人教版五年级下册数学思维训练讲义-第九讲最大最小问题（含答案）

第九讲最大最小问题第一部分：趣味数学在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。解答最大最小问题通常要用下面的方法：1，枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。第二部分：奥数小练例题1一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数）思维导航：除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91×6－65=481分。根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。所以，第三名至少得95分。练习一1.一个三位数除以43，商a余数是b（a、b都是整数），求a＋b的最大值。2.如下图，有两条垂直相交的线段AB、CD，交点为E。已知DE=2CE，BE=3AE。在AB和CD取3个点画三角形，问：怎样取三个点，画出的三角形面积最大？3.一次考试满分100分，5位同学平均分是90分，且各人得分是不相同的整数。已知得分最少的人得了75分，那么，第三名同学至少得了多少分？例题2：有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？思路导航：3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知：最重的一堆是14＋0.5=14.5千克，即由6千克和8。5千克组成，另外两堆分别是14千克。练习二1.一把钥匙只能开一把锁。现有9把钥匙和9把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。最多要试开多少次才能配好全部钥匙和锁？2.如果四个人的平均年龄是25岁，其中没有小于17岁的，且四人年龄都不相同。那么年龄最大的最多是几岁？3.五位同学捐款，他们捐的钱有3张1元的，4张2元的，3张5元的和3张10元的。这五位同学捐款数各不相同，问：捐款最多的同学至少捐了多少元？例题3：如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？思路导航：在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去78，因此，这样的数对共有78+1＝79个。练习三1.两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是多少？2.如果两个三位数的和是525，就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？3.如果两个四位数的差是3456，就说这两个数组成一个数对。那么，这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？例题4：一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一种庄稼需要先收割好、捆好，然后往回运输。现由两个小组分别承包这两项工作，工时如下表（一种庄稼不割好、捆好，不准运输），这两组从开工到完工最少经过多少小时？思路导航：先把各类庄稼从开工到完工所用的时间分别算出来：大豆7+5=12小时，谷子3+6=9小时，高梁5+1=6小时，小米5+9=14小时。平均每个小组用（12+9+6+14）÷2=20.5小时，但实际做不到。因此，根据各类庄稼所需时间相加，使其最接近20.5小时。12+9=21小时是最少经过的时间。练习四1.三个老师为7位不同的扮演者化妆，这7位同学化妆需要的时间分别为8、12、14、17、18、23、30分钟。如果三位老师化妆速度相同，问最少经过多少时间完成化妆任务？2.甲、乙、丙三位同学为7棵树苗浇水，由于各棵树路程的远近关系，需浇水的时间分别为：4、5、6、6、8、9、9分钟。现三人各自同时开始，至少几分钟全部浇完？3.有五人来理发，按发型所用时间是10、12、15、22和24分钟。由两位师傅同时为这五人理发，问怎样安排，使五人理发和等候的时间总和最少，最少是多少分钟？例题5：A、B、C是三个风景点，从A出发经过B到达C要走18千米，从A经过C到B要走16千米，从B经过A到C要走24千米。相距最近的是哪两个风景点？它们之间相距多少千米？思路导航：根据题意可知，AB+BC=18千米，AC+BC=16千米，AB+AC=24千米，用（18+16+24）÷2就能算出AB+BC+AC=29千米。因此，AC=29-18=11千米，AB=29-16=13千米，BC=29-24=5千米。B、C两个风景点的距离最近，只相距5千米。练习五1.人民路两侧有三家大商店，从甲店经过乙店到丙店要走300米，从乙店经过丙店到甲店要走350米，从丙店经过甲店到乙店要走250米。哪两家店之间的距离最近？相距多少米？2.在期中测试中，小华语文和数学平均成绩是96分，数学和作文平均成绩是88分，语文和作文平均成绩是86分。求小华的这三门功课哪门得分最高，是多少分？3.十个参赛者的平均得分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。那么第5个和第6个人的平均分是多少分？第三部分：数学史话最大的数字是多少你知道最大的数字是多少吗？无穷大，这显然不是最终的答案。无穷大只是一个概念，数学中无穷大的定义表明，无论数有多大，都可以让它再加个1使它变得更大。通过不断地这样做，一个数总是可以一直永远或“无限”变大。原来，在正式数学证明中使用过的最大数是葛立恒数，它此前作为世界上最大的数被收入于吉尼斯世界纪录之中。它到底有多大呢？其无法用科学记数法表示，就连a^(b^(c^(…)))这样的指数塔形式也无济于事，甚至连数学家都难以理解它。葛立恒数是拉姆齐理论中一个极其异乎寻常问题的上限解，其问题表述为：连接n维超立方体的每对几何顶点，获得一个有着2^n个顶点的完全图（每对顶点之间都恰连有一条边的简单图）。将该图每条边的颜色填上红色或蓝色。那么，使所有填法在四个共面顶点上包含至少一个单色完全子图的最小n值为多少？虽然这个数太大了而无法完全计算出，但葛立恒数的最后几位数可以通过简单的算法导出。其最后12位数是262464195387。那么，葛立恒问题的答案是多少？根据一些数学家的看法，他们怀疑答案是“6”。参考答案练习一1.要余数和商大,原数要比较大，

试算999÷43=23……10，

余数最大是42，

因此A+B的最大值是A=22,B=42时,A+B=64，

此时原三位数是988。2.因DE=2CE，BE=3AE，

所以S△ADE=2S△ACE，

S△BCE=3S△ACE，

S△BDE=3S△ADE=6S△ACE，

所以△CDB的面积最大。

取C、D、B这3个点画出的三角形面积最大。

答：取C、D、B这3个点画出的三角形面积最大。3.90×5-100-99-75=176分176=87+89，所以第三名至少89分。练习二1.8+7+6+5+4+3+2+1=36（次）2.根据分析可得，要使其中一人的年龄最大，那么其他三个的年龄应最小，即是17、18、19，

25×4-17-18-19

=100-54

=46（岁）

答：最大的是46岁。3.3×1+2×4+5×3+3×10=56（元）56÷5=11……156=9+10+11+12+14最多的至少14元。练习三设这两个四位数为a,ba>b,则a-b=8921。

既然两个数都是4位数,且a-b=8921,那么a的千位和百位必为9,b的千位为1,百位为0。要使a,b的和最大,则a,b的十位和个位必为最大值,所以a的十位为和个位也为9,b的十位为7个位为8,

由此可知a为9999,b为1078,和为11077。100是最小的3位数,100+425=525

525÷2=262.5262+263=525

这样的数对有262-100+1=163对，两个数差最小是1，最大是325。3.1000<x+3456<100009999-3456=65439999+6543=165421000+4456=5456

所以有6543-1000+1(或9999-4456+1）=5544（个）

和最大16542，

最小5456。练习四1.7位同学依次化妆总共需要8+12+14+17+18+23+30=122分钟。现在3人同时工作，平均每人分担的是122/3,约为41分钟。3位老师为7人画，观察这些时间的特点，会知道其中两位老师画2人，其余一位画3人。时间最长者30只能和12分钟搭配最接近41，30+12=42分钟，，依次类推，23和17搭配刚好40分钟，剩下的8+14+18=40分钟。所以最少经过42分钟完成化妆任务。2.4+5+6+6+8+9+9）÷3=15分……2(分)甲、乙、丙分别：8+9，6+9，4+5+6，到少17分钟。3.一个10+12