2024-2025学年河北省衡水市高三（上）第二次调研数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省衡水市高三（上）第二次调研数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数列{an}满足an+1=2−1aA.3 B.53 C.75 2.已知α是第四象限角且sinα=−35,2sinβ−cosβ=0，则tan(α−β)A.1 B.−1 C.−2 D.23.函数f(x)=x15的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为A.π6 B.π4 C.π34.如图，平行四边形ABCD中，AE=2EB，DF=FC，若CB=m，CE=n，则A.12m+32n

B.325.已知等差数列{an}的公差小于0，前n项和为Sn，若a2=a7A.45 B.52 C.60 D.906.设△ABC内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知S△ABC=2sinAsinBsinC，若△ABC的周长为1.则sinA+sinB+sinC=(

)A.1 B.12 C.34 7.设函数f(x)=0,x=34π+kπω−tan(ωx−π4),x≠3A.(23,2] B.(0,23]8.已知f(x)=ex−1−e1−x2−ax,x≤1x+3xA.[−2,1] B.[−2,−1] C.(−∞,1] D.[−2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.以下正确的选项是(

)A.若a>b，c<d，则a−c>b−d B.若a>b，c<d，则ac>bd

C.若ac2>bc2，则10.设正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，前n项积为TA.S9=S4+q4S5

B.若T2025=T2020，则a202311.以下不等式成立的是(

)A.当x∈(0,1)时，ex+lnx>x−1x+2

B.当x∈(1,+∞)时，ex+lnx>x−1x+2

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面向量|a|=22，|b|=2，a⋅13.已知函数f(x)=sin(π−ωx)cosωx−3sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π14.若定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足：对任意的x，y∈(−∞,0)∪(0,+∞)，都有：f(xy)=f(x)+f(1y)，当x，y>0时，还满足：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ex(x2−x+1)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)函数f(x)≤a16.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=13，an+1=an−8,n为奇数3a17.(本小题15分)

凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如x2，ex等.记f″(x)为y=f′(x)的导数.现有如下定理：在区间I上f(x)为凸函数的充要条件为f″(x)≥0(x∈I)．

(1)证明：函数f(x)=1x3−x为(1,+∞)上的凸函数；

(2)已知函数g(x)=ax2−2xlnx−lnx(a∈R)．

①若g(x)为[1,+∞)上的凸函数，求a的最小值；

②在18.(本小题17分)

如图，在平面直角坐标系中，质点A与B沿单位圆周运动，点A与B初始位置如图所示，A点坐标为(1,0)，∠AOB=π4，现质点A与B分别以π4rad/s，π12rad/s的速度运动，点A逆时针运动，点B顺时针运动，问：

(1)1s后，扇形AOB的面积及sin∠AOB的值．

(2)质点A与质点B的每一次相遇的位置记为点Pn，连接一系列点19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−mx，g(x)=x2+1，则：

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥g(x)恒成立，求m的取值范围；

(3)当x≥0时，若f(x)−ng(x)参考答案1.C

2.C

3.D

4.D

5.A

6.B

7.A

8.A

9.AC

10.AB

11.ABC

12.4

13.−1012014.(−∞,−1]∪[1,+∞)

15.解：(1)∵f(x)=ex(x2−x+1)，

∴f′(x)=ex(x2+x)=x(x+1)ex，

由f′(x)>0，得到x<−1或x>0；由f′(x)<0，得到−1<x<0．

∴函数f(x)的单调增区间为(−∞,−1)，(0,+∞)，减区间为(−1,0)．

(2)由(1)知f(x)在区间[−2,−1)上单调递增，在区间(−1,0)上单调递减，在区间(0,1]上单调递增，

又f(−1)=3e，f(1)=e，

∵f(−1)<f(1)，

∴f(x)=ex16.解：(1)证明：因为an+1=an−8,n为奇数3an,n为偶数，

所以当n≥2，n∈N∗时，a2n−1−12=a2(n−1)+1−12=3a2n−2−12=3a(2n−3)+1−12=3(a2n−3−8)−12=3(a2n−3−12)，

又n=1时，a1−12=13−12=1，

所以数列{a2n−1−12}为首项为1，公比为3的等比数列．

(2)由(1)知a2n−117.(1)证明：∵f(x)=1x3−x，

∴f′(x)=−(3x2−1)(x3−x)2，f″(x)=2(6x4−3x2+1)x6(x−1)3，

∵6x4−3x2+1=6(x2−14)2+58>0，又x∈(1,+∞)，

∴x6(x−1)3>0，

故f″(x)=2(6x4−3x2+1)x6(x−1)3>0在区间(1,+∞)上恒成立，即函数f(x)=1x3−x为(1,+∞)上的凸函数．

(2)①解：∵g(x)=ax2−2xlnx−lnx(a∈R)，

∴g′(x)=2ax−2lnx−2−1x，g″(x)=2a−2x+1x2，

由题知g″(x)=2a−2x+1x2≥0在区间[1,+∞)上恒成立，即2a≥2x−1x2在区间[1,+∞)上恒成立，

令1x=t∈(0,1]，则2a≥2t−t2在区间(0,1]上恒成立，

令y=2t−t2，对称轴为t=1，

∴当t=1时，y=2t−t2取到最大值，最大值为18.解：(1)根据题意可得：ts时刻时，质点A与质点B旋转的角度分别为：π4t，−π12t，

∴A(cosπ4t,sinπ4t)，

当t=1时，∠AOB=π4+π4−(−π12)=7π12，

∴扇形AOB的面积为S=12×7π12×12=7π24；

∴sin∠AOB=sin(π4+π3)=22×(12+32)=2+64．

(2)若质点A与质点B的每一次相遇，

由(1)可知：π4t−(−π12t)+π4=2kπ,k∈N，

解得t=6k−34,k∈N，19.解：(1)由函数f(x)=ex−mx，可得f′(x)=ex−m，

若m≤0时，可得f′(x)>0，∴f(x)在R上单调递增；

若m>0时，令f′(x)=0，解得x=lnm，

当x<lnm时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞,lnm)上单调递减；

当x>lnm时，f′(x)>0，函数f(x)在(lnm,+∞)上单调递增．

综上可得：当m≤0时，f(x)在R上单调递增；

若m>0时，f(x)在(−∞,lnm)上单调递减，在(lnm,+∞)上单调递增．

(2)令函数ℎ(x)=f(x)−g(x)=ex−mx−x2+1，可得ℎ′(x)=ex−m−xx2+1，

∵当x≥0时，f(x)≥g(x)恒成立，

∴ℎ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，

又∵ℎ(0)=0，要使得ℎ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，则ℎ′(x)≥0恒成立，

令φ(x)=ℎ′(x)=ex−m−xx2+1，

可得φ′(x)=ex+1(x2+1)x2+1>0，

即ℎ(x)在[0,+∞)上为单调递增函数，∴ℎ′(x)min=ℎ′(0)=1−m≥0，解得m≤1，

即实数m的取值范围为(−∞,1]．

(3)当x≥0时，若f(x)−ng(x)的最小值是0，

即m(x)=f(x)−ng(x)=