人教版四年级下册数学思维训练讲义-第十五讲三角形（2）（含答案）

第十五讲三角形（2）第一部分：趣味数学最大的面积一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，假设篱笆有无限长，认为围起半个地球总够大了。数学家好好嘲笑了他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在外面。”第二部分：奥数小练【例题1】：根据下列描述，判断甲、乙、丙、丁四个三角形的种类。（1）甲三角形中有一个角是98°；（2）乙三角形有一个直角；（3）丙三角形没有直角与钝角；（4）丁三角形有两个锐角。【思路导航】从条件（1）分析得知：甲三角形是钝角三角形，因为98°是一个钝角，所以它是钝角三角形。从条件（2）分析得知：乙三角形是直角三角形。从条件（3）得知：丙三角形是锐角三角形，因为丙三角形没有直角与钝角，说明三个角都是锐角，所以它是锐角三角形。从条件（4）得知：无法确定是何种三角形，三种情况都有可能，因为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中都有两个锐角。（1）钝角三角形；（2）直角三角形；（3）锐角三角形；（4）无法确定。练习1:1.在7个三角形的所有内角中，有2个直角，3个钝角，那么这些三角形中有多少个锐角三角形？2.根据下列描述，判断甲、乙、丙分别是何种三角形。（按角分类）甲三角形中最大角是89°；乙三角形中每个角的大小都相等；丙三角形中没有钝角。3.数一数下图中直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的个数。【例题2】：在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=75°，三角形ABC是哪种三角形？【思路导航】根据三角形内角和是180°，可以先算∠C的度数，∠C=180°-60°-75°=45°，三角形ABC的三个角都是锐角，所以它是锐角三角形。练习2：1.在三角形ABC中，∠A+∠B=∠C,三角形ABC是哪种三角形？2.等腰三角形的顶角与一个底角的和是125°，顶角是多少度？3.等腰三角形的一个内角是50°，另外两个内角是多少度？【例题3】如果一个三角形中最小的一个角大于45°，那么这个三角形是（）三角形。【思路导航】根据三角形内角和是180°，如果一个三角形最小的一个内角大于45°那么另两个内角其中一个较小的内角也大于45°，所以第三个内角一定小于90°，由此可知，这个三角形的另外两个角一定是锐角。这个三角形是（锐角）三角形。练习3：1.选择：（1）同学们研究三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（）。A.B.C.（2）一个三角形越大，它的内角和（）。A．越小B．越大C.不变（3）三角形中最大的一个内角一定不小于（）。A．60°B．90°C．120°2.我能算出度数。（第三三角形是等腰三角形。）3.在直角三角形中最大角是最小角的5倍，求最小角的度数。【例题4】在直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B-∠C=20°，求∠B、∠C的度数。【思路导航】∠A+∠B+∠C=180°，已知∠A=90°，那么∠B+∠C=90°，因为∠B-∠C=20°，可用和差问题的解法求出∠B、∠C的度数，∠B=（90+20）÷2=55（度），∠C=90-55=35（度）。∠B=55°、∠C=35°练习4：1.如图，在长方形中，∠1的度数是多少度？2.在三角形ABC中，∠A-∠B=10°，∠B-∠C=10°，求∠A、∠B、∠C的度数。3.在三角形ABC中，∠A是∠B的3倍，∠C是∠B的2倍，三角形ABC是哪种三角形？【例题5】四边形、五边形的内角和分别是多少度？你有什么发现？【思路导航】三角形的内角和是180度，求四边形、五边形的内角和，可以通过一点引出所有的对角线，将四边形分成2个三角形，五边形分成3个三角形，如下图。所以四边形的内角和是180×2=360°，五边形的内角和是180×3=540°。四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°。n边形的内角和=180°×（n-2）练习5：1.一个多边形的边数增加一条，内角和增加多少度？2.一个正五边形，每个角都相等，每个角是多少度？3.一个九边形的内角和是多少度？第三部分：数学史话埃舍尔的镶嵌图形埃舍尔的镶嵌图形埃舍尔，全名毛里茨·科内流斯·埃舍尔，一名对现代艺术影响深远，却被史学家遗忘的、世界艺术史上“绝无仅有”的艺术家。和其他依靠感性进行创作的艺术家不同，埃舍尔的作品是经过复杂的理性思维的产物。他从事物的精确、规则、秩序等特性中发现了美，创造了美。关于平面规则分割(平面镶嵌图形)，埃舍尔写到：在数学领域，平面规则分割已经从理论上获得了充分的研究……数学家打开了一扇通向无限可能性的大门，但是他们自身并没有进入其中看看。他们特殊的禀赋使他们对如何打开这扇门的方式更感兴趣，而对隐藏在其后的花园不感兴趣。埃舍尔正是从一个艺术家的角度，利用数学家的发现，发掘了美，创造了美。他的平面规则分割作品令许多数学家吃惊，他在已知的17种抽象平面分割群组形式上创造了许多具象镶嵌图案。这种把抽象的几何形状赋予具象的形象其实是一种复杂的图形思维过程。要完成具象镶嵌图案的创作，对各个图形的思考必须要非常严谨，每个镶嵌图形既要考虑它的镶嵌可能性，又要赋予具体的形象，而且这种镶嵌是四面无限延伸的，这就必须要具备很强的图形(图像)联想能力。参考答案：练习1:1.2个锐角三角形2.甲是锐角三角形、乙是锐角三角形、丙是锐角三角形或直角三角形3.2个直角三角形、1个锐角三角形、没有钝角三角形练习2：1.直角三角形2.180-125=55（度）125-55=70（度）3.（180-50）÷2=65（度）180-50×2=80（度）65度、65度或50度、80度练习3：1.CCA2.（1）180°-55°-50°=75°

（2）180°-90°-30°=60°

（3）（180°-100°）÷2

=80°÷2

=40°3.90÷5=18（度）练习4：1.长方形被分成两个直角三角形，50°角所在的三角形中，另一个锐角度数=180°-90°-50°=40°，40°角和∠1刚好组成90°角，据此求出∠1度数．∠1=90°-（180°-90°-50°）

=90°-40°

=50°2.∠C=（180-10-10×2