第25讲 等差数列及其前n项和 （学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第25讲等差数列及其前n项和（10类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第19题,15分由递推数列研究数列的有关性质等比数列通项公式的基本量计算求等比数列前n项和裂项相消法求前n项和2023年天津卷，第19题,15分等差数列与等比数列综合应用等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和写出等比数列的通项公式2023年天津卷，第5题,5等比数列通项公式的基本量计算利用等比数列的通项公式求数列中的项2022年天津卷，第18题,15分等差数列通项公式的基本量计算等比数列通项公式的基本量计算错位相减法求和分组(并项)法求和2021年天津卷，第19题,15分等差数列前n项和的基本量计算由定义判定等比数列错位相减法求和数列不等式恒成立问题2020年天津卷，第19题,15分等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和等比数列通项公式的基本量计算分组(并项)法求和2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度高，分值为15分【备考策略】1.理解、掌握等差数列的基本概念与通项公式2.能掌握等差数列的前n项和公式3.具备数形结合的思想，会根据函数的特征解决等差数列的最值与单调性问题4.会解数列的前n项和问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出数列求解数列的通项与求和问题。知识讲解知识点一．等差数列的有关概念1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．2.等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.知识点二．等差数列的有关公式1.通项公式：an2.前n项和公式：Sn知识点三．等差数列的常用性质1.若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*)．2.等差数列{an}的单调性当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．知识点四．等差数列前n项和的常用性质1.当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n是关于n的二次函数．2.在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．知识点五．等差数列的常用结论1．等差数列通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．2．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.3．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.4．若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).5．若等差数列{an}的项数为偶数2n，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).6．若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(2)eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n).考点一、等差数列基本量的计算1.（22-23高三上·新疆阿克苏·阶段练习）设等差数列an的前n项和为Sn，若a3A．70 B．80 C．120 D．1402.（22-23高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知Sn为等差数列an的前n项和，且S5=aA．5 B．6 C．7 D．81.（2024·天津北辰·三模）已知在等比数列an中，a4a8=12a6，等差数列bn的前A．60 B．54 C．42 D．362.（2024·天津滨海新·三模）已知数列an为各项不为零的等差数列，Sn为数列an的前n项和，4A．4 B．8 C．12 D．163.（2022·河南安阳·模拟预测）设等差数列an的前n项和为Sn，已知a5=2a4≠0考点二、等差数列的判断与证明1.（2024·山西晋中·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1(1)证明：数列1S(2)设数列bn满足bn=2.（2024高三·全国·专题练习）已知数列an满足：a1=12，a2=1，n+11.（2024高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=2,2.（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列an满足a(1)证明：数列2n(2)设bn=an+1a3.（2024高三·全国·专题练习）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn4.（2024高三·全国·专题练习）数列an的前n项和Sn满足Sn=na考点三、等差数列的性质1.（·北京·高考真题）在等差数列an中，已知a1+A．4 B．5 C．6 D．72.（·北京·高考真题）已知等差数列an满足aA．a1+a101>0 B．a11.（2024·辽宁·模拟预测）记等差数列an的前n项和为Sn，若a1+aA．60 B．80 C．140 D．1602.（2024·青海海西·模拟预测）前n项和为Sn的等差数列an中，若S6A．6 B．7 C．8 D．93.（2024·广西柳州·模拟预测）在等差数列an中，若a2+A．7 B．12 C．16 D．244.（2020·北京怀柔·一模）在等差数列an中，a4+A．5 B．6 C．7 D．10考点四、等差数列前n项和性质1.（2024·河南周口·模拟预测）设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3=4，A．12 B．14 C．16 D．182.（24-25高三上·广东·开学考试）在等差数列an中，S3=3，S6=10，SA．13 B．17 C．21 D．231.（2023·陕西榆林·模拟预测）已知数列an，bn都是等差数列，记Sn，Tn分别为an，bA．85 B．75 C．732.（2024·河北衡水·三模）已知数列an，bn均为等差数列，其前n项和分别为SnA．2 B．3 C．5 D．63.（2024·山西朔州·一模）设Sn为等差数列an的前n项和，若S9A．52 B．3 C．924.（24-25高三上·浙江·开学考试）已知等差数列an前n项和为Sn，若a7A．913 B．1213 C．75考点五、等差数列前n项和最值问题1.（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列an中，a1>0A．7 B．8 C．9 D．102.（2024·山东泰安·三模）已知Sn为等差数列an的前n项和，a1=−21，A．−99 B．−100 C．−110 D．−1211.（2024·全国·模拟预测）已知Sn为等差数列an的前n项和，若3a10+a12A．9 B．10 C．10或11 D．112.（2024·全国·模拟预测）记等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，已知a4=−2,SA．1 B．4 C．5 D．4或53.（2024·四川泸州·三模）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=−14，a2A．6 B．7 C．7或8 D．8或94.（2024·宁夏银川·三模）设为Sn等差数列an的前n项和，已知S1、S2、S4成等比数列，S2考点六、等差数列的实际应用1.（24-25高三上·湖北·阶段练习）长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器.三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米.为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降.假设每个闸室之间的水位差均可控制在15至25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为（

）

A．4 B．5 C．6 D．72.（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（

）A．167 B．168 C．169 D．1701.（23-24高三下·上海·开学考试）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，该年是（

）A．丁酉年 B．丁戌年 C．戊酉年 D．戊戌年2.（2024·云南曲靖·二模）小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（

）A．25元 B．18元 C．20元 D．16元3.（2023·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（

）A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年4.（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（

）A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日考点七、等差数列分奇偶问题1.（21-22高三上·全国·阶段练习）已知某等差数列an的项数n为奇数，前三项与最后三项这六项之和为78，所有奇数项的和为65，则这个数列的项数nA．9 B．11 C．13 D．152.（2021·山东济南·二模）已知等差数列an的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290A．28 B．29 C．30 D．311.（2024高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=1，an+1=2.（23-24高三上·四川成都·期中）数列an满足：a1=a2=1,a2n+1−a2n−14.（20-21高三上·广东汕头·阶段练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n2+2n+1考点八、含有绝对值的求和问题1.（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列an中，a1=9，a4=3A．245 B．263 C．281 D．2902.（23-24高三下·北京·开学考试）已知数列an的通项公式为an=n−13，若满足akA．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在1.（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知数列{an}是首项为25，公差为−2的等差数列，则数列{2.（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列an满足a7a9a(1)求数列an(2)若bn=log2a3.（23-24高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列an的公差为整数，a3=9，设其前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)若bn=a2n+1−604.（23-24高三上·上海·期中）在公差为d的等差数列an中，已知a1=10，且a1，(1)求d，an(2)若d<0，a1+a考点九、等差数列的单调性1.（2023·贵州铜仁·二模）设Sn为等差数列an的前n项和，且∀n∈N∗，都有A．Sn的最小值是S17 B．SC．Sn的最大值是S17 D．S2.（2023·陕西宝鸡·一模）已知等差数列an满足a4+a7=0,a5+a8=−4，则下列命题：①an是递减数列；②使A．①② B．①③C．①④ D．①②③1.（2022·浙江绍兴·一模）已知数列an为等差数列，前n项和为Sn，则“2SA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2.（2021·北京·模拟预测）已知等差数列an的前n项和记为Sn,a1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.（2023·甘肃定西·一模）写出同时满足下面两个条件的数列an的一个通项公式an①an是递增的等差数列；②a4.（2021·江苏南通·模拟预测）已知等比数列an的各项均为正数，且a6=2（1）求数列an（2）设bn=a1a考点十、等差数列中的恒成立问题1.（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an−2，数列bn的前n项和为A．2,+∞ B．98,+∞ C．2.（23-24高三上·山东青岛·期末）Sn是等差数列an的前n项和，若S4A．7 B．6 C．5 D．41.（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，且对于任意A．an是等差数列 B．aC．S9=81 2.（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2=4，S8=72，n∈N*．记数列1Sn+3.（2024高三·全国·专题练习）记Sn为数列an的前n项和，已知a1=3,6n+2Snn+14.（2024·陕西西安·模拟预测）在①a1=1，a1，a3，a9成等比数列，②a2+a问题：已知数列an(1)求数列an(2)数列an2n的前n项和为Sn，对任意的n∈N注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．1．（2024·天津武清·模拟预测）在等差数列an中，公差d≠0，若S21A．12 B．13 C．14 D．152．（23-24高三下·天津南开·阶段练习）已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn,TA．1713 B．3713 C．2073．（2024·天津·一模）已知an为等差数列，前n项和为Sn，且a1=2，A．54 B．45 C．23 D．184．（2024·天津·一模）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S4A．6 B．9 C．11 D．145．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列an(n∈N∗)为等比数列，Sn为数列anA．1219 B．114 C．3146．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且Sn1．（2024·天津和平·一模）已知等比数列an的各项均为正数，若a1,A．3+1 B．3−1 C．4+232．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=an2+(3．（23-24高三下·天津和平·开学考试）在数列an中，an=−1,n=12an(1)求证an+3是等比数列，并求数列an(2)设数列cn满足cn=an+3b4．（21-22高三上·天津滨海新·阶段练习）设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0，已知a1=b