人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册教学设计2：3 3 2 第1课时 抛物线的简单几何性质教案

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课程基本信息课题3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质教学目标教学目标：借助抛物线的图形和标准方程理解抛物线范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.教学重点：抛物线的简单几何性质.教学难点：应用坐标法解决一些与抛物线有关的问题.教学过程时间教学环节主要师生活动1分钟引入问题1：在椭圆、双曲线里我们研究了它们的哪些几何性质？用什么方法研究的？追问：你认为我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？范围，对称性，顶点，离心率；类比椭圆、双曲线研究几何性质的方法，依然用先直观猜想，再方程验证的研究方法.6分钟新课问题2：以开口向右的抛物线y2=2px（1）范围：追问1：观察直角坐标系中的抛物线，它的范围是什么？你能用它的方程给出证明吗？抛物线开口向右，除原点以外，曲线上其他的点都在y轴右侧，向右上方和右下无限延伸.从方程y2=2pxp>0可知，因为p>0，等号左边是完全平方，所以对于抛物线上的点Mx，y，都有，（2）对称性：追问2：观察方程y2由图象可知，方程y2=2pxp>0的曲线关于x轴对称，没有对称中心.以-y代替y，我们发现方程y2（3）顶点：追问3：椭圆、双曲线的顶点如何定义的？曲线与对称轴的交点叫做曲线的顶点，所以椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点.追问4：抛物线有几个顶点？能证明吗？抛物线与对称轴交于原点，从方程来看，当x=0时，y=0，因此，抛物线只有一个顶点，就是原点0,0.（4）离心率：它的定义是：抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫做抛物线的离心率，用e表示.由抛物线的定义可知，e=1.另几种开口方向的抛物线的性质，请同学们用同样的方法探究一下.13分钟知识应用问题3：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M2，追问1：根据给定的条件，怎么求抛物线的标准方程？根据待定系数法，设抛物线的方程，代入经过的点M的坐标就可以确定系数p的值.追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？由于抛物线关于x轴对称，顶点在原点，经过的M点在第四象限，所以可以判定抛物线开口向右，焦点在x轴的正半轴上，所以设它的标准方程为y2因为点M在抛物线上，所以代入坐标，得-2解得p=2.因此，所求抛物线的标准方程是y2追问3：如果把条件“关于x轴对称”改为“对称轴是坐标轴”，那么结果有变化吗？点M在第四象限，那么抛物线除了关于x轴对称，还可以关于y轴对称，即开口向下.此时，设标准方程为x2=2pyp>0，同样采用待定系数法，代入点M的坐标，得22=2p×-22p>0，解得.因此，所求抛物线的标准方程是x2=-2y.因此，如果条件“关于小结：选择抛物线的标准方程是解题的关键点，所以在设方程之前，先确定抛物线的开口方向，而后，抛物线方程中只有一个待定系数p，所以只要一个条件就可以带入求值了.问题4：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，追问1：在前面椭圆、双曲线的学习中，我们也遇到过类似的直线与椭圆、双曲线相交的问题，回忆一下是如何解决的，对于这道题，你有什么解答思路？解法一：可求得，直线l的方程为y=x-1.联立直线的方程与抛物线的方程，y=x整理得x2用求根公式解得或即A3+22由两点间距离公式，得=即线段AB的长为8.小结：这种方法与之前直线与椭圆、双曲线相交问题上所使用的方法是统一的，说明它具有一般性，为我们解决直线与圆锥曲线问题提供了基本的解题思路.但是在计算时有些麻烦.追问2：能否不求出A，B两点的坐标而求出|AB在两点间距离公式AB=x2-x12解法二：设Ax1，y1，Bx2，y2，将直线l的方程x因为y1=x所以，AB=小结：相较第一种解法，应用一元二次方程根与系数关系，计算过程简化很多，所以在解决数学问题时，希望同学们多注意观察和思考，用最简便的方法解决问题.追问3：根据题目条件作图观察，应用数形结合的思想，再回忆一下抛物线的定义，有没有给你一些启发？解法三：直线l过抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离相等，所以AF=AA'，AB=因为轴，所以.同理.于是得，AB由题意知，p=2，再由解法二，联立直线l的方程与抛物线方程，代入化简得x2-6x+1=0.根据根与系数关系，得所以，AB=所以，线段AB的长是8.追问4：如果直线l不经过焦点F，那么AB还等于由图观察，显然所以，如果直线l不经过焦点F，那么AB不等于x1+x2+p.小结：比较三种解题方法，可以发现这三种方法各有特点．解法一最直接，具有一般性，但是计算量大．解法二运用一元二次方程根与系数的关系，简化运算，但是需要掌握变形技巧．解法三充分运用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离，使运算大大简化，但要注意，直线必须过焦点.这种方法把抛物线的标准方程和其几何特征紧密地结合起来，体现了用坐标法解决问题的基本思想方