第25讲 等差数列及其前n项和 （教师版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第25讲等差数列及其前n项和（10类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第19题,15分由递推数列研究数列的有关性质等比数列通项公式的基本量计算求等比数列前n项和裂项相消法求前n项和2023年天津卷，第19题,15分等差数列与等比数列综合应用等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和写出等比数列的通项公式2023年天津卷，第5题,5等比数列通项公式的基本量计算利用等比数列的通项公式求数列中的项2022年天津卷，第18题,15分等差数列通项公式的基本量计算等比数列通项公式的基本量计算错位相减法求和分组(并项)法求和2021年天津卷，第19题,15分等差数列前n项和的基本量计算由定义判定等比数列错位相减法求和数列不等式恒成立问题2020年天津卷，第19题,15分等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和等比数列通项公式的基本量计算分组(并项)法求和2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度高，分值为15分【备考策略】1.理解、掌握等差数列的基本概念与通项公式2.能掌握等差数列的前n项和公式3.具备数形结合的思想，会根据函数的特征解决等差数列的最值与单调性问题4.会解数列的前n项和问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出数列求解数列的通项与求和问题。知识讲解知识点一．等差数列的有关概念1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．2.等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.知识点二．等差数列的有关公式1.通项公式：an2.前n项和公式：Sn知识点三．等差数列的常用性质1.若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*)．2.等差数列{an}的单调性当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．知识点四．等差数列前n项和的常用性质1.当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n是关于n的二次函数．2.在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．知识点五．等差数列的常用结论1．等差数列通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．2．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.3．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.4．若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).5．若等差数列{an}的项数为偶数2n，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).6．若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(2)eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n).考点一、等差数列基本量的计算1.（22-23高三上·新疆阿克苏·阶段练习）设等差数列an的前n项和为Sn，若a3A．70 B．80 C．120 D．140【答案】A【分析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】在等差数列an中，a3+故S7故选：A2.（22-23高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知Sn为等差数列an的前n项和，且S5=aA．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据等差数列性质求出a3【详解】等差数列S5=a所以a1+2d=0,a因为Sn≤a−2nd+n−2n+nnn−1可得n≤6.故选：B.1.（2024·天津北辰·三模）已知在等比数列an中，a4a8=12a6，等差数列bn的前A．60 B．54 C．42 D．36【答案】C【分析】首先根据等比数列的性质计算出a6，然后得出等差数列的b【详解】由等比数列的性质可知a4a8=a62所以S7故选：C2.（2024·天津滨海新·三模）已知数列an为各项不为零的等差数列，Sn为数列an的前n项和，4A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】由数列的递推式，分别令n=1,n=2，结合等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再根据等差数列通项公式即可得到答案．【详解】设等差数列an公差为d，∵4∴当n=1时，4S1=4∴a1当n=2时，4S2=a2⋅a3⇒4a∴a1∴a8故选：D．3.（2022·河南安阳·模拟预测）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a5=2a4≠0【答案】5【分析】由等差数列性质得到a3=0，再由【详解】由a5所以a3所以S5所以k=5，故答案为：5考点二、等差数列的判断与证明1.（2024·山西晋中·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1(1)证明：数列1S(2)设数列bn满足bn=【答案】(1)证明见解析(2)−【分析】（1）由题意可得2Sn⋅Sn+1=S（2）利用（1）中结论求得Sn，再分类讨论n=1与n≥2两种情况，求得b1【详解】（1）因为2Sn⋅Sn−1因为S1=a1=又1S1=（2）由（1）得1Sn=2+2当n=1时，b1当n≥2时，a所以bn所以b12.（2024高三·全国·专题练习）已知数列an满足：a1=12，a2=1，n+1【答案】证明见解析，a【分析】将等式两边同除以n(n+1)(n+2)可判断2n【详解】将n+1n+2anan整理得2×2n+1a因为a1=12，所以2nan1.（2024高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=2,【答案】证明见解析【分析】令cn【详解】证明：令cn=2cn+1−=a因为a1=2，所以所以数列2n2.（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列an满足a(1)证明：数列2n(2)设bn=an+1a【答案】(1)证明见解析(2)2n+4【分析】（1）利用等差数列的定义即可证明；（2）根据（1）问，求出数列2nan的通项公式，从而求得数列an【详解】（1）证明：令cn=2cn+1又a1=2所以数列2n（2）由（1）知，cn又cn=2所以bn所以T====3.（2024高三·全国·专题练习）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn【答案】证明见解析【分析】当n=1求出a12，然后将【详解】证明：当n=1时，a1=a当n≥2时，由Sn=a所以Sn+S故数列Sn2是以4.（2024高三·全国·专题练习）数列an的前n项和Sn满足Sn=na【答案】证明见解析【分析】给Sn=nan+1−n2−n两边加上an+1，化简可得S【详解】证明：因为Sn=na所以Sn即Sn+1所以(n+1)a因为n+1≠0，所以an+2所以an+2−a当n=1时，S1=a综上，an+1−a所以an考点三、等差数列的性质1.（·北京·高考真题）在等差数列an中，已知a1+A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】设首项为a1，公差为d，由已知有5a1【详解】解：∵{an}为等差数列，设首项为a由已知有5a1+10d=20即a3故选：A．2.（·北京·高考真题）已知等差数列an满足aA．a1+a101>0 B．a1【答案】C【分析】利用等差数列的性质可得a1【详解】根据等差数列的性质，得a1因为a1+a所以a1故选：C．1.（2024·辽宁·模拟预测）记等差数列an的前n项和为Sn，若a1+aA．60 B．80 C．140 D．160【答案】C【分析】根据给定条件，求出等差数列an【详解】等差数列an中，a3+a4公差d=a4−所以S10故选：C2.（2024·青海海西·模拟预测）前n项和为Sn的等差数列an中，若S6A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】由前n项和定义和等差中项可解.【详解】由S6−S故选：A．3.（2024·广西柳州·模拟预测）在等差数列an中，若a2+A．7 B．12 C．16 D．24【答案】B【分析】观察数列下标根据等差数列的性质进行求解．【详解】在等差数列an若m+n=p+q，则am所以a2+a故选：B4.（2020·北京怀柔·一模）在等差数列an中，a4+A．5 B．6 C．7 D．10【答案】D【分析】利用等差中项即可求解.【详解】由a4+a故a2故选：D考点四、等差数列前n项和性质1.（2024·河南周口·模拟预测）设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3=4，A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】根据题意可知S3，S6−S3，S9−【详解】由等差数列的性质可知，S3，S6−S3，S9−且S3=4，所以a16故选：B.2.（24-25高三上·广东·开学考试）在等差数列an中，S3=3，S6=10，SA．13 B．17 C．21 D．23【答案】C【分析】由等差数列性质可知S3，S6−【详解】由等差数列的性质可知，在等差数列an中S3，S6所以2S所以S9故选：C．1.（2023·陕西榆林·模拟预测）已知数列an，bn都是等差数列，记Sn，Tn分别为an，bA．85 B．75 C．73【答案】C【分析】利用等差数列前n项和的性质及和与项的关系即可求解.【详解】由SnTn因为数列an，b所以不妨令Sn所以a7b5所以a7故选：C2.（2024·河北衡水·三模）已知数列an，bn均为等差数列，其前n项和分别为SnA．2 B．3 C．5 D．6【答案】A【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解.【详解】因为数列an,b且b6+b10=因此a7故选：A．3.（2024·山西朔州·一模）设Sn为等差数列an的前n项和，若S9A．52 B．3 C．92【答案】A【分析】利用等差数列的性质可得a5，从而可求2【详解】因为S9=452，故9a故2a故选：A4.（24-25高三上·浙江·开学考试）已知等差数列an前n项和为Sn，若a7A．913 B．1213 C．75【答案】D【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式、等差数列性质计算即得.【详解】在等差数列an中，由a7a故选：D考点五、等差数列前n项和最值问题1.（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列an中，a1>0A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据条件，可得数列an为递减数列，且a8>0【详解】在等差数列an中，a1>0，由S∴a8>0，a所以使得前n项的和最大的n值为8.故选：B.2.（2024·山东泰安·三模）已知Sn为等差数列an的前n项和，a1=−21，A．−99 B．−100 C．−110 D．−121【答案】D【分析】设an的公差为d，根据题意列出方程组，求得d=2，得到an=2n−23【详解】设an的公差为d，因为a1=−21可得a1=−217a1可得Sn所以当n=11时，Sn取得最小值S故选：D.1.（2024·全国·模拟预测）已知Sn为等差数列an的前n项和，若3a10+a12A．9 B．10 C．10或11 D．11【答案】B【分析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】由等差数列的性质知a8+3a又3a10+a12=2a10+2则当Sn取最小值时，n=10故选：B．2.（2024·全国·模拟预测）记等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，已知a4=−2,SA．1 B．4 C．5 D．4或5【答案】D【分析】由题意可得数列an的通项公式，找出数列a【详解】由题意可知a1+3d=−29所以an令an≤0，则2n−10≤0，解得所以Sn取最小值时n=4或n=5故选：D．3.（2024·四川泸州·三模）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=−14，a2A．6 B．7 C．7或8 D．8或9【答案】C【分析】要求Sn取最小值时，先求an的通项，由2a3=a2+a【详解】根据等差数列的性质可得2a所以a3=−10，所以所以an=2n−16，当n≤8时，an当n>9时，an所以当n的取值为7或8时，Sn故选：C4.（2024·宁夏银川·三模）设为Sn等差数列an的前n项和，已知S1、S2、S4成等比数列，S2【答案】6【分析】设等差数列an的公差为d，则由S2=2a1+2可求出d=2，再由S1、S【详解】设等差数列an的公差为d，由S2=2a1由S1、S2、S4成等比数列，得(2因此an则6an−所以n=6.故答案为：6考点六、等差数列的实际应用1.（24-25高三上·湖北·阶段练习）长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器.三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米.为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降.假设每个闸室之间的水位差均可控制在15至25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为（

）

A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由已知，水位差为175−62=113米，每个闸室之间的水位差均可控制在15至25米之间，由113÷25=4.52，可知船闸至少需要修建闸室5个.【详解】因为三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米,所以水位差为175−62=113米，又每个闸室之间的水位差均可控制在15至25米之间，则113÷25=4.52，所以船闸至少需要修建闸室5个.故选：B.2.（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（

）A．167 B．168 C．169 D．170【答案】A【分析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为an【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为an则an故an−1为12的倍数，所以所以an令1≤an≤2000，即1≤12n−11≤2000，且n∈且n∈N*，又故选:A1.（23-24高三下·上海·开学考试）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，该年是（

）A．丁酉年 B．丁戌年 C．戊酉年 D．戊戌年【答案】A【分析】依题意天干以十年为一个周期，地支以十二年为一个周期，求出相隔的年数，再由周期性判断即可.【详解】天干以十年为一个周期，地支以十二年为一个周期.1777年与2024年相隔2024−1777=247年，247=24×10+7，即天干有24个周期，余7年；247=12×20+7，即地支有20个周期，余7年.故甲往前数7年为丁，辰往前数7年为酉，故1777年为丁酉年.故选：A.2.（2024·云南曲靖·二模）小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（

）A．25元 B．18元 C．20元 D．16元【答案】C【分析】根据非零常数列的定义，结合题意即可直接得出结果.【详解】因为这3本书的单价既是等差数列，又是等比数列，所以该数列为非零常数列，则每本书的单价为603故选：C.3.（2023·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（

）A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年【答案】D【分析】本题由题意可得数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列，以2024年的天干和地支分别为首项，即可求解．【详解】天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于2124−2024=100，故100年后天干为甲，由于100÷12=8⋯⋯4，余数为4，故100年后地支为“辰”后面第四个，即“申”，所以2124年为甲申年．故选：D4.（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（

）A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日【答案】D【分析】利用等差数列求和公式列方程求解.【详解】若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第n天所得积分为2n−1．假设他连续打卡n天，第n+1天中断了，则他所得积分之和为(1+3+⋅⋅⋅+2n−1)+=n(1+2n−1)2+解得n=7或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的应用，注意审题“一天中断”两次求和公式的应用.考点七、等差数列分奇偶问题1.（21-22高三上·全国·阶段练习）已知某等差数列an的项数n为奇数，前三项与最后三项这六项之和为78，所有奇数项的和为65，则这个数列的项数nA．9 B．11 C．13 D．15【答案】A【分析】由等差数列的性质与求和公式求解即可【详解】由已知，a1所以a1所有奇数项的和为a1于是可得n=9.故选：A.2.（2021·山东济南·二模）已知等差数列an的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290A．28 B．29 C．30 D．31【答案】B【分析】本题可设等差数列an共有2n+1项，然后通过S【详解】设等差数列an共有2n+1则S奇=a1+故S=aan+1故选：B.1.（2024高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=1，an+1=【答案】1980【分析】根据题中递推式可求得a2n+1−a2n−1=5【详解】因为a1=1，a2=a即a2n+1−a同理，由a2n+2−a所以an前40项和为S20=(故答案为：1980.2.（23-24高三上·四川成都·期中）数列an满足：a1=a2=1,a2n+1−a2n−1【答案】2191【分析】a1=a【详解】∵a1=1,a2n+1−a2n−1=2,∴a2n−1∵a2=1,a2n+2a2n=2,∴a2n∴S23故答案为：2191.3.（2022高三·全国·专题练习）在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，S奇S偶＝11【答案】2【分析】由S奇+S【详解】解:由S奇+S所以S偶故答案为：2.4.（20-21高三上·广东汕头·阶段练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n2+2n+1【答案】an【解析】根据已知n与Sn的关系式，利用an={S1【详解】由Sn当n=1时，a1当n≥2时，an∴an∴奇数项通项为a2n+1=12n+5，a1故答案为：an【点睛】本题考查了利用an与S考点八、含有绝对值的求和问题1.（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列an中，a1=9，a4=3A．245 B．263 C．281 D．290【答案】C【分析】根据给定条件，求出等差数列an的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出T【详解】等差数列an中，由a1=9，a则an=a1+(n−1)d=−2n+11，显然当n≤5时，a所以T=2(a故选：C2.（23-24高三下·北京·开学考试）已知数列an的通项公式为an=n−13，若满足akA．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在【答案】A【分析】本题首先可讨论当k≥13时，根据an=n−13得出ak+【详解】当k≥13时，ak解得k=m+7020，此时保证等式成立的每个m值，只有一个当0<k<13时，a=13−k即k2若整数k恰有2个，则首先49−4112−m≥0，解得设该方程有两实数根k1,k2，则k1+k若k1=1,k2=6，此时112−m=6若k1=2,k2=5，此时112−m=10若k1=3,k2=4，此时112−m=12故m可取到的值有m=106或102或100.故选：A.1.（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知数列{an}是首项为25，公差为−2的等差数列，则数列{【答案】458【分析】由已知求出数列an的通项与前n项和Sn，数列an【详解】数列an是首项为25，公差为−2则有an=25+n−1×−2=−2n+27，数列若an=−2n+27>0，则n∈N数列an的前30项的和=a故答案为：4582.（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列an满足a7a9a(1)求数列an(2)若bn=log2a【答案】(1)a(2)S【分析】（1）利用等比数列、等差数列的性质，结合等比数列的通项公式求解an（2）利用（1）的结果得到bn=7−n,n≤7n−7,n>7，对n分情况求解【详解】（1）因为a7a9a11=64，又设an的公比为q，因为a12+2是a所以a9即a9+a从而an故等比数列an的通项公式是a（2）由（1）知an=2bn设bn的前n项和为S当n≤7时，易知数列bn是首项为6，公差为−1所以Sn当n>7时，易知数列bn所以S=2=2S所以数列bn的前n项和S3.（23-24高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列an的公差为整数，a3=9，设其前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)若bn=a2n+1−60【答案】(1)a(2)T【分析】（1）根据等差数列的性质即可求解公差，进而可求解，（2）分类讨论，即可根据等差数列求和公式求解.【详解】（1）设an的公差为d，依题意得S所以2a3−3d化简得3d2−22d+40=0，解得d=4a1所以an（2）依题意得，bn=a其前n项和Hn当n≤7时，bn=59−8n，故Tn当n≥8时，bn故T=−2=−2=4所以Tn4.（23-24高三上·上海·期中）在公差为d的等差数列an中，已知a1=10，且a1，(1)求d，an(2)若d<0，a1+a【答案】(1)d=4时an=4n+6，d=−1(2)20【分析】（1）根据等比中项的性质得到方程求出d，从而求出通项公式；（2）由（1）可得an=11−n，令Sn=a1+【详解】（1）公差为d的等差数列an中，已知a1=10，且a1，所以2a2解得d=4或d=−1，①当d=4时，an②当d=−1时，an（2）因为d<0，所以an令Sn①当1≤n≤11时，an所以an所以Sn②当n>11时，an所以Sn=a=2(a=110−n(21−n)故Sn又a1且当n≤11时Sn所以n>11，则n(n−21)2解得n=20或n=1（舍去）.所以n=20.考点九、等差数列的单调性1.（2023·贵州铜仁·二模）设Sn为等差数列an的前n项和，且∀n∈N∗，都有A．Sn的最小值是S17 B．SC．Sn的最大值是S17 D．S【答案】C【分析】通过分析得数列an为递减的等差数列，根据a17+a18=0得a17【详解】由an−an+1>0得a∵a17+a18=0，∴当n≤17且n∈N∗时，an>0，当n≥18且∴Sn有最大值，最大值为S故选：C.2.（2023·陕西宝鸡·一模）已知等差数列an满足a4+a7=0,a5+a8=−4，则下列命题：①an是递减数列；②使A．①② B．①③C．①④ D．①②③【答案】D【分析】设出公差为d，列出方程组，求出首项和公差，根据d<0判断①正确，写出Sn=10n−n2，解不等式求出Sn根据an>0与an<0，得到当n=5时，利用通项公式an=−2n+11求出a6【详解】设等差数列an的公差为d故a4+a由于d<0，故an是递减数列，①Sn=9n+n解得：0<n<10，且n∈N故使Sn>0成立的n的最大值是9，an当1≤n≤5时，an>0，当n≥6时，故当n=5时，Sn取得最大值，③a6=−2×6+11=−1，故选：D1.（2022·浙江绍兴·一模）已知数列an为等差数列，前n项和为Sn，则“2SA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】先说明充分性，由2Sn+1<Sn+Sn+2得到an再举出反例得到必要性不成立.【详解】若2Sn+1<Sn故an为单调递增数列，设公差为d此时Sn=na令y=d2x2+a1此时Sn所以数列Sn充分性不成立，若数列Sn为单增数列，设等差数列an公差为若d=0，不妨设a1=1，此时Sn此时S1=1,S故“2Sn+1<故选：D2.（2021·北京·模拟预测）已知等差数列an的前n项和记为Sn,a1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由条件求得公差d=−2，从而求得Sn【详解】设公差为d，由a1+2a2+Sn=na则当a1<1时，a1+12<1，对于n∈N弱对于n∈N+，数列Sn是单调数列，根据一元二次函数的性质知，对称轴a1+12<综上所说，“a1<1”是“故选：A【点睛】关键点点睛：根据条件求得公差，及Sn3.（2023·甘肃定西·一模）写出同时满足下面两个条件的数列an的一个通项公式an①an是递增的等差数列；②a【答案】n−1（答案不唯一）【分析】设等差数列an的公差为d，列举满足d>0，a3=2【详解】设等差数列an的公差为d，由①可知d>0，取d=1由a1−a3+2所以数列an的一个通项公式a故答案为：n−1（答案不唯一）4.（2021·江苏南通·模拟预测）已知等比数列an的各项均为正数，且a6=2（1）求数列an（2）设bn=a1a【答案】（1）an=1【分析】（1）利用等比数列的性质，设等比数列an的公比为q（2）法一：bn=a法二：因为an=12n−7【详解】（1）设等比数列an的公比为q因为a6=2，所以a4+a所以6q2−q−1因为an>0，所以q>0，所以所以an=a（2）法一：bn==1所以数列bn的最大项为b法二：因为an=1由a2n−1=1所以数列bn的最大项为b【点睛】关键点睛：解题关键在于列方程求出an的通项公式和利用二次函数或指数函数的性质，判断bn取最大项时，考点十、等差数列中的恒成立问题1.（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an−2，数列bn的前n项和为A．2,+∞ B．98,+∞ C．【答案】B【分析】用Sn=2an−2求出首项，由n≥2时，an=Sn−Sn−1，推出数列【详解】由Sn=2an−2①可得S1=a1由①-②可得，an=2an−2且公比为2，首项为2，则an=2因bn+1−b则Tn=n+n(n−1)2×2=n2设cn=n由方程−x2+2x+1=0可得，x=1+故当n<3时，cn+1−cn>0即数列{c又c2=1，c3=98，因此当n=3时，即实数λ的取值范围是[9故选：B.2.（23-24高三上·山东青岛·期末）Sn是等差数列an的前n项和，若S4A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】由已知结合等差数列的性质可得：a1>0，d<0，【详解】由题意得，n=4时，Sn取得最大值，所以有a1>0，d<0若a4=a若a4=a1+3d>0，aa9故选：D1.（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，且对于任意A．an是等差数列 B．aC．S9=81 【答案】D【分析】推导出an+1−a【详解】因为对于任意n≥2，n∈N∗，满足所以Sn+1−Sn=所以，数列an当n≥2时，an所以，an所以，S9S10故选：D.2.（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2=4，S8=72，n∈N*．记数列1Sn+【答案】11【分析】设等差数列an的公差为d，由等差数列的通项公式和前n项和公式求出a1,d，即可求出an,【详解】设等差数列an的公差为d，则a2=所以an所以Sn所以1Sn+所以T=131+所以m≥1118时所以m的最小值为1118故答案为：11183.（2024高三·全国·专题练习）记Sn为数列an的前n项和，已知a1=3,6n+2Snn+1【答案】34【分析】根据所给等差数列求出Sn,an的关系，再由此得出数列【详解】∵a1=3，∴当n≥2时，Sn−1∴an整理得：annn+2由an∴an=nn+2∴an=nn+2∴1a1+又因为1a所以m≥34，即m的最小值为故答案为：34.（2024·陕西西安·模拟预测）在①a1=1，a1，a3，a9成等比数列，②a2+a问题：已知数列an(1)求数列an(2)数列an2n的前n项和为Sn，对任意的n∈N注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)a(2)2≤m<【分析】（1）若选择条件①，根据等比中项的性质求出d，即可求出通项公式；选择条件②，利用下标和性质得到a1+a5=6，从而求出a1、（2）由（1）可得an2n=n2n，利用错位相减法求出S【详解】（1）选择条件①：因为数列an是公差为正数的等差数列，设公差为d又a1=1，a1，a所以a32=a9⋅a所以an选择条件②，因为a2+a4=6解得a1=1a5=5或a所以a1=1a5=5选择条件③：因为i=13ai则i=46ai即a1+a2+所以a1+a1+d+（2）由（1）可得an所以Sn=两边同乘以12得12①−②得Sn所以Sn因为Sn+1−S于是当n=1时，Sn取得最小值1因为n+22n>0所以Sn∈12,2，故由m−3<1．（2024·天津武清·模拟预测）在等差数列an中，公差d≠0，若S21A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式和求和公式，列出方程，即可求解.【详解】因为S21=7a所以21a1+210又因为d≠0，所以k故选：D．2．（23-24高三下·天津南开·阶段练习）已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn,TA．1713 B．3713 C．207【答案】C【分析】由等差数列的前n项和公式及等差数列的性质，即可求解结果．【详解】因为Sn,Tn是等差数列anS12=所以a故选：C.3．（2024·天津·一模）已知an为等差数列，前n项和为Sn，且a1=2，A．54 B．45 C．23 D．18【答案】C【分析】设等差数列an的公差为d，依题意由等差数列求和公式及通项公式求出d【详解】设等差数列an的公差为d因为a1=2，所以3×2+3d=2+d所以a4故选：C4．（2024·天津·一模）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S4A．6 B．9 C．11 D．14【答案】B【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，依据题意列方程组，解方程组解出a1和d，从而得出an通项公式，进而即可得到【详解】设等差数列an的首项为a1，公差为由S4则有4a1+6所以等差数列an的通项公式为a故a5故选：B．5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列an(n∈N∗)为等比数列，Sn为数列anA．1219 B．114 C．314【答案】A【分析】将3a4,a8,5a6成等差数列转化为等式【详解】设等比数列an的公比为q若3a4,当q=1时，此时a2a8=3a4+5a当q≠1时，2a8=3a得2q4−5q2S10故选：A.6．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且Sn【答案】19【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式计算可得.【详解】因为Sn所以a=1故答案为：191．（2024·天津和平·一模）已知等比数列an的各项均为正数，若a1,A．3+1 B．3−1 C．4+23【答案】A【分析】设等比数列的公比为q，且q>0【详解】因为等比数列an中的各项都是正数，设公比为q，得q又a1可得14又a1≠0，所以q2−2q又q>0，所以则a9故选：A2．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=an2+(【答案】n−1【分析】由Sn=an2+(n−1)【详解】由Sn=a两式相减可得Sn+1−整理得an+12令n=1，可得S1=a1当n为偶数时，可得：Sn=1+3+5+⋯+(n当n为奇数时，可得：Sn=2+4+6+⋯+(n综上可得：Sn故答案为：n−123．（23-24高三下·天津和平·开学考试）在数列an中，an=−1,n=12an(1)求证an+3是等比数列，并求数列an(2)设数列cn满足cn=an+3b【答案】(1)证明见解析，an=(2)当n为偶数时，T2n=−4+4【分析】（1）根据等比数列的定义即可求证，利用等差数列基本量的计算即可求解，（2）利用分组求和，结合并项求和以及等比求和公式即可求.【详解】（1）当n≥2时，an=2an故an+3所以an+3=2设bn的公差为d，则由b1=2，2b1故bn（2）c故c2而a2n+3b2T==当n为偶数时，T2当n为奇数时，T24．（21-22高三上·天津滨海新·阶段练习）设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0，已知a1=b(1)求数列an和b(2)若cn=1anan【答案】(1)an=3(2)S【分析】（1）列出公差和公比的方程组求解；（2）利用裂项相消和错位相减分组求和即可.【详解】（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为依题意，得3q=3+2d3q故an=3+3(n所以，an的通项公式为an=3n，（2）c设19n(n∴设2n+1⋅所以Bn1两式相减可得：2=1+2×=1+2×=1+13×所以B∴S5．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，a1=2，S4=14，数列(1)求bn(2)设数列cn满足c①求cn前2n项中所有奇数项和T奇，②若cn的前n项和为【答案】(1)b(2)①T奇=1【分析】（1）构造等比数列，由数列的递推公式求通项公式；（2）①用裂项求和法求数列cn的奇数项的和；②用分组求和法求数列cn的前【详解】（1）因为bn+1=3bn所以bn−1是首项为3，公比为3的等比数列，所以bn所以bn的通项公式为b（2）①设an的公差为d，因为a1=2所以4a1+6d=14所以cn=n所以T奇=②所以T2n=所以T2所以T2又因为142n6．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知数列an,bn,Sn是数列an的前n项和，已知对于任意n∈N∗(1)求数列an和b(2)记dn=bn+2−1b(3)记cn=a【答案】(1)an=(2)T(3)75【分析】（1）首先根据an与Sn的关系得到an（2）利用裂项相消法即可得结果；（3）将分组求和与错位相减法相结合即可得结果.【详解】（1）当n=1时，3a1当n≥2时，3所以3a即an是以首先a1=3，公比为3因为b1=log所以b4+12=b所以bn（2）由（1）得d=2则T=12=（3