数学课后导练：第一讲第五节直角三角形的射影定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高,则下列等式不成立的是(）A。CD2=AD·BDB。BC2=BD·ABC。AC2=AD·ABD.AD·AC=BD·BC解析：根据射影定理,A、B、C均正确，只有D无根据.答案：D2。如图1-5—8，在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D,AC=12,BC=5,则CD的长为(）图1-5-8A.B。C.D。解析：AB=.∵AD·AB=AC2，BD·AB=BC2,∴AD=，BD=.又CD2=AD·BD，∴CD==。答案:A3.如图1-5—9,已知AB为⊙O直径，弦CD⊥AB,E为垂足，EF⊥BD,F为垂足，若BF=9，DF=3，则AE的长为(）图1—5—9A.B。C。D.解析：连结AD。∵CD⊥AB,EF⊥BD，∴在Rt△BDE中，由射影定理BE2=BF·BD=BF(BF+DF）=9×(9+3)=108。∴BE==6.∵AB为直径，∴∠ADB=90°.∴由射影定理得BE·AB=BD2.∴BE（BE+AE）=BD2。∴6（6+AE)=122。∴AE=2.答案:B4.如图1—5-10,在Rt△ABC中，∠C=90°,CD为AB边上的高，AD=8，DB=2,则CD的长为（)A.4B。16C.D.图1-5—10解析：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴CD2=AD·BD=8×2=16.∴CD=4.答案：A5。在△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于D，下列关系中错误的是（）A.=B.BD·CD=AD2+BD2C。=D。=图1-5-11解析：∵AB2=BD·BC,AC2=CD·BC，∴=，A正确.∵AD2=BD·CD，∴BD·CD≠AD2+BD2,B错误。∵,C正确.∵△ABD∽△CAD,∴=()2=,D正确。答案:B综合运用6。在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，CD⊥AB于D，若BC=1，求AB、AC、AD、CD、BD的长。图1—5-12解析:设∠A=x,则∠B=2x，∠C=3x,x+2x+3x=180°,∴x=30°。∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°.如图1—5-12,Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴AB=2BC=2，AC=.∵AC2=AD·AB,∴AD==。∵BC2=BD·AB，∴BD==，CD=.7。如图1-5—13,梯形ABCD中，AD∥BC,AD⊥CD，AD、BC与⊙O切于D、C点，AB与⊙O切于E点，求证:OD2=AD·BC.图1-5—13证明：连结OA、OB。∵OD⊥AD,OE⊥AE,∴在Rt△OAE、Rt△OAD中,∴△OAE≌△OAD。∴AD=AE，∠1=∠2.同理,BC=BE，∠3=∠4。∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.在Rt△AOB中，∵OE⊥AB，∴OE2=AE·BE.∴OD2=AD·BC.8.如图1—5-14，已知△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E.图1-5-14求证：=。证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB,∴BC2=BD·AB，AC2=AD·AB.∴==。又DE⊥BC,AC⊥BC,∴DE∥AC.∴=.∴=。9.如图1-5-15，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高,P是EC延长线上的一点，连结AP,BG⊥AP于G，BG交CE于D.求证：CE2=ED·EP.图1-5—15证明:∵BG⊥AP，∴∠P+∠2=90°.∵PE⊥AB,∴∠P+∠3=90°.∴∠2=∠3.又∠1=∠2，∴∠1=∠3，∠BED=∠PEA=90°.∴△BED∽△PEA。∴.∴BE·AE=ED·EP.由射影定理CE2=AE·BE,∴CE2=ED·EP。拓展探究10.求证:(1）若射影定理成立，则勾股定理成立；（2）若勾股定理成立，则射影定理成立.图1-5-16证明:如图，Rt△ABC中，CD为斜边上的高。（1)由射影定理AC2=AD·AB,BC2=BD·AB，∴AC2+BC2=AD·AB+BD·AB=（AD+BD）·AB=AB2,即勾股定理成立.(2)∵AB=AD+BD，∴AB2=（AD+BD）2=AD2+BD2+2AD·BD。∴AB2-AD2-BD2=2AD·BD。∴AC2+BC2—AD2-BD2=2AD·BD。∴(AC2-AD2)+（BC2—BD2）=2AD·BD.∴CD2+CD2=2AD·BD。∴CD2=AD·BD.①∵AC2=CD2+AD2=AD·BD+AD2=AD（BD+AD）=AD·AB，②同理，BC2=BD·AB。③由①②③说明若勾股定理成立,则射影定理成立。备选习题11。△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的高，已知CD=60,AD=25，则BC=_________.图1-5-17解析：由射影定理CD2=AD·BD，602=25·BD，∴BD=144.又BC2=BD·AB=144×（144+25),∴BC=156。答案:15612.如图1—5—18，已知△ABC中,顶点C在AB上的射影为D且AC2=AD·AB,则△ABC是三角形。图1-5—18解析：∵点C在AB上的射影为D,∴CD⊥AB.∴∠ADC=90°.又∵AC2=AD·AB，∴.又∵∠A为公共角，∴△ACD∽△ABC.∴∠ACB=∠ADC=90°。答案:直角13。如图1—5-19,已知CF是△ABC的边AB上的高,FP⊥BC,FQ⊥AC,求证:∠CQP=∠B.图1—5-19证明:∵CF是△ABC的边AB上的高,∴CF⊥AB。在Rt△ACF中，FQ⊥AC，∴CF2=CQ·CA。在Rt△BCF中，FP⊥BC,∴CF2=CP·CB.∴CQ·CA=CP·CB.∴,∠PCQ=∠ACB.∴△PCQ∽△ACB。∴∠CQP=∠B.14。如图1-5-20,已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,以BD为直径的⊙O交BC于E,求证：=.图1—5-20证明：连结DE,∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°。∵∠ACB=90°,∴DE∥AC。∴=.由射影定理BC2=BD·AB,AC2=AD·AB，∴==。∴=.15。如图1—5—21，已知△ABC中，BD、CE是高，EH⊥BC于H,交BD于G，