2024-2025学年内蒙古兴安盟乌兰浩特一中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年内蒙古兴安盟乌兰浩特一中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线l的方程为y=−abx+cb，ab>0，A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在x轴与y轴上截距分别为−2，2的直线的倾斜角为(

)A.45° B.135° C.90° D.180°3.设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是(

)A.若a//α，b⊆α，则a//b

B.若a//α，b//β，α//β，则a//b

C.若a⊆α，b⊆β，a//b，则α//β

D.若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a4.若向量{e1,e2,e3}是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得：a=xe1+ye2+ze3，我们把有序实数组(x,y,z)叫做基底{A.(12,−32,3) B.(−5.已知直线l经过点P(1,0)，且法向量v=(1,2)，则l的方程为(

)A.x+2y−2=0 B.2x−y−2=0 C.x+2y−1=0 D.x−2y−1=06.已知两条直线l1：ax+4y−1=0，l2：x+ay+2=0，则“a=2”是“l1//A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的棱长都是1，M是BC的中点，CN=λA.12

B.13

C.148.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是左侧面ADD1A1A.30°

B.45°

C.60°

D.75°二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l1：x+(a−1)y+1=0，直线l2：ax+2y+2=0，则下列结论正确的是(

)A.l1在x轴上的截距为−1 B.l2恒过定点(0,−1)

C.若l1//l2，则a=−1或a=210.若平面α，β的法向量分别是n1=(3,−4,2)，n2=(−2,0,3)，直线l的方向向量为a=(2,0,−3)，直线m的方向向量为A.α⊥β B.l//α

C.l与m为相交直线 D.a在b上的投影向量为(0,11.如图，球O与棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的六个面都相切，P，Q，R分别为棱AA1，BC，A.球O与该正方体的体积之比为π3

B.球O与该正方体的表面积之比为π6

C.直线PQ被球O截得的线段的长度为2

D.过A，R，G三点的正方体的截面与球三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l的倾斜角为α，sinα=45，且这条直线l经过点P(3,5)，则直线l的一般式方程为______．13.在空间直角坐标系中，已知三点A(3,2,−1)，B(2,1,2)，C(3,1,−1)，则点C到直线AB的距离为______．14.直线l1：x+(m+1)y−2m−2=0与直线l2：(m+1)x−y−2m−2=0相交于点P，对任意实数m，直线l1，l2分别恒过定点A，B，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

求符合下列条件的直线方程：

(1)直线过点A(−1,−3)，且斜率为−14；

(2)直线过点(2,1)16.(本小题15分)

如图，四面体OABC的所有棱长都为1，D，E分别是OA，BC的中点，连接DE．

(1)求DE的长；

(2)求点D到平面ABC的距离．17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AD//BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2．

(1)求证：平面PAC⊥平面PDC；

(2)求直线EC与平面PAC所成角的正弦值．18.(本小题15分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AD//BC，BC=4，AB=AD=DC=AA1=2，Q为AD的中点．

(1)在A1D1上是否存在点P，使直线CQ//平面19.(本小题17分)

在空间直角坐标系O−xyz中，已知向量u=(a,b,c)，点P0(x0,y0,z0).若直线l以u为方向向量且经过点P0，则直线l的标准式方程可表示为x−x0a=y−y0b=z−z0c(abc≠0)；若平面α以u为法向量且经过点P0，则平面α的点法式方程表示为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0．

(1)已知直线l的标准式方程为x−11参考答案1.A

2.A

3.D

4.A

5.C

6.A

7.C

8.C

9.ABD

10.AD

11.BC

12.4x−3y+3=0或4x+3y−27=0

13.11014.4

15.解：(1)∵直线过点A(−1,−3)，且斜率为−14，

∴y+3=−14(x+1)，化简得x+4y+13=0．

(2)当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y=kx，

∵直线过点(2,1)，

∴22a+1a=1，解得16.解：(1)∵空间四边形OABC所有棱长都为1，连结AE，OE，BD，CD，

∴BD=CD=12−(12)2=32，

∵BE=CE=12，

∴DE=BD2−BE2=34−14=22．

(2)因为四面体OABC为正四面体，所以点O在平面ABC的射影O17.解：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，

由题知，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，所以∠BAC=∠CAD=45°，

由余弦定理得CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcos45°=2+4−22×2×22=2，

所以CD=2，又AC=AB2+BC2=2，所以AC2+CD2=AD2，

即AC⊥CD，因为PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC，

因为CD⊂平面PDC，所以平面PAC⊥平面PDC．

(2)由(1)知，PD在平面PAC内的射影为PC，所以CE18.解：(1)存在，证明如下：

在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，因为平面ABCD//平面A1B1C1D1，

所以可在平面A1B1C1D1内作C1P//CQ，

由平面几何知识可证△C1D1P≌△CDQ，所以D1P=DQ，可知P是A1D1中点，

因为C1P⊂平面AC1P，所以CQ/​/平面AC1P.

即存在线段A1D1的中点，满足题设条件．

满足条件的点只有一个，证明如下：

当CQ/​/平面AC1P时，因为CQ/​/平面A1B1C1D1，

所以过C1作平行于CQ的直线既在平面A1C1P内，也在平面A1B1C1D1内，

而在平面A1B1C1D1内过C1只能作一条直线C1P//CQ，

故满足条件的点P只有唯一一个．

所以，有且只有A1D1的中点为满足条件的点P，使直线CQ/​/平面AC1P，

(2)过点D作DF⊥BC，垂足为F，又因为DD1⊥平面ABCD，

所以DA，DF，DD1两两互相垂直，

以D为坐标原点，分别以DA，DF，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系D−xyz19.解：(1)由直线l的标准式方程