2024-2025学年天津某中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津一百中高三(上)第一次月考数学试卷

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设全集U={-2,—1,0,1,2,3},集合4={-1,2},B={X\X2-4X+3=0},贝UCu(AUB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

2.在△48C中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,则“4=B”是usinA=sinB”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

TT

3.记△4BC的内角4B,C的对边分别为a,hc,若A=.,a=3,6=2,贝UsinB=()

A.乎B.4C*D.§

4623

i

4.已知a=log52,b=log83,c=-,则下列判断正确的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

5.已知向重a,b满足|a|=l,\a+2b\=2,M(6-2a)1b,则网=().

A.|C.§D.1

222

6.已知2a=5,log83=b,则4-3b=()

A.25B.5C.仔D.j

7-已知cos七:ina=3则tan(a+9=()

A.2A/3+1B.273-1C.日D.l-木

8.设函数f(X)=2s讥(ax+0),xGR,其中3>0,|刎<兀.若/'(粤)=2,/(当)=。，且/(尤)的最小正

周期大于2兀，贝)

.2wr2117r

A.3=-.(JO=适B.3=-,(p=--

c1117r「17〃

C.3=-,9=一刃D.3=§,(P=-

9.设函数f(%)=(%+a)ln(x+h),若/(%)>0,则砂+炉的最小值为()

A.1B.|C.1D.1

o4Z

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

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10.已知s讥a=、，则cos怎+a)=.

11.函数/(%)=sin%-J^cos%在［0,兀］上的最大值是.

7T叵JI

12.已知sin(a+^)+sina=手,贝！Isin(2a—/)=.

13.已知1g(久+2y)=Igx+lgy,则空苫上空的最小值为

14.函数/(吗=Asin(cox+租)(4>0,3>0,|如<$的部分图象如图所示，关于

函数/'(x)有如下结论：

①函数y=/(x)的图象关于点(―*0)对称

②函数y=/(x)的图象关于直线x=-相对称

③函数y=/(x)在［—尊—刍上单调递减

④该图象向右平移看个单位可得y=2s出2x的图象

以上结论正确的是.

15.在四边形4BCD中，AD//BC,AB=2避，AD=5,LA=30°,点E在线段CB的延长线上，且

AE=BE,则说.族=.

三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题12分)

在A/BC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC.

(1)求cosB的值;

TT

(2)求sin(2B+q)的值.

17.(本小题12分)

已知函数/(x)=sin2x+2V^sinxcosx—cos2%+ni的最大值为3,

(1)若f(x)的定义域为［0,扪，求f(x)的单调递增区间；

(2)若/'(£)=£，x0G［O,,求cos(2%o+合)的值.

18.(本小题12分)

已知四棱锥ABCD-AiBiCiDi中，底面力BCD为梯形，AB//CD,1平面ABCD,AD1AB,其中

AB=44i=2,AD=DC=1.N是的中点，M是。小的中点.

(1)求证：DiN〃平面CB/；

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(2)求平面CBiM与平面BBiCCi的夹角余弦值;

⑶求点B到平面CBiM的距离.

19.(本小题12分)

已知等比数列｛an｝的各项均为正数，2a5,a4,4a6成等差数列，且满足a4=4送，等差数列｛0｝的前几项和

Sn,必+久=6,54=10.

(1)求数列｛册｝和｛0｝的通项公式；

(2)设公=岳？；葭+3即，践eN*,｛dra｝的前n项和rra,求证：Tn<|；

(3)设/=粽数)，求数列｛0｝的前勿项和.

20.(本小题12分)

已知函数/'(X)=x-lnx-2.

(1)求曲线y=f(x)在点(1/(1))处的切线方程；

(2)讨论函数/(x)的单调性；

(3)若对任意的x6(1,+8),都有xlnx+x>做久-1)成立，求整数k的最大值.

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参考答案

l.D

2.C

3.D

4.C

5.B

6.C

7.B

8.4

9.C

10.^-

11.2

12--8

13.4A/2+4

14.①②④

15.~1

16.解：①在三角形力BC中，由正弦定理得一%=券，所以加inC=csinB,

SITIDbiriL,

又由3csm3=4asinC,

得3bsinC=4asinC,即3b=4a,

又因为b+c=2a,得b=y,c=-y,

由余弦定理可得cosB=标广出

2ac

：a2+q21a2=1

——2a-|a——-4;

(II)由(I)得sinB=S-cos2B=逗

4

从而sin2B=IsinBcosB——卫

8

7

22

cos2B=cos5—sin^=-o

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故sin(2B+勺=sin2Bcos^+cos2Bsi痔

,5Zl_3G+7

■■—XT-8xX2--

17.1?：(1)将f(%)化简可得f(%)=避sin2%—cos2X+m=2sin(2%—勺+m,

因为f(%)max=2+m=3，所以7H=1.

此时/(%)=2sin(2x—+1,

当%G[0同时，2x-^E

人71c兀兀/口c7T

令一%<2x-g<2.得0<x<g,

A3TT.71WTI乙曰5兀>>

令5<2N乂一不<丁，得"Wx<n,

(2)由(1)知/Q)=2sin(2x-J)+1,

由/第=9，得2sin(%o—g+1=装，

所以sin(久。一9=|,

又因为x()e[o,所以久o—卷e[―看4]，

2

所以cos(久£)_§=Jl-Sin(xo-^)=1,

所以sin[2(xo_§]=2sin(x0-^)cos(x0-=||，

所以cos(2%o+今=cos[2(x0-^)+^]=-sin[2(x0-^)]=

18.(1)证明：取CBi中点E,连接NE,ME,

由N是/Ci的中点，得NE//CC1，且NE=1ccv

由M是DD1的中点，得DiM且DiM〃CCi，

贝孙M〃NE,DrM=NE,

所以四边形DiMEN是平行四边形，

所以小N〃ME,

又MEu平面CBiM,DiNC平面CBiM,

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故。1N〃平面CBiM.

(2)解：以a为原点建立如图所示空间直角坐标系,

有2(0,0,0),5(2,0,0),Bi(2,0,2),M(0,1,1),C(l,l,0),Q(l,l,2),

则函=(1,-1,2),CM=(-1,0,1),西=(0,0,2),

设平面CBiM的法向量为访=(久i，yi，zD，

m-CBi=x—y+2z=0

111则m=(1,3,1),

m-CM=—%1+Zi=0

设平面B&CC］的法向量为元=(%2〃2/2)，

(夕CB\=x2—y2+2Z2=0

(n-BB]=2Z2=0则道=(1,1,0),

—m-n_______________2A/22

所以cos<m,n>=———

|m|•\n\JI+9+1x7m—

故平面C&M与平面B&CCi的夹角的余弦值为

(3)解:因为西=(0,0,2),平面CBiM的法向量为方=(1,3,1),

所以点B到平面CBiM的距离为d=田:右加="+j+1=喑.

19.(1)解：由等比数列｛斯｝的各项均为正数，设公比为式q>0),

2a5，。4，4a6成等差数列，且满足@4=4谖，

，｛晶藁5+3即｛需：需承/解得由斗弓,

.9国•&-1=(如，

设等差数列｛琥｝的公差为优

2b

bb

2+4--4b

6,S410+6d-10,解得必=d=1,

则垢=1+(n-1)x1=n,即数列｛g｝的通项公式为bn=n；

(2)证明：由(1)知an=&n,bn=n,

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an2

得%=b2n+ib2n+3=(2n+l)(2n+3)'(万)九二1(2九+1)•2"一(2九+3)•2九+/，

则T九=2[(3.2-5.4)+(5.4-7.8)+(7.8-9•16)((2九+1)•2九一(2九+3)•2九+1)〕

—2.ri—.....------1—1_---------

一乙L6(2九+3)•2九+1」-3(2n+3)-2n，

.1八.1__1.1.1

，(2九+3)2••§一(2九+3)•2九<§'暇/九'§；

由，作M为奇数)『，(几夺奇数)

(3)解：由cn=5n.bn(n为偶数)=[n.(1)",(n为偶数)，

则数列｛%｝的前2n项和Mn=(1+3+…+2n-l)+(24+4•2+…+2n・否,

4-1O乙

由等差数列的前几项和可得：1+3+...+(2n-l)=(1+2厂1加=

令%=2[+4.2+…+2n.击，①

得如n=2祗+4.专+…+2n-^77，②

2714

①一②得：/=2+(+...+会?-2n._L_=lL£2_2n.-A—=|-+•

4

.[/_86n+81_86n+8

vn9—9•4九—9-9.4九,

故数列｛4｝的前2n项和Mn=於+

20懈：(1)函数/Q)=x—In比—2,求导得(。)=1—则〃(1)=。，而/(1)=—1,

所以曲线y=/(>)在点(1/(1))处的切线方程是y=—1.

1

(2)函数f(x)=x-lnx-2的定义域是(0,+oo),f(x)=1--,

当久6(0,1)时，广(久)<0,函数f(x)单调递减，当xe(l,+8)时，尸(吗>