2025年高考数学一轮复习：离心率问题

第68炼圆锥曲线的离心率问题

离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面

也体现了参数a,c之间的联系。

一、基础知识：

1、离心率公式：e=-(其中c为圆锥曲线的半焦距)

a

(1)椭圆：ee(O,l)

(2)双曲线：ee(1,+oo)

2、圆锥曲线中a,的几何性质及联系

(1)椭圆：a2=b2+c2,

①2a：长轴长，也是同一点的焦半径的和：PR+PF2=2a

②2b；短轴长

③2c:椭圆的焦距

(2)双曲线：c2=b2+a1

①2a：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：|尸片―尸巴卜2a

②2b；虚轴长

③2c:椭圆的焦距

3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数。，4c的比例关系(只需

找出其中两个参数的关系即可)，方法通常有两个方向：

(1)利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形),

那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距。

从而可求解

(2)利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a,A,c

进行表示，再利用条件列出等式求解

2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：

(1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范

围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用a,4c表示，且点坐

标的范围就是求离心率范围的突破口

(2)若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数

的值域即可

(3)通过一些不等关系得到关于a,A,c的不等式，进而解出离心率

注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：ee(O,l),

双曲线：ee(L+oo)

二、典型例题：

思路：本题存在焦点三角形△「耳心，由线段尸片的中点在y轴上，。为耳工中点可得

PF2//y轴，从而PFr,_LF[F],又因为NPFR—30°,则直角三角形APKK中，

|P£|:归阊:忧阊=2:1:6,且2a=|尸团+|尸阊,2c=|耳阊,所以

.c=c=2c=闺笈|=石

"a2a归耳|+归闾3

答案：A

小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意。为耳工中点是一个隐含条件，如果图中存

在其它中点，则有可能与。搭配形成三角形的中位线。

22

例2：椭圆卷+3=1(0<6<24)与渐近线为了±2,=0的双曲线有相同的焦点

耳,与，P为它们的一个公共点，且/耳「工=90。，则椭圆的离心率为

思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设片鸟=2c,在双曲线中，

—=—=>a:b:c=2;1;\/5,不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：

a2

尸耳+P玛=4、/W,由双曲线定义可得：PFX-PF2=2a因为/耳月工=90°,

(PE+Pg)2+(P—PB)2

.•.|P制?+|P片「=布而陷「+归工「=

2

代入可得：48+I』°-=8c2nc=———

5a6

…V30

答案：一

6

小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲

线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。

22

例3：如图所示，已知双曲线会―方=l（a〉6〉0）的右焦点为歹，过歹的直线/交双曲

线的渐近线于A3两点，且直线/的倾斜角是渐近线Q4倾斜角的2倍，若AF=2FB,

则该双曲线的离心率为（)

A.逑273

B.-^―c叵

435D-T

思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用a,

2ab

y~~T~2x-c

a-b2abclabc

nV=-----29----27ory=将AF=2FB转化为坐标语言，

।b3a-b'a2+。2

y=±一

a

门labc-labc

贝"力=一2%即F—7=2-—解得a:6:c=:1:2,从而e=

a+b3a-Z?3

答案：B

例4：设耳，心分别为双曲线「一［=1（。〉0］〉0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P

ab

9

使得I|+1P鸟|=3瓦|尸£|•|P耳\=-ab,则该双曲线的离心率为

459

A.—B.—C.—D.3

334

思路：条件与焦半径相关，所以联想到归娟一|尸修=2。，进而与

9

|「用+|「耳|=34|。耳|・|「鸟|=^",找到联系，计算出a力的比例，从而求得e

解：M尸耳|-|P引=2a

・•.（|W|+|P闾丫-（1MHp闾）2=4|平卜「闾

即9b2-4a2=9ab=>9b2-9ab-4a2=0

（b^bb1b4

.*.9-—9・±—4=0解得：-=（舍）或2=?

\aJaa3a3

7C4厂C5

a:/7:c=3:4:5--—

a3

答案：B

22

例5：如图，在平面直角坐标系xOy中，4,4,4,5为椭圆=+4=1（。〉6〉0）的四

ab

个顶点，E为其右焦点，直线4名与直线男尸相交于点T,线段OT与椭圆的交点加恰

为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.

思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意

义，所以考虑将点的坐标用a,b,c进行表示，在利用条件求出离心。

首先直线入％8产的方程含a,。,c,联立方程后交点T的坐标可

用a,b,c进行表示（TjjELj.+c）］）,则OT中点

^a-ca-c）

'ac纵。+。）,

M,再利用〃点在椭圆上即可求出离心率e

a-c"2(a-c

解：直线4坊的方程为:

-ab

xbx-ay=-ab

直线可尸的方程为：一+小联立方程可得：

ccy-bx=-be

解得：丁(屈£,仇。+。)),

a-ca-c

则M(------,--------)在椭圆=+力=l(a>b>0)上,

a-c2(〃一c)ab

c1(〃+c)2

=1,c2+1Oac—3a?=0,/+10e_3=0

(a-c)24(a-c)2

解得：e=2币-5

答案：e=2近-5

YV

例6：已知F是双曲线二一R=l(a>0,b>0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点尸

且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,3两点，若AABE

是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为

()

A.(1,+8)B.(1,2)

C.(1,1+V2)D.(2,1+回

思路：从图中可观察到若为锐角三角形，只需要/4EB为锐角。由对称性可得只需

NAEFe](),?]即可。且AF,EE均可用。，仇c表示，|AF|是通径的一半，得：|AF|=—,

I庄|=〃+c,所以tanA£y=^^~=------<1^—-----<1^——<lne<2,

\FE\a^a+c)a^a+c)a

即ee(l,2)

答案：B

小炼有话说：(1)在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角

的问题转变为边的比值问题

(

（2）本题还可以从直线AE的斜率入手，E（a,Q）,A-c,一,利用1,0）即可求

、a?

出离心率

A.(0,V2-l)B.—,1C,0,—D.(72-1,1)

I2JI2J

思路：耳为焦点三角形/7熊的内角，且对边为焦半径|尸闾，归片|,所以

csinAPFFCJ尸娟_c

利用正弦定理对等式变形：-----------2X

sin/P与工sinsinZPFFa|P7^|a

ZPF2FXX2

r\2

再由|P阊+|尸耳|=2a解得：|P闾=^-,再利用焦半径的范围为（a—c,a+c）可得（由

于依题意，尸非左右顶点，所以焦半径取不到边界值a-c,a+c）：

22222

2a,a-c<2aQ>—C//—\

a-c<--<。。n<n,,解得ee挺—1,1

a+c2a?<a?+24c+e2+2e-l>0'7

答案：D

例8：己知耳，鸟是椭圆石：三+三=1（。〉6〉0）的左右焦点，若椭圆上存在点尸，使得

ab

PFJPF2,则椭圆离心率的取值范围是（）

思路一：考虑在椭圆上的点尸与焦点连线所成的角中，当尸位于椭圆短轴顶点位置时，

ZF}PF2达到最大值。所以若椭圆上存在PF]1PF2的点P,则短轴顶点与焦点连线所成的

0

角8290°,考虑该角与a,。,c的关系，由椭圆对称性可知，ZOPF2=->45°,所以

tanZOPR==—>1,c>Z?c2>Z?2=>c2>«2-c2,进而二2!即622工，

2\OP\ba222

6「拒、

解得e2——，再由ee(0,l)可得ew——,1

2L2)

思路二：由，P巴可得NRPF]=90°,进而想到焦点三角形RPF2的面积：

S△"6=b2tg刍詈=62,另一方面：S*”=；.|月6卜|甫二5|词,从而

(人2b2

2nly尸I二—，因为尸在椭圆上，所以孙£[—》,句，即|%|二一<b^b<c,

再同思路一•可解得：eeL—2,1J

思路三：g可想到可\・可[=0,进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。设

尸(x,y)，E(—c,0)，E(c,0),则有PFi=(-c-x,-y),PF[=(c-x,-y),则

PFiPE=x2+/-c2=0,即尸点一定在以。为圆心，c为半径的圆上，所以只需要

该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径时才可有交点，所以c2b,同思

路一可解得eV，1

注：本题对尸在圆上也可由LPg判定出尸在以耳身为直径的圆上，进而写出圆方程

思路四：开始同思路三一样，得到尸所在圆方程为必+>2=。2,因为尸在椭圆上，所以联

22222

bx+ay=crb2/2八2222

立圆和椭圆方程：<,，工代入消去x可得：b2(c2-y2)+a2y2=a2b2,整

+y-=c''

A4A4

224222

理后可得：cy=by,由丁式一反可可得：y-—<b^>c>bf同思路一

即可解得：ee

答案:

小炼有话说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不

同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过

坐标方程用代数方式计算求解

例9：设点4，4分别为椭圆二+4=1（。〉6〉0）的左右焦点，若在椭圆上存在异于点

ab

A，4的点P，使得尸。，尸4，其中。为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）

A.qB."JC.D.

思路：本题取值范围的突破口在“椭圆上存在点P”，则P的横纵坐标分别位于

（一,aa）,中，所以致力于计算P的坐标，设/后,为）,题目中4（a,0）,由

可得P也在以为直径的圆上。即+y2=—,所以联立方程:

"4

埒入i八。,02

即——x"—cix+b=0,由已知可得

a

、ay

4（a,0）也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得：ax0=―——,再根

据的范围可得：—a<——<ci=>b2<c?=>a?—c?<c?=>/〉一,解得ee——,1

。2I2J

答案：D

小炼有话说：本题运用到了一个求交点的模型：即已知一个交点，可利用韦达定理求出另

一交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标

例10：如图，已知双曲线二―==l（a〉0］〉0）上有一点A,它关于原点的对称点为8,

ab

点厂为双曲线的右焦点，且满足Ab,5尸，设NA3E=a,且ae［二，刍，则该双曲线

离心率e的取值范围为（）

A.[V3,2+V3]B.[A/2,V3+1]

FX

C.[V2,2+V3]D.[V3,V3+1]B°

思路：本题与焦半径相关，所以考虑a,c的几何含义，A尸，BF可得AAB尸为直角三角形，

且|AB|=2\OF\=2c,结合ZABF=a可得|=2csina,忸耳=2ccosa，因为A,3关

于原点对称，所以|人同即为8的左焦半径。所以有2a=忸同一|4百=2c（cosa—sina）,

则e=，=------------=--------7-----r-,即关于a的函数，在ae[―,—]求值域即

lacosa-sina后(%)126

V2cosa+—

I4j

可

71re57r二品+土]©

aH—G

4I4）

所以e£

答案：B

三、历年好题精选

22

1、已知双曲线=-3=l（a>02>0）,M,N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双

ab

曲线上的动点，直线PM,PN的斜率分别为左，右（尢•&/（）），若|修+隹|的最小值为1，

则双曲线的离心率为（）

“万.由63

A・V2B•C.D.—

222

2、（2016,新余一中模拟）已知点A是抛物线必=4丁的对称轴与准线的交点，点B为抛

物线的焦点，尸在抛物线上且满足|州|=加|?却，当加取最大值时，点尸恰好在以A3为

焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A.A/2+1B.^±1c.於D.V5-1

22

22

3、已知耳，尺分别是双曲线二-香=1（。〉6〉0）的左、右焦点，过点£且垂直于x轴

a"b

的直线与双曲线交于A8两点，若△A3月是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是

()

A.],+oo)B.+l,+ooC.(1,1+V2)D.+l,+oo

4、设耳,K分别是双曲线2=1（。〉0力〉0）的左右焦点，若双曲线左支上存在一点

M,使得加•（丽+西"）=0,O为坐标原点，且|阿卜三|瓦同，则该双曲线的离

心率为（）

6+1

A.y/3+1B.------

2

V6+V2

C.A/6+A/2D.--------

2

5、（2016四川高三第一次联考）椭圆3+%=1（。〉。〉0）和圆V+y2=：+2c

（c为椭圆的半焦距）对任意fe[L21恒有四个交点，则椭圆的离心率e的取值范围为（）

6、如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆

引切线AC3。，设内层椭圆方程为3+方=1（。〉。〉0），外层

229

椭圆方程为厂三1（。〉）〉0,机〉1）若4。,5。的斜率之积为一，则椭圆的

（ma）（mb）16

离心率为

7、（2015,新课标II）已知A8为双曲线E的左右顶点，点加在E上，AABM为等腰三

角形，且顶角为120。，则E的离心率为（）

A.A/5B.2C.73D.血

8、（2016,宜昌第一中学12月考）已知双曲线方=1（。〉0力〉0）的左、右焦点分

别为耳，工，点M在双曲线的左支上，且|加鸟|=7|上阴|,则此双曲线离心率的最大值为

()

457

A.一B.一c.2D.-

333

22

9、（2015,山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线G：=—力〉0）的渐近线

ab

与抛物线。2：%2=2加（2>0）交于点。4瓦若AQAB的垂心为。2的焦点，则G离心

率为________

10、（2014,湖北）已知耳,工是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且

7T

则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）

462百0-

A.------B.------C.3D・2

33

22

11、（2014,浙江）设直线％—3y+加=0（MW0）与双曲线=■-£=1（〃>0乃〉0）的两

条渐近线分别交于点AB,若点P（〃0）满足|必|=|尸同，则该双曲线的离心率是

解得：

习题答案：

1、答案：B.

n2a2s2t2

解析：谡M(p,q),N(-p,-q),P(s,t),贝U7T=L=17T=L

abab

2_22

两式相减得:=

q-rbz

而周+|/自+|*22、悭=阡；=2\忆竺=1，则

p-s\\-p-s'p-sp+s丫p-_s2va"a

2b=a,4Z?2=a2=>4c2-4tz2=a2n5a2=4c2=>e2=』ne=-.

42

2,答案：A

解析：由抛物线方程可得：A（0,-l）,5（0,1）,过尸作准线的垂线，垂足为舷，所以

EL1

\PB\=\PM\,所以==可知机取得最大值时，NK4M最小，数形结

\PB\sinPAM

合可知当AP与抛物线相切时，NR4M最小。设=—1,联立方程=4y,

y-kx-1

即炉―4丘+4=0,则A=0n左=1,此时P（2,l）,贝。|丛|=2后,归同=2,所以

2a=\PA\-\PB\=2y/2-2^a=42-l，则e=£=、i—=0+1

aV2-1

3、解析：・・・△ABB为钝角三角形，且人工=6乙,乙4鸟耳>45。

1

b22

即AF>FF,:,—>2c=>c2-a2-lac>0

X{2a

即e2-2e-l>0^e>l+y/2

答案：B

4、答案：A

思路：已知条件与焦半径相关，先考虑焦点三角形M4月的特点，从阡丽•（丽7+砥）=0

入手，可得用仅用+西1），数形结合可得四边形0Mp6为菱形，所以

\OM\=\OF^\=\OF^,可判定AMF'F2为直角三角形。

\MF\-.|叫=6：3n\MFt\=y[3k\MF^=3k,可得闺闾=+\MF2f=2辰

.c=2j怩阊2尿不

"2a\MF^-\MF\3k-也k

5、答案：B

bt

----F2c<Q

2

解析：由椭圆与圆有四个不同的交点，贝心对任意恒成立，即

btL」

----\-2ob

12

b+2c<a5e2-4e>0

5c2-4ac>0

b，平方变形后可得：，=>

-+2c>b-(72+17c2>0e2>—

1217

6、答案,T

解析：设切线AC的方程为丁=勺@—〃涧），切线的方程为y=&x+7仍，联立切线

AC与内层椭圆方程，得所以

(bx)2+(ay)'=(ab)

仅2+a雷卜2—2mc^k^x+席a"k；-a2b2=0，由A=0可得：=—•,同理

a~m

:b:c=4:3:*i。即e=E

-1）,所以将收=

7、答案：D

22

解析：设双曲线方程为二一之=1（。〉0力〉0）,如、/

a~b-\Ay/

图所示：忸叫引他仁^^^钻加二口口过点“作\/

aW，x轴于N,在Rt^BMN中，

W~-3~&KG2ai1*4^

\BN\=a,\MN\=sJ3a,所以V（2a,岛），代入双曲/-i-A

（Zap/d\\

线方程可得：=l可得：/T-\

ab/s\

3=lna：b：c=l：l：^2,从而e=—=42

ba

8、答案：A

解析：由双曲线可知|北里|—|北用|=6|町|=2。，所以|同4|=三，因为点