2024-2025学年山西省大同某中学九年级（上）第一次月考数学试卷

2024-2025学年山西省大同一中南校九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（每题3分共30分.在每个小题的四个选项中，只有一个最符合题意，请将正确的答案选项

填入答题卡相应的位置.）

1.（3分）方程（x-3）（2x-4）=0的根是（）

A.xi=-3,X2=2B.xi=3,X2=2

C.xi=3,X2~~~2D.xi=-3,X2=2

2.（3分）抛物线y=（x-3）2+5的开口方向、顶点坐标分别是（）

A.开口向上；（-3,5）B.开口向下；（-3,-5）

C.开口向上；（3,5）D.开口向下；（3,-5）

3.（3分）解方程2x（5x-I）-3（5x-1）=0最适当的方法是（）

A.直接开平方法B.配方法

C.公式法D.因式分解法

4.（3分）抛物线y=-X2+4X+3的对称轴是（）

A.x=2B.x~~~2C.x=4D.x=-4

5.（3分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某

校积极开展全民阅读活动，在各班建立图书角.据统计，九（10）班第一周参与阅读128人次，到第三

周累计参与阅读608人次.若阅读人次的周平均增长率为x,则可得方程（）

A.128（1+x）=608

B.128（1+x）2=608

C.128（1+x）+128（1+x）2=608

D.128+128（1+x）+128（1+x）2=608

6.（3分）关于x的一元二次方程，+2分+02-i=o的根的情况是（）

A.没有实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.实数根的个数与实数。的取值有关

7.（3分）如表给出了二次函数y=ax2+6x+c（cWO）的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程a^+bx+c

=0的一个根的近似值可能是（）

X…11.11.21.31.4・・・

第1页（共19页）

y.・・10.49-0.04-0.59-1.16•••

A.1.09B.1.19C.1.29D.1.39

8.（3分）若点/（-4,yi）,5（-1,二），C（1,井）在抛物线^=-A（x+2）2-1上，则（）

2

A.yi<y3<y2B.y2<yi<y3C.ys<y2<yiD.y3<yi<y2

9.（3分）二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数y的对应值如表：

・・・・・

X.-5-4-3-2-10

y•••40-2-204•••

下列说法正确的是（）

A.抛物线的开口向下

B.二次函数的最小值是-2

C.当x>-3时，了随x的增大而增大

D.抛物线的对称轴是直线x=

2

10.（3分）如图，抛物线h：y=ax2+bx+c（aWO）与x轴只有一个公共点/（1,0）,与夕轴交于点8（0,

2）,若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线心，则图中两个阴影部分的面积和为（）

二、填空题（本大题共5小题，每题3分共15分）

II.（3分）方程3（x+2）=x（x+2）的解为.

12.（3分）二次函数-2x-3的顶点坐标是,与y轴的交点坐标是.

13.（3分）汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）关于行驶的时间x（单位：s）的函数解析式是：s=15x

-6/,汽车刹车后前进了米才能停下来.

14.（3分）三角形的两边长分别是3和4,第三边长是方程x2-13x+40=0的根，则该三角形的周长

为.

第2页（共19页）

15.(3分)如图，抛物线y=-^x2号X+2与X轴交于/、3两点,尸为抛物线对称轴上动点，则E4+PC

三、解答题(本大题共8小题，共75分)

16.解下列方程：

(1)2f+4x-8=0；

(2)X2-4V2X+6=-2;

(3)2/+5x-3=0.

17.已知关于x的一元二次方程/+2加什"--4=0.

(1)求证：无论加为何值，该方程总有两个不相等的实数根.

(2)若该方程的两个根为p和q,且满足凶-〃-q=0,求〃?的值.

18.如图，直线力=-x-2交x轴于点/,交＞轴于点2,抛物线》=a/+6x+c顶点为/,且经过点反

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求当时，x的取值范围.

19.平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，进价为每顶40元，售价为每顶68元，每顶

售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周的销售量为y顶.

(1)每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元(用含x的代数式表示)；

(2)平均每周的销售量y(顶)与降价x(元)之间的函数关系式是；

(3)若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？

第3页(共19页)

20.如图，利用一面墙（墙的长度不超过45加），用79加长的篱笆围成一个矩形场地（用其他材料）.设

AB=xm,矩形N5CZ）的面积为y

（1）请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?

（3）当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？

下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务:用函数观点认识一元二次方程根的情况,

我们知道2+6X+C=0（a=0）的根就是相应的二次函数yuad+bx+c（aWO）的图象与x轴交点的横坐

标.抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点.与此相对应，一元二次方程

的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根.因此可用抛物线与x轴

的交点个数确定一元二次方程根的情况.

下面根据抛物线的顶点坐标（上，超土）和一元二次方程根的判别式A=户-4四分别分。>0

2a4a

和两种情况进行分析：

（z）a>0时，抛物线开口向上：

①当△=庐_4ac>0时，<4ac-b2<0.

"：a>0,

...顶点纵坐标数也

4a

・・・顶点在X轴的下方，犹物线与X轴有两个交点（如图①）.

，一元二次方程办2+6%+。=0（QWO）有两个不相等的实数根.

②当A=b2-4。。=0时，有4ac-b2=0.

...顶点纵坐标丘£=0.

4a

顶点在X轴上，抛物线与X轴有一个交点（如图②）.

，一元二次方程办2+6%+。=0（QWO）有两个相等的实数根.

③当A=b2-4ac<0时，…

第4页（共19页）

(z7)a<0时，抛物线开口向下：…

任务：

(1)请参照小论文中当。>0时①②的分析过程，写出(万)中当一元二次方程根的情况的分

析过程，并画出相应的示意图；

(2)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，请你再举出一

例•

22.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12n7,抛物线可以用y=-12+6x+c表示,

6

且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为工L

2

(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶。到地面的距离；

(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6小，宽为4m，如果隧道内设双向行车道

(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8〃?

23.如图，已知二次函数yuad+fcr+S的图象交x轴于点/(1,0),B(3,0),交y轴于点C.

(1)求这个二次函数的解析式：

(2)点尸是直线3c下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值，并求出此时点尸的坐标.

第5页(共19页)

第6页（共19页）

2024-2025学年山西省大同一中南校九年级（上）第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分共30分.在每个小题的四个选项中，只有一个最符合题意，请将正确的答案选项

填入答题卡相应的位置.）

1.（3分）方程（%-3）（2x-4）=0的根是（）

A.xi--3,X2~~一2B.=3,%2=2

C.xi—3fX2~~一2D.xi-—3,12=2

【解答】解：（X-3）（2x-8）=0,

x-3=6或2x-4=6,

xi=3,xj=2,

故选：B.

2.（3分）抛物线》=（x-3）2+5的开口方向、顶点坐标分别是（）

A.开口向上；（-3,5）B.开口向下；（-3,-5）

C.开口向上；（3,5）D.开口向下；（3,-5）

【解答】解：抛物线y=（x-3）2+4的开口向上，顶点坐标是（3.

故选：C.

3.（3分）解方程2x（5x7）-3（5x7）=0最适当的方法是（）

A.直接开平方法B.配方法

C.公式法D.因式分解法

【解答】解：方程可化为（5x7）（8x-3）=0,

因此因式分解法最为合适.

故选：D.

4.（3分）抛物线y=-，+4x+3的对称轴是（）

A.x=2B.-2C.x=4D.x—~4

【解答】解：根据题意可得抛物线夕=-X2+4X+6中的。=-1,6=4,

•b4

3a2X（-6）”

，抛物线了=-f+4x+3的对称轴是直线x=2,

故选：A.

5.（3分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某

第7页（共19页）

校积极开展全民阅读活动，在各班建立图书角.据统计，九(10)班第一周参与阅读128人次，到第三

周累计参与阅读608人次.若阅读人次的周平均增长率为x,则可得方程()

A.128(1+x)=608

B.128(1+x)2=608

C.128(1+x)+128(1+x)2=608

D.128+128(1+x)+128(1+x)2=608

【解答】解：根据题意得：128+128(1+x)+128(1+x)3=608.

故选：D.

6.(3分)关于x的一元二次方程一+2办+02-1=0的根的情况是()

A.没有实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根

D.实数根的个数与实数。的取值有关

【解答】解：：A=(2a)2-6X1X(a2-3)

=4/-2a2+4

=2>0.

关于x的一元二次方程/+8ax+02-1=5有两个不相等的实数根.

故选：C.

7.(3分)如表给出了二次函数y=a/+bx+c(cW0)的自变量x与函数值j的部分对应值，那么方程ax2+bx+c

=0的一个根的近似值可能是()

X•••ii.i1.21.31.4•••

y.・・i0.49-0.04-0.59-1.16•••

A.1.09B.1.19C.1.29D.1.39

【解答】解:Vx=l.ly=ax6+bx+c=0.49；x=1.72+bx+c=-0.04；

抛物线y=ax5+bx+c与x轴的一个交点在(1.1,5)和点(1.2,

，方程axs+bx+c=0有一个根在1.3-1.2之间.

故选：B.

8.(3分)若点4(-4,yi),B(-1,/)，C(1,y3)在抛物线>=-A(x+2)2-1上，则()

2

A.yi<y3<y2B.y2<yi<y3C.y3<y2<yiD.y3<yi<y2

第8页(共19页)

【解答】解：j；i=-1(-4+2)2-1=-3,

7

歹8=-—(-4+2)2-7=-—,

22

y6=~—(3+2)2-7=-AL,

22

则y3<y6<y2^

故选：D.

9.（3分）二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数/的对应值如表:

X.・・-5-4-3-2-10・・・

.・・.・・

y40-2-204

下列说法正确的是（）

A.抛物线的开口向下

B.二次函数的最小值是-2

C.当x>-3时，y随x的增大而增大

D.抛物线的对称轴是直线x=-9

2

【解答】解：

*.*当x=-4或x=-1时，y=8,y=4,

"16a-4b+c=2fa=7

:b+c=O，解得<b=5,

,c=4c=4

.*.y=x6+5x+4=（x+2）2--,

24

抛物线开口向上，对称轴为直线X=-反9,当X>-当时，

242

故选：D.

10.（3分）如图，抛物线z：y=a/+bx+c（°#0）与x轴只有一个公共点/（1,0）,与了轴交于点2（0,

2）,若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线七，则图中两个阴影部分的面积和为（）

第9页（共19页）

【解答】解：如图所示,

过抛物线上2的顶点。作CQ〃x轴，与歹轴交于点C,

则四边形OCD4是矩形，

.・,抛物线£1：y=ax5+bx+c(qWO)与％轴只有一个公共点4(1,6),2),

：・OB=2,04=2,

将抛物线Lx向下平移两个单位长度得抛物线上，则AD=OC=6,

根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCD4的面积,

S阴影部分=S矩形OCDA~OA*AD—1X2=2.

故选：B.

二、填空题(本大题共5小题，每题3分共15分)

11.(3分)方程3(x+2)=x(x+2)的解为.=-2,刀=3.

【解答】解：原方程可化为：x(x+2)-3(x+2)=0；

•*.(x+2)(x-8)=0；

.*.x+2=3或x-3=0；

解得:X4=-2,X2=2.

第10页(共T9页)

故答案为：xi--2,X2—3.

12.（3分）二次函数夕=x2-2x-3的顶点坐标是（1,-4）,与夕轴的交点坐标是（0,-3）.

【解答】解：由题意，把y=--2x-4进行配方得到抛物线的顶点式了=（x-1）2-6,

顶点坐标为（1,-4）.

令x=8,

；.尸-3.

，与y轴的交点坐标是（0,-7）.

故答案为：（1,-4）,-5）.

13.（3分）汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）关于行驶的时间x（单位：s）的函数解析式是：6=15X

-6x2,汽车刹车后前进了一正—米才能停下来.

8

【解答】I?：V6<0,

...函数有最大值.

6

••.S的最大值=2.-斐=正,即汽车刹车后前进了店.

4X（-6）28

故答案为：Z5.

8

14.（3分）三角形的两边长分别是3和4,第三边长是方程x2-13X+40=0的根，则该三角形的周长为

12.

【解答】解：x2-13x+40=0,

（x-2）（x-5）=0,

x-2=0或％-5=2,

所以xi=8,X8=5,

当第三边的长为8时，7+4<8；

当第三边的长为5时，3+4>5；

所以三角形的周长为3+4+8=12.

故答案为：12.

15.（3分）如图，抛物线y=-lx24^x+*x轴交于48两点，P为抛物线对称轴上动点，则为+PC

取最小值时_1旦一%_.

—2~7—

第11页（共19页）

【解答】解：连接3C,交抛物线的对称轴于一点，该点即为所求的点尸,

•••抛抛物线y=-1x6号X+卢7轴交于点C，

...点C的坐标为（5,2）,

令y=0,贝!]--^X2+^JC+2—0,

,78

'：A（-且0）A,0）,

22

设直线BC的函数表达式为夕=依+6,

把8(A,0)和C(4,

2

，7

得:5k+b=3,

,b=2

fk=_A

解得：/3，

,b=2

...直线3C的函数表达式为夕=-刍+2.

6

24

:抛物线的对称轴为直线X=-----=1,

5X(争2

.,.当x=3时，y=-Ax_2_2_,

4727

...点p的坐标为(3,$),

27

第12页（共19页）

即当E4+PC的值最小时，点尸的坐标为(3,旦)，

67

故答案为：(2,1).

28

三、解答题(本大题共8小题，共75分)

16.解下列方程：

(1)27+4%-8=0；

(2)X2-4V2X+6=-2;

(3)2/+5X-3=0.

【解答】解：(1)2f+7x-8=0,

A=22-4X8X(-8)=80>0,

方程有两个不相等的实数根，

..-2±/泥,

x2X2JVQ

;

Xj=-V4-Vx2=V7-1

(2)X2-4V2X+6=-5,

xJ-4V4x+8=0,

(X-8A/2)2=6>

XJ=X2=SV2;

(3)2x8+5x-3=8,

(2x-1)(x+8)=0,

2x-6=0或x+3=5,

.—Q1

•・X1-3,Y——

2

17.已知关于x的一元二次方程;？+2始:+混-4=0.

(1)求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.

(2)若该方程的两个根为p和g,且满足0q-p-g=O,求加的值.

【解答】(1)证明：VA=b2-4ac=2m2-4(w2-4)=16>0,

...无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.

(2)解：由根与系数的关系，得0+“=-5混-4.

第13页(共19页)

■:pq-p-g=8,

m2-4+6冽=0,

即m2+7m-4=0,

解得m5=V5-1,m6=-V5-1,

18.如图，直线yi=-x-2交x轴于点/,交y轴于点5,抛物线歹2=〃f+bx+c顶点为4,且经过点反

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求当/三州时，x的取值范围.

令％=0,贝＞Jy=-6,

：.A(-2,0),-6),

;抛物线y2=aj^+bx+c顶点为4,

・・夕8=。(]+2)2,

-5=a(0+2)2,

2

该抛物线的解析式：”=-.1(x+8)2=-_2x-7

27

(2)当时，xW-5或尤20.

19.平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，进价为每顶40元，售价为每顶68元，每顶

售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周的销售量为y顶.

(1)每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是(28-x)元(用含x的代数式表示)；

(2)平均每周的销售量y(顶)与降价x(元)之间的函数关系式是”=100+20x；

(3)若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？

【解答】解：(1),•进价为每顶40元，原售价为每顶68元，

每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是(28-x)元；

第14页(共19页)

故答案为：(28-x)；

(2)根据题意得：y=100+40Xy=100+20x,

故答案为：y—100+20%；

(3)根据题意得:(28-x)(100+20x)=4000,

解得：xi=8,X2=2O,

当x=3时，68-x=68-7=65>58,舍去；

当x=20时，68-x=68-20=48<58.

答：每顶头盔应降价20元.

20.如图，利用一面墙(墙的长度不超过45机)，用79机长的篱笆围成一个矩形场地(用其他材料).设

AB^xm,矩形48CD的面积为了加2.

(1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

(2)怎样围才能使矩形场地的面积为750加2?

(3)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？

【解答】解：(1)由题意得，AD=BC—^-^-x}m,

22

贝ljy=x(40-L)=--Xr5+40x(0<xW45),

’62

即>=-Xr2+40x(0<XW45)；

2

(2)令>=-2?+40X=75(),

2

解得：x=50(舍去)或30,

即当48=30加时，矩形场地的面积为750冽6；

(3)'.)=-XC3+40X=-A(x-40)7+800W800,

22

...当x=40米时，矩形场地的面积最大.

21.阅读与思考

下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务:用函数观点认识一元二次方程根的情况,

我们知道2+6X+C=0(aWO)的根就是相应的二次函数yuad+foc+c(aWO)的图象与x轴交点的横坐

第15页(共19页)

标.抛物线与X轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点.与此相对应，一元二次方程

的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根.因此可用抛物线与X轴

的交点个数确定一元二次方程根的情况.

2

下面根据抛物线的顶点坐标（上，超土）和一元二次方程根的判别式4=庐-4就分别分

2a4a

和两种情况进行分析：

（z）a>0时，抛物线开口向上：

①当A=62-4ac>0时，有4ac-62Vo.

...顶点纵坐标史也

4a

・・・顶点在X轴的下方，犹物线与X轴有两个交点（如图①）.

，一元二次方程中2+6%+。=0（QWO）有两个不相等的实数根.

②当△=b2-4。。=0时，有4ac-b2=0.

...顶点纵坐标四£=0.

4a

，顶点在X轴上，抛物线与X轴有一个交点（如图②）.

...一元二次方程。f+6x+c=0（aWO）有两个相等的实数根.

③当△=庐-4ac<0时，-

（z'z）a<0时，抛物线开口向下：…

任务：

（1）请参照小论文中当。>0时①②的分析过程，写出5）中当。<0,一元二次方程根的情况的分

析过程，并画出相应的示意图；

（2）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，请你再举出一例

可用函数观点认识二元一次方程组的解.

【解答】解：（1）时，抛物线开口向下,

第16页（共19页）

当A=b2-5ac>0时，有4ac-b3Vo.

V6Z<0,

2

顶点纵坐标近上〉6，

4a

，顶点在X轴的上方，抛物线与X轴有两个交点，

，一元二次方程ax2+6x+c=0(aW7)有两个不相等的实数根.

(2)可用函数观点认识二元一次方程组的解，即两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程

组的解(答案不唯一).

22.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12根，抛物线可以用y=-L2+&+C表示,

6

且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为