2025届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第一节直线与直线的方程课时规范练理含解析新人教版

PAGE第一节直线与直线的方程[A组基础对点练]1．直线x＋eq\r(3)y＋1＝0的倾斜角是()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)解析：由直线的方程得直线的斜率为k＝－eq\f(\r(3),3)，设倾斜角为α，则tanα＝－eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，所以α＝eq\f(5π,6).答案：D2．设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为α，若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α＋45°，则()A．0°≤α≤180° B．0°≤α<135°C．0°≤α<180° D．0°<α<135°解析：因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0°<α<180°，,0°≤α＋45°<180°，))所以0°<α<135°.答案：D3．若A(－2，3)，B(3，－2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))三点在同一条直线上，则m的值为()A．－2 B．2C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)解析：因为A，B，C三点在同一条直线上，所以kAB＝kAC，所以eq\f(－2－3,3－（－2）)＝eq\f(m－3,\f(1,2)－（－2）)，解得m＝eq\f(1,2).答案：D4．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是()A．eq\r(3)x－y＋1＝0 B．eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0C．eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0 D．eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝0解析：因为直线的倾斜角为120°，所以斜率k＝－eq\r(3)，又由题意知直线过点(－1，0)，所以直线方程为y＝－eq\r(3)(x＋1)，即eq\r(3)x＋y＋eq\r(3)＝0.答案：D5．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a，b满意()A．a＋b＝1 B．a－b＝1C．a＋b＝0 D．a－b＝0解析：因为sinα＋cosα＝0，所以tanα＝－1.又因为α为倾斜角，所以斜率k＝－1.而直线ax＋by＋c＝0的斜率k＝－eq\f(a,b)，所以－eq\f(a,b)＝－1，即a－b＝0.答案：D6．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是()A．－1＜k＜eq\f(1,5) B．k＞1或k＜eq\f(1,2)C．k＞1或k＜eq\f(1,5) D．k＞eq\f(1,2)或k＜－1解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－eq\f(2,k)，则－3＜1－eq\f(2,k)＜3，解得k＞eq\f(1,2)或k＜－1.答案：D7．(2024·河北张家口模拟)若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的倾斜角的2倍，则()A．m＝－eq\r(3)，n＝1 B．m＝－eq\r(3)，n＝－3C．m＝eq\r(3)，n＝－3 D．m＝eq\r(3)，n＝1解析：对于直线mx＋ny＋3＝0，令x＝0得y＝－eq\f(3,n)，即－eq\f(3,n)＝－3，n＝1.因为eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的倾斜角为60°，直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角是直线eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的2倍，所以直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角为120°，即－eq\f(m,n)＝－eq\r(3)，m＝eq\r(3).答案：D8．过点(1，2)，倾斜角的正弦值是eq\f(\r(2),2)的直线方程是________．解析：由题意知，直线的倾斜角为eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)，所以斜率为1或－1，直线方程为y－2＝x－1或y－2＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.答案：x－y＋1＝0或x＋y－3＝09．经过点(－4，3)且在两坐标轴上的截距相等，且不过原点的直线方程为________________．解析：由题意可设方程为x＋y＝a(a≠0)，所以a＝－4＋3＝－1.所以直线方程为x＋y＋1＝0.答案：x＋y＋1＝010．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2，2].答案：[－2，2]11．在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．解析：(1)设C(x，y).因为AC的中点M在y轴上，所以eq\f(x＋5,2)＝0得x＝－5，又因为BC的中点N在x轴上，所以eq\f(y＋3,2)＝0得y＝－3.所以C(－5，－3).(2)由(1)知C(－5，－3)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2)))，N(1，0).由截距式得MN的方程为eq\f(x,1)＋eq\f(y,－\f(5,2))＝1，即5x－2y－5＝0.[B组素养提升练]1．(2024·陕西西安临潼区模拟)已知直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是()A．0 B．2C．eq\r(2) D．1解析：直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)在x轴，y轴上的截距分别为a和eq\f(1,a)，此直线在x轴，y轴上的截距和为a＋eq\f(1,a)≥2，当且仅当a＝1时，等号成立．故当直线x＋a2y－a＝0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1.答案：D2．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．解析：动直线x＋my＝0(m≠0)过定点A(0，0)，动直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3).由题意易得直线x＋my＝0与直线mx－y－m＋3＝0垂直，即PA⊥PB.所以|PA|·|PB|≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝eq\f(|AB|2,2)＝eq\f(12＋32,2)＝5，即|PA|·|PB|的最大值为5.答案：53．已知两点A(－1，2)，B(m，3).(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，求直线AB的倾斜角α的取值范围．解析：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝eq\f(1,m＋1)(x＋1)，即x－(m＋1)y＋2m当m＝－1时，代入x－(m＋1)y＋2m＋3＝0即x＝－1，所以直线AB的方程为x－(m＋1)y＋2m(2)①当m＝－1时，α＝eq\f(π,2)；②当m≠－1时，m＋1∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))∪(0，eq\r(3)]，所以k＝eq\f(1,m＋1)∈(－∞，－eq\r(3)]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，所以α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))).综合①②知，直线AB的倾斜角α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))).4．已知直线l过点M(1，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．解析：(1)设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0).设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.(2)设直线l的斜率为k，则k<0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k)，0))