浙教版七年级数学上册同步讲义：圆（学生版+解析）

第10课圆

0目标导航

学习目标

L理解圆的概念，用符号、字母正确表示弦和弧，了解点与圆的位置关系.

2.会在简单条件下判断点与圆的位置关系.

3.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形

的外接圆角形的外心等概念.

4.会过不在同一条直线上的三点作圆.

视刘识精讲

知识点01圆的有关概念

1.圆：在同一平面内，线段0P绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点p所经过的封闭曲线叫做圆.

2.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.

3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧:大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧.

4.同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等

5.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

知识点02点和圆的位置关系

设。。的半径为r,点尸到圆心的距离。尸=d,则有：

①点尸在圆外Od＞厂

②点尸在圆上O"=r

③点P在圆内OdO.

知识点03确定圆的条件

1.已知圆心和半径可以确定圆；

2.不在同一直线上的三点可以确定一个圆；

知识点03三角形的外接圆与外心

1.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆

的内接三角形.

2.外心是三角形三边的垂直平分线的交点.

3.锐角三角形。外心位于三角形内部，

直角三角形。外心位于边上（斜边中点），

钝角三角形0外心位于三角形外部.

能力拓展

考点01圆的有关概念

【典例1】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直

径是圆中最长的弦，其中正确的有（）

A.1B.2个C.3个D.4个

【即学即练1】A、B是半径为5c机的。。上两个不同的点，则弦43的取值范围是（）

A.AB>0B.0<AB<5C.0<AB<10D.0<AB^10

考点02点和圆的位置关系

【典例2】己知的半径为3,。4=5,则点A和的位置关系是（）

A.点A在圆上B.点A在圆外C.点A在圆内D.不确定

【即学即练2】在平面直角坐标系中，若OA的半径为5,A点的坐标是（4,0）,P点的坐标是（0,3）,

则点尸与OA的位置关系是（）

A.点尸在OA内B.点尸在OA外C.点P在OA上D.不能确定

考点03确定圆的条件

【典例3】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜

子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）

①

*«.___.♦

A.第一块B.第二块C.第三块D.第四块

【即学即练3】下列条件中不能确定一个圆的是（）

A.圆心与半径B.直径C.三角形的三个顶点D.平面上的三个已知点

考点04三角形的外接圆与外心

【典例4】如图，。。是△A8C的外接圆，则点。是△ABC的（）

A.三条高线的交点B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点D.三角形三内角角平分线的交点

【即学即练4】若一个三角形的外心在这个三角形的边上，那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

fii分层提分

题组A基础过关练

1.已知是半径为2的圆的一条弦，则的长不可能是（）

A.2B.3C.4D.5

2.如图所示，点M是。。上的任意一点，下列结论：

①以M为端点的弦只有一条；②以M为端点的直径只有一条；

③以M为端点的弧只有一条.则（）

A.①、②错误，③正确B.②、③错误，①正确

C.①、③错误，②正确D.①、②、③错误

3.下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等

弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.下列说法正确的是（）

A.弦是直径B.弧是半圆C.直径是圆中最长的弦D.半圆是圆中最长的弧

5.已知O。的半径是一元二次方程3尤-4=0的一个根，点A与圆心。的距离为6,则下列说法正确在

是（）

A.点A在。。外B.点A在O。上C.点A在。。内D.无法判断

6.已知。。的直径为6,点A到圆心。的距离为d,且点A在。。的外部，则（）

A.d\6B.心3C.d>6D.d>3

7.下列关于圆的说法，正确的是（）

A.弦是直径，直径也是弦B.半圆是圆中最长的弧

C.圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴D.过三点可以作一个圆

8.下列说法正确的是（）

A.一个三角形只有一个外接圆B.三点确定一个圆

C.长度相等的弧是等弧D.三角形的外心到三角形三条边的距离相等

9.两直角边分别为15和20的直角三角形的外接圆半径为（）

A.12.5B.25C.20D.10

10.三角形外心具有的性质是（）

A.到三个顶点距离相等B.到三边距离相等

C.外心必在三角形外D.到顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍

11.如图，CD是。。的直径，点A在。C的延长线上，ZA=20°,AE交。。于点8,且A8=OC.

（1）求/AOB的度数.

（2）求的度数.

瓦

12.如图，△ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,点。是4B的中点.

（1）若以点。为圆心,以R为半径作。。，且点A,B,C都在。。上，求R的值;

（2）若以点8为圆心，以r为半径作08,且点。，A,C中有两个点在08内，有一个点在OB外，求

厂的取值范围.

题组B能力提升练

13.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=4,BC=7,点D在边BC上,CD=3,以点。为圆心作O。,

其半径长为广，要使点A恰在。。外，点8在内，那么7■的取值范围是（）

A.4<r<5B.3<r<4C.3<r<5D.l<r<7

14.下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）

A.①②③④B.②③④C.②④D.③④

15.已知A为。。外一点，若点A到。。上的点的最短距离为2,最长距离为4,则的半径为一.

16.如图，有两条公路OM,ON相交成30°,沿公路0M方向离两条公路的交叉处。点80米的A处有一

所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖

拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影

题组C培优拔尖练

17.矩形ABC。中，AB=8,BC=3爬,点尸在边AB上，且2P=3AP,如果圆尸是以点尸为圆心，PD

为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A.点、B,C均在圆P外B.点8在圆P外，点C在圆尸内

C.点2在圆P内，点C在圆尸外D.点2,C均在圆P内

18.如图，△ABC的外接圆半径为5,其圆心。恰好在中线C。上，若AB=C。，则△ABC的面积为（）

A.36B.32C.24D.18

19.如图，△A8C中，AB^AC,8c=24,AO_L2C于点O,AD=5,尸是半径为3的OA上一动点，连结

PC,若E是PC的中点，连结。E,则OE长的最大值为（）

A.8B.8.5C.9D.9.5

20.如图，已知矩形ABCD的边A8=6,BC=8,现以点A为圆心作圆，如果B、C、。至少有一点在圆内,

且至少有一点在圆外，那么OA半径厂的取值范围是—.

21.已知：如图，圆。是△ABC的外接圆，AO平分NBAC.

（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）当OA=4,48=6,求边的长.

第10课圆

0目标导航

学习目标

1.理解圆的概念，用符号、字母正确表示弦和弧，了解点与圆的位置关系.

2.会在简单条件下判断点与圆的位置关系.

3.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方

法，了解三角形的外接圆角形的外心等概念.

4.会过不在同一条直线上的三点作圆.

视他识精讲

知识点01圆的有关概念

1.圆：在同一平面内，线段0P绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点P所经过的

封闭曲线叫做圆.

2.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.

3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧:大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧.

4.同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等

5.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

知识点02点和圆的位置关系

设。。的半径为厂，点尸到圆心的距离OP=d,则有：

①点尸在圆外Od>r

②点尸在圆上Od=r

③点尸在圆内

知识点03确定圆的条件

1.已知圆心和半径可以确定圆；

2.不在同一直线上的三点可以确定一个圆；

知识点03三角形的外接圆与外心

1.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心,

三角形叫做圆的内接三角形.

2.外心是三角形三边的垂直平分线的交点.

3.锐角三角形Q外心位于三角形内部，

直角三角形O外心位于边上（斜边中点），

钝角三角形O外心位于三角形外部.

能力拓展

考点01圆的有关概念

【典例1】下列说法：（I）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比

优弧短；（4）直径是圆中最长的弦，其中正确的有（）

A.1B.2个C.3个D.4个

【思路点拨】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定

正确的选项.

【解析】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故不符合题意；

（2）弦包括直径，故不符合题意；

（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故不符合题意；

（4）直径是圆中最长的弦，符合题意，

正确的只有1个，

故选：A.

【点睛】本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不

大.

【即学即练1】A、B是半径为5c根的。。上两个不同的点，则弦A3的取值范围是（）

A.AB>0B.0<AB<5C.0<AB<10D.0<AB^10

【思路点拨】根据直径是圆中最长的弦求解.

【解析】解：：圆中最长的弦为直径，

，0<A8W10.

故选：D.

【点睛】本题考查了圆的认识，了解圆中最长的弦是直径最关键.

考点02点和圆的位置关系

【典例2】己知。。的半径为3,0A=5,则点A和。。的位置关系是（）

A.点A在圆上B.点A在圆外C.点A在圆内D.不确定

【思路点拨】由。。的半径为3,。4=5知点到圆心的距离大于半径，从而得出答案.

【解析】解：：0。的半径为3,。4=5,

点到圆心的距离大于半径，

...点A在圆外，

故选：B.

【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为r,

点P到圆心的距离OP=d,则有①点P在圆外od>r；②点P在圆上od=r；③点P

在圆内=40.

【即学即练2】在平面直角坐标系中，若OA的半径为5,A点的坐标是（4,0）,P点的

坐标是（0,3）,则点尸与。4的位置关系是（）

A.点P在OA内B.点P在OA外C.点尸在OA上D.不能确定

【思路点拨】根据两点间的距离公式求出AP的长，再与5相比较即可.

【解析】解：•••点A的坐标为（4,0）,点P的坐标为（0,3）,

AP=y]（4-0）2+（0-3）2=5=半径，

点尸与0A的位置关系是：点P在OA上.

故选：C.

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关

键.

考点03确定圆的条件

【典例3】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大

小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）

***.__――

A.第一块B.第二块C.第三块D.第四块

【思路点拨】要确定圆的大小需知道其半径.根据垂径定理知第①块可确定半径的大小.

【解析】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂

直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长.

故选：A.

【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分

线的交点即为该圆的圆心.

【即学即练3】下列条件中不能确定一个圆的是（）

A.圆心与半径B.直径C.三角形的三个顶点D.平面上的三个已知点

【思路点拨】根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，直接进行判断即可.

【解析】解：A、已知圆心和半径能确定一个圆；

8、已知直径能确定一个圆；

C、已知三角形的三个顶点，可以确定一个圆；

。、平面上的三个已知点不能确定一个圆.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了确定圆的条件，属于基础题型.注意分类讨论的思想的运用.

考点04三角形的外接圆与外心

【典例4】如图，是△ABC的外接圆，则点。是△ABC的（）

A.三条高线的交点B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点D.三角形三内角角平分线的交点

【思路点拨】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形

的外心，进而得出答案.

【解析】解：是△ABC的外接圆，

...点。是AABC的三条边的垂直平分线的交点.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确把握外心的定义是解题关键.

【即学即练4】若一个三角形的外心在这个三角形的边上，那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【思路点拨】根据直径所对的圆周角是直角，则该三角形是直角三角形.

【解析】解：•••根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，

，该三角形是直角三角形.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了三角形的外心，注意：直角三角形的外心就是它的斜边的中点.

M分层提分

题组A基础过关练

1.已知A3是半径为2的圆的一条弦，则43的长不可能是（）

A.2B.3C.4D.5

【思路点拨】根据圆中最长的弦为直径求解.

【解析】解：因为圆中最长的弦为直径，所以ABW4.

故选：D.

【点睛】考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0<LW4.

2.如图所示，点M是。。上的任意一点，下列结论：

①以M为端点的弦只有一条；②以M为端点的直径只有一条；

③以M为端点的弧只有一条.则（）

A.①、②错误，③正确B.②、③错误，①正确

C.①、③错误，②正确D.①、②、③错误

【思路点拨】根据弦的定义对①进行判断；根据直径的定义对②进行判断；根据弧的定

义对③进行判断.

【解析】解：以M为端点的弦有无数条，所以①错误；

以M为端点的直径只有一条，所以②正确；

以M为端点的弧有无数条，所以③错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优

弧、劣弧、等圆、等弧等）.

3.下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相

等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【思路点拨】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.

【解析】解：①直径是最长的弦，正确，符合题意；

②直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；

③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；

④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；

⑤半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意，

故选：C.

【点睛】考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大.

4.下列说法正确的是（）

A.弦是直径B.弧是半圆C.直径是圆中最长的弦D.半圆是圆中最长的

弧

【思路点拨】利用圆的有关概念及性质分别判断后即可确定正确的选项.

【解析】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；

8、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意；

C、直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；

D,半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故错误，不符合题意，

故选：C.

【点睛】考查了圆的认识，解题的关键是正确的了解有关概念及性质，难度不大.

5.已知。。的半径是一元二次方程7-3尤-4=0的一个根，点A与圆心。的距离为6,则

下列说法正确在是（）

A.点A在。。外B.点A在。。上C.点A在O。内D.无法判断

【思路点拨】先求方程的根，可得r的值，由点与圆的位置关系的判断方法可求解.

【解析】解：：/-3x-4=0,

.•.Xl=-1,X2=4,

VOO的半径为一元二次方程7-3x-4=0的根，

厂=4,

VJ>r,

...点A在OO外，

故选：A.

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较点到圆心的距离d

与圆半径大小关系完成判定.

6.已知。。的直径为6,点A到圆心。的距离为心且点A在。。的外部，则（）

A.心6B.心3C.d>6D.d>3

【思路点拨】根据点与圆的位置关系判断得出即可.

【解析】解：直径为6,

...圆。的半径为3,

•点A在圆。的外部，

.•.点A到圆心。的距离d的范围是：d>3.

故选：D.

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关

键.

7.下列关于圆的说法，正确的是（）

A.弦是直径，直径也是弦B.半圆是圆中最长的弧

C.圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴D.过三点可以作一个圆

【思路点拨】根据弧、弦的概念、对称轴的概念、过三点的圆的条件判断即可.

【解析】解：A、弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意；

8、•.•半圆小于优弧，

半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意；

C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意；

。、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查的是圆的概念、轴对称图形、过三点的圆，掌握弧、弦的概念、过三

点的圆的条件是解题的关键.

8.下列说法正确的是（）

A.一个三角形只有一个外接圆B.三点确定一个圆

C.长度相等的弧是等弧D.三角形的外心到三角形三条边的距离相等

【思路点拨】根据三角形的外接圆、等弧的定义、三角形外心的性质判断即可.

【解析】解：A、任意三角形都有且只有一个外接圆，正确，本选项符合题意；

2、不共线的三点确定一个圆，原说法错误，本选项不符合题意；

C、长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，本选项不符合题意；

。、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，本选项不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆、等弧的定义，熟练掌握圆的有关概念是解题的关

键.

9.两直角边分别为15和20的直角三角形的外接圆半径为（）

A.12.5B.25C.20D.10

【思路点拨】根据直角三角形的外接圆直径正好是三角形的斜边，所以，只要求出三角

形的斜边即可.

【解析】答：两直角边分别为15和20的直角三角形，利用勾股定理可得：斜边为：25

又因为直角三角形的外接圆直径，正好是三角形的斜边，

所以直角三角形的外接圆半径为：12.5

故选：A.

【点睛】此题主要考查了直角三角形的外接圆的特殊性，斜边正好是外接圆的直径.

10.三角形外心具有的性质是（）

A.到三个顶点距离相等B.到三边距离相等

C.外心必在三角形外D,到顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍

【思路点拨】根据三角形外心的形成可得其具备的性质.

【解析】解：；三角形的外心是任意两边垂直平分线的交点，线段垂直平分线上的点到

线段两个端点的距离相等，

...到三个顶点距离相等.

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形外心的性质，用到的知识点为：三角形的外心是任意两边垂

直平分线的交点.

11.如图，是。。的直径，点A在0c的延长线上，NA=20°,AE交于点B,且

AB^OC.

(1)求NAOB的度数.

(2)求/E0D的度数.

【思路点拨】(1)由42=0得到A2=8。，则/AOB=N1=/A=20°；

(2)Z1=Z£,因此NE0D=3/A,即可求出NEOD

【解析［解：(1)连。2,如图，

'：AB=OC,OB=OC,

：.AB=BO,

：.ZAOB=Z1^ZA=20°；

(2)VZ2=ZA+Z1,

：.Z2=2ZA,

'：OB=OE,

；.N2=NE,

：.ZDOE=ZA+ZE=3ZA=60°.

【点睛】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质和三角形外角定理，解题的关键是能

从图形中发现每个角之间的关系.

12.如图，ZVIBC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,点。是A2的中点.

（1）若以点。为圆心，以R为半径作O。，且点A,B,C都在。。上，求R的值；

（2）若以点2为圆心，以r为半径作02,且点。，A,C中有两个点在02内，有一个

点在。8外，求，的取值范围.

【思路点拨】（1）利用勾股定理以及直角三角形斜边中线定理求出0C,可得结论;

（2）根据点与圆的位置关系求解即可.

【解析】解：连接。C.

VZACB=90°,AC=6,CB=8,

-'-AS=VAC2+BC2==10,

（1）;点A,B,C都在OO上，

：.R=OC=5.

（2）•.•点0,A,C中有两个点在08内，有一个点在OB外，

.•.8<r<10.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是掌握点与圆的位

置关系，属于中考常考题型.

题组B能力提升练

13.如图，在Rt^ABC中，NC=90°,AC=4,BC=1,点。在边上，CD=3,以点

。为圆心作O。，其半径长为r,要使点A恰在外，点B在。。内，那么r的取值范

围是（）

A.4<r<5B.3<r<4C.3<r<5D.l<r<7

【思路点拨】先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即

可得出结论.

【解析】解：在RtZ\ADC中，/C=90,AC=4,CD=3,

:-AD=VAC2CD2==5.

♦：BC=1,CD=3,

：.BD=BC-CD=7-3=4.

:以点。为圆心作。。，其半径长为厂，要使点A恰在。。外，点8在。。内，

的范围是4<厂<5,

故选：A.

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系：设。。的半径为r,点尸到圆心的距离。尸=

d,则有：①点P在圆外=d>r；②点尸在圆上=d=r；③点P在圆内,熟知点

与圆的三种位置关系是解答此题的关键.

14.下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一

个圆上的有（）

A.①②③④B.②③④C.②④D.③④

【思路点拨】根据四个点共圆的条件：对角互补，进行判断.

【解析】解：平行四边形、菱形的对角不一定互补，不一定能够四个点共圆；矩形、正

方形的对角互补，四点一定共圆.

故选：C.

【点睛】掌握四点共圆的条件以及特殊四边形的性质.

15.已知A为。。外一点，若点A到上的点的最短距离为2,最长距离为4,则。。的

半径为1.

【思路点拨】先表示距离，再确定最值条件.

【解析】解：如图：、-----/

连接A。并延长交圆。于点B，C两点，点A到O。上的点的最短距离线段的长，最

长距离为线段AC的长度.

设圆的半径为r,则：BC=2r=AC-AB=4-2=2,

r—1.

故答案为：1.

【点睛】本题考查求圆的半径，确定A到圆上的点的最大距离和最小距离对应的线段是

求解本题的关键.

16.如图，有两条公路。ON相交成30°,沿公路方向离两条公路的交叉处。点

80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影

响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两

台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？

A（学校）

【思路点拨】过点A作AC，ON,求出AC的长，第一台到8点时开始对学校有噪音影

响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到。点，第二台到C点，直

到第二台到D点噪音才消失.

【解析】解：如图，

过点A作AC_LON,

,/ZMON=30°,04=80米，

；.AC=40米，

当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB=50,

由勾股定理得：BC=30,

第一台拖拉机到D点时噪音消失，

所以CQ=30.

由于两台拖拉机相距30米，则第一台到。点时第二台在C点，还须前行30米后才对学

校没有噪音影响.

所以影响时间应是：90+5=18秒.

答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒.

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据拖拉机行驶的方向，速度，以及它在以A

为圆心，50米为半径的圆内行驶的8。的弦长，求出对小学产生噪音的时间.

题组C培优拔尖练

17.矩形A8C£）中，AB=8,BC=3正,点P在边AB上，且如果圆尸是以点

尸为圆心，尸。为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A.点、B,C均在圆尸外B.点8在圆尸外，点C在圆P内

C.点8在圆尸内，点C在圆P外D.点、B,C均在圆尸内

【思路点拨】由AB=8,得至ljAP=2,BP=6,再根据勾股定理，在尸

中计算出尸£）=7,在RtZkPBC中计算出PC=9,则然后根据点与圆的位

置关系进行判断.

【解析】解：如图，

•..四边形ABC。为矩形，

:.AD=BC=3爬,

；AB=8,BP=3AP,

：.AP=2,BP=6,

在RtZ\A。尸中，AP=2,AD=3痘,

'PD=7AP2+AD2=7，

在RtZXPBC中，'：PB=6,BC=3痘,

.*.PC=iypB2+BC2=9,

：.PC>PD>PB,

.•.点2在圆P内，点C在圆尸外.

故选：C.

【点睛】本题考查了点与圆的位置：设。。的半径为r,点P到圆心的距离。尸=d,则

有：点「在圆外=">r；点P在圆上=d=r；点P在圆内Qd<r.

18.如图，△ABC的外接圆半径为5,其圆心。恰好在中线上，若AB=C。，贝

C.24D.18

【思路点拨】连接。4,0B,则。4=OB=OC=5,由等腰三角形的性质可得CDLA2,

设4。=为则CD=4B=2x,OD^CD-OC=2x-5,利用勾股定理可求解尤值，即可求

得8的值，再利用三角形的面积公式计算可求解.

【解析】解：连接。4,0B,则OA=O2=OC=5,

圆心O恰好在中线CD上，AB=2AD,

J.CDLAB,

设A£)=尤，贝1|CD=AB=2x,OD=CD-OC=2x-5,

在RtZXOA。中，。炉+人炉=。1,

(2x-5)2+X2=52,

解得x=4,

CD—AB=2x=8,

•••5柳。=某0=恭8X8=32。

故选：B.

【点睛】本题主要考查三角形的外接圆，勾股定理，三角形面积，利用勾股定理求解A2,

CD的长是解题的关键.

19.如图，AABCAB^AC,BC=24,AZ)_LBC于点。，AD=5,尸是半径为3的OA

上一动点，连结尸C,若E是PC的中点，连结。E,则OE长的最大值为()

A.8B.8.5C.9D.9.5

【思路点拨】连接尸8