周角定理

【高频考点精讲】

1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

注意：圆周角必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交。

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论：半圆（或直径）所对圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径。

3、解题技巧：解决圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角。

【热点题型精练】

10.（2022•营口中考）如图，点A,B,C,。在上，ACLBC,AC=4,ZADC=30°,则的长为（）

c

D

A.4V3B.8C.4V2D.4

11.（2022•包头中考）如图，AB,CD是。。的两条直径，E是劣弧曲的中点，连接BC,DE.若NA8C=22°,

则/CUE的度数为（）

12.（2022•陕西中考）如图，△ABC内接于。。，/C=46°，连接。4,则（）

13.（2022•巴中中考）如图，AB为O。的直径，弦交A8于点E,BC=BD,/CDB=30°,AC=2®则

OE=（）

r

A.—B.V3C.1D.2

2

14.（2022•襄阳中考）已知O。的直径AB长为2,弦AC长为那么弦AC所对的圆周角的度数等于.

15.（2022•日照中考）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测

量，测得-A8=12aw,BC=5cm,则圆形镜面的半径为_______.

0

16.（2022•永州中考）如图，AB是OO的直径，点C、D在上，ZA£）C=30°,则N30C=_______度.

A1

17.（2022・苏州中考）如图,48是0。的直径,弦。交48于点£,连接47,43.若/87^=28°,则/。=

18.（2022•南通中考）如图，四边形ABC。内接于O。，8。为O。的直径，AC平分NBA。，CD=2近，点、E在

8C的延长线上，连接。E.

（1）求直径2D的长；

（2）若BE=5版,计算图中阴影部分的面积.

三、圆内接四边形的性质

【高频考点精讲】

1、圆内接四边形的对角互补。

2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

【热点题型精练】

19.（2022•淮安中考）如图，四边形A8C。是。。的内接四边形，若NAOC=160°,则/ABC的度数是（）

A.80°B.100°C.140°D.160°

20.（2022•株洲中考）如图所示，等边△ABC的顶点A在。。上，边AB、AC与。。分别交于点。、E,点F是劣

弧力上一点，且与。、E不重合，连接。REF,则/。庄的度数为（）

A.115°B.118°C.120°D.125°

21.（2022•锦州中考）如图，四边形ABC。内接于O。，AB为O。的直径，ZADC=130°,连接AC,则NBAC

的度数为.

22.（2022•甘肃中考）如图，O。是四边形的外接圆，若/ABC=110°,则NAZ）C=

23.（2022•威海中考）如图，四边形A8C。是。。的内接四边形，连接4C,BD,延长CO至点E.

（1）若AB=AC,求证：/ADB=/ADE；

（2）若8C=3,OO的半径为2,求sin/BAC.

四、三角形的外接圆与外心

【高频考点精讲】

1、外接圆定义：经过三角形的三个顶点的圆。

2、外心定义：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点。

3、注意事项

（1）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角

形的外部。

（2）找三角形的外心，就是找三角形三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三

角形却有无数个。

【热点题型精练】

24.（2022•梧州中考）如图，是△ABC的外接圆，且AB=AC,ZBAC=36°,在瓶上取点。（不与点A,B

重合），连接8。，AD,则/B4O+/AB。的度数是（)

C.72°D.73°

25.（2022•十堰中考）如图，。。是等边AABC的外接圆，点。是弧AC上一动点（不与A,C重合），下列结论:

①NADB=/BDC；②DA=DC；③当08最长时，DB=2DC；@DA+DC^DB,其中一定正确的结论有（）

C.3个D.4个

26.（2022•杭州中考）如图，已知△ABC内接于半径为1的OO,N54C=e（。是锐角），则△ABC的面积的最大

A.cos0(l+cos0)B.cos0(l+sin0)

C.sin0(l+sin0)D.sin0(l+cos0)

27.（2022•玉林中考）如图，在5X7网格中，各小正方形边长均为1,点。，A,B,C,D,E均在格点上，点。

是AABC的外心,在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是0的三角形都写出来

28.（2022•黑龙江中考）如图，在。。中，AB是。。的弦，。。的半径为3c«t.C为。。上一点，ZACB=60°,

则48的长为cm.

29.（2022•凉山州中考）如图，在边长为1的正方形网格中，。。是△ABC的外接圆，点A,B,。在格点上，则

五、切线的性质

【高频考点精讲】

1、圆的切线垂直于经过切点的半径。

2、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

3、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

4、切线性质的运用：由切线长定理可知，如果出现圆的切线，可以连接过切点的半径，得出垂直关系。

【热点题型精练】

30.（2022•深圳中考）已知三角形ABE为直角三角形，90°,为圆。切线，C为切点，CA^CD,则

△ABC和△CDE面积之比为（）

A.1：3B.1：2C.V2：2D.（V2-1）：1

31.（2022•无锡中考）如图，AB是圆。的直径，弦AQ平分/BAC,过点。的切线交AC于点E,ZEAD=25°,

则下列结论错误的是（

E.'C

Ar-----------o-------------5

A.AELDEB.AE//ODC.DE=ODD.ZBOD=50°

32.（2022•重庆中考）如图，AB是O。的切线，B为切点、,连接A。交O。于点C,延长A。交。。于点。，连接

BD.若且AC=3,则A8的长度是（）

A.3B.4C.3V3D.4或

33.（2022•资阳中考）如图，△ABC内接于。。，AB是直径，过点A作。。的切线AD若NB=35°,则NZMC

的度数是度.

34.（2022•泰州中考）如图，B4与。。相切于点A,尸。与O。相交于点8,点C在而示上，且与点4、8不重合.若

ZP=26°,则/C的度数为0.

35.（2022•青岛中考）如图，AB是。。的切线，2为切点，。4与O。交于点C,以点A为圆心、以OC的长为半

径作而，分别交A2,AC于点E,F.若OC=2,AB=4,则图中阴影部分的面积为

E

36.(2022•济南中考)已知：如图，A8为。。的直径，C。与。。相切于点C,交A8延长线于点。，连接AC,BC,

ZD=30°,CE平分NACB交O。于点E,过点3作BFLCE,垂足为足

(1)求证：CA=CD；

(2)若AB=12,求线段8尸的长.

六、三角形的内切圆与内心

【高频考点精讲】

1、内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三

角形叫做圆的外切三角形。

2、内心定义：三角形三个内角角平分线的交点。

3、任何三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形。

4、三角形内心的性质

(1)三角形的内心到三角形三边的距离相等。

(2)三角形的内心与三角形顶点的连线平分内角。

【热点题型精练】

37.(2022•娄底中考)如图，等边AABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白

色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是()

V37TBV37TV3

A.-----TC.—D.—

181899

38.(2022•德阳中考)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点。，与相交于点

G,则下列结论：@ZBAD^ZCAD；②若NBAC=60°,则/BEC=120°；③若点G为BC的中点，则NBGD

=90°；@BD=DE.其中一定正确的个数是（

C.3D.4

39.（2022•黔东南州中考）如图，在△ABC中，ZA=80°,半径为3c机的是△ABC的内切圆，连接。8、OC,

则图中阴影部分的面积是cm2.（结果用含n的式子表示）

40.（2022•泰州中考）如图，△ABC中，NC=90°,AC=8,BC=6,。为内心，过点。的直线分别与AC、AB

边相交于点。、E.若DE=CD+BE,则线段CD的长为

41.（2022•宜宾中考）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正

方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为.

七、弧长及扇形面积计算

【高频考点精讲】

1、弧长计算

（1）圆周长公式：C=2nR

（2）弧长公式：/=匚工区（弧长为/,圆心角度数为力，圆的半径为R）

180

2、扇形面积计算

（1）圆面积公式：S—nr1

（2）扇形：组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。

（3）扇形面积计算公式：设圆心角是,圆的半径为R的扇形面积为S,则

①S扇形nTIR2

360

②S扇形=2/R（其中/为扇形的弧长）

2

（4）求阴影面积解题技巧：将不规则图形面积转化为规则图形的面积。常用方法：①直接用公式法；②和差法;

③割补法。

【热点题型精练】

42.（2022•湖北中考）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,ZB=30°,AB=8,以点C为圆心，CA的长为半径画

弧，交42于点。，则冠的长为（）

5

C./D.2n

43.（2022•广西中考）如图，在aABC中，CA=C3=4,ZBAC=a,将△ABC绕点A逆时针旋转2a,得到△A3,

C',连接5,C并延长交A5于点。，当夕时，而，的长是（）

8V310V3

A.—B.—C.-----TID.-------71

3399

44.（2022•丽水中考）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩

3333

45.（2022•资阳中考）如图.将扇形AO8翻折，使点A与圆心。重合，展开后折痕所在直线/与通交于点C,连

接AC.若。4=2,则图中阴影部分的面积是（）

46.（2022•兰州中考）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所

示，它是以。为圆心，OA,长分别为半径，圆心角/。=120°形成的扇面，若。4=3m，OB=l.5m,则阴

影部分的面积为（）

售

文

主

明和

强民it

堂

良

春

国需

金

器

=

图1图2

A.4.25TT7M2B.3.25TO772C.3冗机2D.2.25TO"2

47.（2022•泰安中考）如图，四边形A3CZ）中，NA=60°,AB//CD,交A2于点E,以点E为圆心，DE

为半径，且。E=6的圆交CO于点R则阴影部分的面积为（）

A.6it-9V3B.12TT-9V3C.6TT—羊D.12u—羊

48.（2022•大连中考）如图，正方形ABC。的边长是迎,将对角线AC绕点A顺时针旋转NC4。的度数，点C旋

转后的对应点为E,则弧CE的长是（结果保留TT）.

49.（2022•青海中考）如图,从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD,

则此扇形的弧长为cm.

o

D

50.（2022•黔西南州中考）如图，边长为4的正方形ABC。的对角线交于点O,以0c为半径的扇形的圆心角/FOH

=90°.则图中阴影部分面积是

51.（2022•河南中考）如图，将扇形A08沿方向平移，使点。移到08的中点。'处，得到扇形A'。'8'.若

/。=90°,。4=2,则阴影部分的面积为

52.（2022•泰州中考）如图①，矩形ABC。与以所为直径的半圆。在直线/的上方，线段A8与点E、尸都在直线

/上，且A2=7,所=10,BO5.点3以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线所方向运动，矩形ABC。

随之运动，运动时间为/秒.

（1）如图②，当t=2.5时，求半圆。在矩形A2CD内的弧的长度；

（2）在点8运动的过程中，当A。、BC都与半圆。相交时，设这两个交点为G、H.连接。G、OH,若/GOH

八、圆锥的计算

【高频考点精讲】

1、圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。顶点与底面圆心的连线叫圆锥的高。

2、圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于