数学课后导练：比较法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1设t=a+2b，s=a+b2+1,则t与s的大小关系是()A。t>sB.t≥sC。t<sD.t≤s解析：∵s=a+b2+1≥a+2b=t,故选D。答案：D2设a，b∈R+,且a≠b，n∈N＊,则abn+anb-an+1-bn+1的值（)A。恒为正B。恒为负C.与a，b的大小有关D。与n的奇偶性有关解析：∵abn+anb-an+1—bn+1=an（b-a）+bn（a-b）=-(a—b）(an-bn)，当a>b>0时，an〉bn;当0<a<b时，an〈bn，∴—(a—b)(an—bn）〈0.故选B.答案:B3下列命题中，真命题是（）①当b>0时，a>b〉1②当b>0时,a<b<1③当a>0，b〉0时,>1a>b④当ab〉0时,>1a>bA。①②③B.①②④C。④D。①②③④解析:①正确.∵b>0，∴〉0.又∵a>b，∴a×>b×，即〉1.反之，∵>1，b>0,∴×b>1×b，即a>b.同理，可证②③正确，④错。∵若令a=-2，b=-1,则=2〉1,但a<b。答案:A4在等比数列{an｝和等差数列｛bn｝中，a1=b1>0，a3=b3〉0,a1≠a3，则a5与b5的大小关系为（)A。a5〉b5B。a5=b5C。a5<b5D.不确定解析：∵a32=a1a5，2b3=b1+b5∴a5=，b5=2b3—b1=2a3-a1，a5-b5=—（2a3—a1）=。∵a1≠a3，∴（a3-a1）2>0。又a1>0，∴〉0。故a5>b5。答案：A5设ab〉0且>,则下列各式中成立的是(）A.bd〈adB.bc〉adC.D。解析：∵ab>0,∴>0.把〉两边同除以得〉1.由题意>〉0，则c，d同号。但a，d不一定同号.若a，d同号，则ad〉0.∴bc>ad。故A错。若a，d异号，则ad〈0.∴bc<ad,则B错。由〉>0,根据函数f（x）=在x∈（0，+∞)上单调递减，∴答案:D综合应用6已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，则下列各式中，一定正确的是()A.ac≥bB.ab≥cC。bc≥aD.ab≤c解析：∵logac·logbc=4，∴1=4logca·logcb≤4·（)2=logc2ab,即logc2ab≥1。又a，b，c均大于1，∴logcab〉0.∴logcab≥1.∴ab≥c。答案:B7a克糖水中,含有b克糖(b〈a),向糖水中加入m克糖,糖水就比原来变甜了.这一现象用一个不等式表示为________________。解析:这是糖水浓度变高了。原来的浓度为，现在的浓度为.答案:〉8已知a、b、m都是正数，并且a<b,求证:〉.证明:-=,∵a,b,m都是正数,且a〈b，∴b+m〉0,b—a>0。∴即.9已知a,b，c均为正数，求证：.证明:≥0,同理，≥0,各式相加即可证。拓展探究10已知a+b>0，n∈N＊且为偶数，证明.证明：.(1）当a〉0,b>0时,不妨设a≥b〉0,则an≥bn,an—1≥bn—1，（ab)n〉0，∴≥0。∴。(2）当a,b有一个负值时，不妨设a〉0,b〈0.∵a+b>0,n∈N*且为偶数，∴a〉-b=｜b|>0，an>｜b｜n=bn。而bn-1〈0，∴an-1-bn—1〉0.又∵（ab）n〉0，∴〉0,即。综合(1）(2),得.备选习题11已知0<x≠1，p,q∈N＊，那么(）A.1+xp+q<xp+xqB。1+xp+q>xp+xqC。1+xp+q≤xp+xqD.1+xp+q≥xp+xq解析:1+xp+q—(xp+xq)=xp(xq-1)+（1-xq)=(xq-1)（xp-1）。当0〈x〈1时,∵p,q∈N*，则xq〈1,xp<1。∴(xq—1）（xp-1)>0。当x>1时，∵p，q∈N*，同理,（xq—1)（xp-1）>0。总之，1+xp+q>xp+xq.答案:B12已知a<b〈0，c〈0，则(a-2)c____________(b—2)c.解析：∵a<b〈0，∴a-2〈b—2<0.又∵c〈0，∴（a-2)c〉(b—2）c.答案:〉13若n〉0,则与3—n的大小关系是________________—。解析:≥0,∴≥3—n。答案:≥3—n14已知a,b∈R，则a2+b2与2(2a—b)—5的大小关系是_______________。解析:∵a2+b2—2（2a—b)+5=（a—2）2+(b+1）2≥0,∴a2+b2≥2（2a-b)—5.答案：a2+b2≥2（2a—b）-515设0<a〈，f（x）=2x2—3x，则f(a)与f(1-a）的大小关系是_____________.解析:作差f(a）-f（1-a)=(2a2-3a）—［2(1-a）2-3(1-a）]=2[a2-（1-a)2］+3（1—a)—3a=1-2a。∵0〈a〈，∴—1〈-2a〈0。∴1—2a〉0。∴f(a）-f（1—a)〉0,即f(a）〉f(1-a）.答案：f（a）〉f(1-a）16已知ab≠0,试比较与的大小。解析：∵ab≠0