概率论与数理统计课件：假设检验

在本章中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题。这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确.这类问题称作假设检验问题.比如,对于正态总体，提出数学期望等于μ0的假设.假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断:是接受,还是拒绝.3首页返回退出首页返回退出第一节假设检验的基本思想与概念一、女士品茶二、假设检验的思想三、实例分析四、假设检验的步骤五、假设检验的两类错误一、女士品茶

女士品茶这个故事最早出现在英国统计学家费希尔（Fisher）发表于1935年的著作《thedesignofexperiments》中被用来描述原假设.R.A.Fisher(1890~1962)方案一：先倒茶后倒奶(TM)方案二：先倒奶后倒茶(MT)结果10杯全部说对大家相信该女士确实有此本事！1、提出要检验的一对假设H0：H1：该女士无此鉴别能力该女士有鉴别能力2、假如H0是对的，那么连续10杯都猜对的概率是多少？p=0.510≈0.001这是一个小概率.3、作结论：拒绝H0，接受H1，认为该女士确有鉴别能力.猜对9杯呢？p=10*0.510+0.510≈0.01女士品茶假设检验1、提出假设：H0(H1)

2、计算概率：如果假设H0成立，得到现在的样本结果的可能性有多大？3、推断结论：

得到现有结果的可能性很小(小概率)得到现有结果不是小概率拒绝H0没有理由拒绝H0二、假设检验的思想三、实例分析例1某生产流水线上用一台自动包装机包装袋装白糖,按标准每袋白糖重(克)X～N(500,1.5).一段时间后，为检验包装机是否发生了漂移，随机抽取了9袋白糖，测得重量为x1,x2

,

…,x9，其均值为499.12(克)，问包装机是否发生了漂移？1.工作正常，也就是白糖重量的均值μ＝500.随机误差？本质差异？2.发生了漂移，也就是白糖重量的均值μ≠500.

要检验的假设是H0：工作正常，即μ＝500；

H1：发生了漂移，即μ

≠500.

称H0为原假设(零假设)；H1为备择假设.假如H0是正确的p值p值=检验统计量假如H0是正确的p值p值=01-α检验统计量取显著性水平α=0.05拒绝域拒绝域拒绝域(小概率标准)四、假设检验的步骤1、根据实际问题，建立假设(取α=0.05)H0：μ＝500

H1：μ

≠500

2、选择检验统计量，确定拒绝域拒绝域计算3、结论

拒绝H0，接受H1，认为包装机发生了漂移，这样做犯错误的概率不超过α=0.05.p值=0.031???1、在女士品茶的故事中，为什么设原假设H0为她没有鉴别能力？而不是反过来？

实例分析中，同样为什么设原假设H0：μ=500？而不是μ≠500？2、如果拒绝了H0，我们可以比较放心的使用H1，因为此决定犯错误的概率很小，不超过α

；反之，如果没有拒绝H0，即接受H0，我们可以放心使用吗？犯错的概率又是多少？五、假设检验的两类错误

由于样本具有随机性，因此，当我们利用样本判断时，可能会犯两类错误：样本未落入拒绝域接受H0所作决策真实情况(未知)H0为真H0不真样本落入拒绝域拒绝H0第一类错误正确正确第二类错误P{拒绝H0|H0为真}=,

第一类(弃真):

第二类(取伪):P{接受H0|H0不真}=.一般,则;,则.

即与不能同时控制.

因此，只对犯第一类错误(弃真)的概率加以控制,而不考虑犯第二类错误(取伪)的概率,这类假设检验称为显著性假设检验.α称为显著性水平.一般，=0.1,0.05,0.01等.选取原假设的原则H0：μ＝500

H1：μ

≠500

一般，我们将感兴趣的一对结论写为假设H0：H1：vs在实际工作中,往往把不轻易否定的命题作为原假设.比如，工艺要求，老的方案，现有状态等与H0对立的，需要强有力证据支持的命题作为备择假设.

由于我们只控制犯第一类错误的概率，显著性水平a越小，拒绝域就越小，否定原假设就越困难，换言之，对原假设的保护程度越大。16首页返回退出首页返回退出第二节单正态总体参数的假设检验一、单正态总体均值μ的假设检验二、单正态总体方差σ2的假设检验设总体X~N(μ，σ2)，抽取容量为n的样本X1，X2，…，Xn样本均值和样本方差分别为针对正态总体的参数μ和σ2进行检验.

一、单正态总体均值μ的假设检验考虑三种关于均值μ的假设检验问题：1.2.3.第二三种情形，当备择假设H1在原假设H0一侧时的检验称为单侧检验，此时拒绝域在一侧.第一种情形，备择假设H1在原假设H0两侧时的检验称为双侧检验，此时拒绝域在两侧.（一）已知σ2

=σ02

，关于μ的Z检验由于均值μ的点估计是，故选用检验统计量是合适的.三种情形对应的拒绝域分别如下a/2-Za/2a/2Za/2a-ZaaZa（二）未知σ2，关于μ的t检验由于σ2未知，考虑样本标准差S替换Z统计量中的σ，这就是t检验统计量三种情形对应的拒绝域与Z检验类似，分别如下a/2-ta/2a/2ta/2a-taata例1某厂生产的钢管内径服从正态分布X~N(μ，σ2)，内径的设计值为100mm，现在从该厂生产的一批产品中抽取10件，测其内径，数据如下：100.36，100.31，99.99，100.11，100.64，100.85，99.42，99.91，99.35，100.10分别在下列条件下：（1）已知σ2

=0.52

（2）未知σ2

检验假设(α=0.05).解：正态总体X~N(μ，σ2)，要检验的假设为由样本数据计算，得要检验的假设为（1）已知σ2

=0.52

，选择检验统计量α=0.05，拒绝域为计算统计量Z的观测值，得没有落入拒绝域结论：不拒绝原假设，认为内径的值符合设计要求.由样本数据计算，得要检验的假设为（2）未知σ2

，选择检验统计量α=0.05，拒绝域为计算统计量t的观测值，得没有落入拒绝域结论：不拒绝原假设，认为内径的值符合设计要求.例2某厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布X~N(40，22)，现在采用技术研发部设计的新方法生产了一批推进器，随机测试25只，测得燃烧率的样本均值为

，假设在新方法下σ=2，问用新方法生产的推进器的燃烧率是否有显著的提高？(α=0.05)解：正态总体X~N(μ，σ2)，已知σ=2要检验的假设为选择检验统计量解：正态总体X~N(μ，σ2)，已知σ=2要检验的假设为选择检验统计量α=0.05，拒绝域为已知计算统计量Z的观测值，得落入拒绝域结论：拒绝原假设，认为新方法生产的推进器的燃烧率有显著的提高.二、单正态总体均值σ2的χ2检验考虑三种关于均值σ2的假设检验问题：1.2.3.在实际应用中，通常μ未知，采用的检验统计量为例3某类钢板每块的重量服从正态分布X~N(μ，σ2)，其中一项质量指标是钢板重量的方差不得超过0.016，现在从一批钢板中随机测试25块，得样本方差为

，问这批钢板重量的方差是否符合要求？(α=0.05)解：正态总体X~N(μ，σ2)，要检验的假设为选择检验统计量解：正态总体X~N(μ，σ2)，要检验的假设为选择检验统计量α=0.05，拒绝域为已知计算统计量χ2的观测值，得落入拒绝域结论：拒绝原假设，认为这批钢板重量的方差不符合要求.例4某切割机在正常工作时，切割每段金属棒的平均长度为10.5cm，标准差是0.15cm，今从一批产品中随机的抽取15段进行测量，其结果如下10.410.610.110.410.510.310.310.210.910.610.810.510.710.210.7假定切割的长度服从正态分布X~N(μ，σ2)，试问该机工作是否正常？(α=0.05)分析：正态总体X~N(μ，σ2)，切割机工作正常既包括平均长度正常，又包括标准差正常，分别对其进行检验.由样本数据计算，得解：检验平均长度是否正常，要检验的假设为未知σ2

，选择检验统计量α=0.05，拒绝域为计算统计量t的观测值，得没有落入拒绝域结论：不拒绝原假设，认为金属棒的平均长度符合要求.检验标准差是否正常，要检验的假设为选择检验统计量α=0.05，查表得计算得计算统计量χ2的观测值，得落入拒绝域结论：拒绝原假设，认为金属棒的标准差不符合要求.拒绝域为综合来看，切割机工作不正常.32首页返回退出首页返回退出第三节双正态总体参数的假设检验一、双正态总体均值μ1=μ2的假设检验二、双正态总体方差σ12=σ22的假设检验设总体X~N(μ1，σ12)，总体Y~N(μ2，σ22)，分别抽取容量为m和n的样本X1，X2，…，Xm和Y1，Y2，…，Yn样本均值和样本方差分别为针对双正态总体的均值和方差是否相等进行检验.

（一）双正态总体均值μ1=μ2的假设检验考虑如下三种假设检验问题：1.2.3.考虑σ12，σ22未知，但相等的情形，采用的检验统计量为三种情形对应的拒绝域分别如下a/2-ta/2a/2ta/2a-taata（二）双正态总体方差σ12=σ22的假设检验考虑如下三种假设检验问题：1.2.3.考虑μ1，μ2未知是情形，采用的检验统计量为例1某考查某种物品在处理前后的含脂率是否发生显著性变化，为此在处理前和处理后分别抽取容量为7和8的样本，含脂率分别如下：处理前：0.190.180.210.300.410.120.27处理后：0.150.130.070.240.190.060.080.12假设处理前和处理后的含脂率都服从正态分布。

（1）处理前后含脂率的方差是否有显著性差异？

(α=0.05)

（2）处理后含脂率