福建省福州某中学2024-2025学年高三年级上册10月月考数学试卷（含答案）

福州三中2024-2025学年第一学期高三第二次质量检测

数学试卷

命题人：高三数学集备组审卷人：高三数学集备组

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第n卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上

作答，答案无效.

第I卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知全集U={xeNk<6},集合/={1,2,3},6={2,4,5},则（«））八5二（）

A{0}B.{4,5}C.{2,4,5}D.{0,2,4,5}

2.设xeR,则“sinx=l"是“cosx=0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.AABC的内角N、B、C的对边分别为°、b、c.已知sin5+sin/（sinC—COSC）=0,a=2,

c=e，则。=

兀兀〃兀

A.—B.-C.-D.一

12643

4.已知“BC是边长为2的等边三角形，P为平面48c内一点，则方•（而+定）的最小值是（）

34

A.—2B.--C.--D.—1

23

5.函数/（x）在（一叫+8）单调递减，且为奇函数，若=则满足-2）<1的x的取值范

围是.

A.[-2,2]B,[-1,1]C.[0,4]D,[1,3]

6.在平面直角坐标系xQy中，角。以Ox为始边，终边在第三象限.则（）

A.sina-cosa<tanaB.sina-cosa>tana

C.sina-cosa<tanaD.sina-cosa>tana

第1页/共4页

7.在正四棱台ABCD-4与。12中，AB=4,A｛B｝=2,AA,=^3,若球0与上底面481GA以及棱

都均相切，则球。的表面积为（）

A97iB.1671C.25兀D.36兀

8.已知函数/（x）=2+lnx,g（x）=aVx,若总存在两条不同的直线与函数y=/（x）,y=g（x）图象

均相切，则实数。的取值范围为（）

A.（0,1）B.（0,2）C.（1,2）D.（l,e）

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题

目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.已知各项均为正数的等差数列｛4｝,且4〃+1>乙，则（）

A.。3+。7=。4+。6B.a3-a7>a6

C.数列｛%>“｝是等差数列D.数列｛的“｝是等比数列

10.如图，在正方体4BCD—4国。12中，M,N,P分别为棱AS】，B©,CQ的中点，则下列结论

正确的是（）

B.点P与点。到平面的距离相等

C.平面D.MN截正方体ABCD-AXBXCXDX所得截面图形为等腰梯形

D.平面将正方体48CD-分割成的上、下两部分的体积之比为7:17

11.已知奇函数/（x）的定义域为R,/（2）=2,对于任意的正数再,々，都有/（石马）=/（西）+/（》2）-1，

第2页/共4页

且x>5时，都有/(x)〉0,则(

B.函数/(x)在(-℃,+8)内单调递增

C.对于任意x<0都有/(x)+/

D.不等式In"⑺-2]<0的解集为b(2,4)

I816；

第n卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上.

,**,-*-*>——►—»—»—»

12.已知单位向量qJ_色，向量。=4耳一262，6=2,+4，若。_［_6，则头数2=.

13.直线2x•sin。+歹=0被圆必+/一20+2=0截得最大弦长为.

14.对于正整数小设%是关于x的方程［-log“+］X"=/+3〃的实数根.记%=二，其中［x］表示

x2x„

不超过x的最大整数，则％=；设数列｛%｝的前〃项和为S“则J/=—.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛%｝的前“项和为=2,S“=an+l-2.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)令％=l+log24，求数列｛4•〃｝的前〃项和

4s,

16.在V45C中，角48,C的对边分别为a,"C,A4SC的面积为S,已知---=a~cosB+abcosA.

(1)求角2；

(2)若3=3,Z\4SC的周长为/,求彳的最大值.

22

17.已知椭圆C：=+二=1(。〉6〉0)的右焦点厂在直线》+2>；—1=0上，A,2分别为C的左、右顶

ab

点，且H耳=3忸耳.

(1)求C的标准方程;

第3页/共4页

(2)是否存在过点G(-1,0)的直线/交C于M,N两点，使得直线8N的斜率之和等于-1?若存

在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.

18.如图，在四棱锥P—ABC。中，/BAD=NCDA=60°，ZABC=90°，AD=4,CD=2,

PB=3,PA=2V6，平面PDC1平面ABCD.

(1)求证：平面尸45_L平面45C。.

(2)求二面角尸—8C—。的余弦值.

(3)G为平面P8C内一点，若。G,平面PBC,求3G的长.

19.设a,b为实数,且a〉l,函数/(x)=a工-bx+e?(xeR).

(1)若g(x)=/(x)-a*+lnx,讨论函数g(x)的单调性；

(2)若对任意b〉2e2,函数/(x)有两个不同的零点，求。的取值范围；

(3)当a=e时，对任意函数/(x)有两个不同的零点久l々，(冷＞盯)，证明:

blnbe2

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

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福州三中2024-2025学年第一学期高三第二次质量检测

数学试卷

命题人：高三数学集备组审卷人：高三数学集备组

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第n卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上

作答，答案无效.

第I卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知全集U={xeNk<6},集合/={1,2,3},6={2,4,5},则(«))八5二()

A.{0}B.{4,5}C.{2,4,5}D.{0,2,4,5}

【答案】B

【解析】

【分析】求出。幺再求(az)c5即可.

【详解】由题知U={0,123,4,5},[用={0,4,5},

贝|](«.8={4,5}.

故选：B.

2.设XER,则“sinx=l”是“cosx=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.

【详解】因为sin?x+cos?x=1可得：

当sinx=l时，cosx=0,充分性成立；

当cosx=0时，sinx=±1,必要性不成立；

所以当xGR,sinx=l是cosx=0的充分不必要条件.

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故选：A.

3.A45C的内角B、。的对边分别为b、c,已知5由5+$1114（5山。一（：05。）=0,a=2,

c=VL贝ijc=

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可

详解：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

vsinB+sinA(sinC-cosC)=0,

•,.sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,

•••cosAsinC+sinAsinC=O,

•••sinC#0,

.••cosA=-sinA,

.••tanA=-1,

由正弦定理可得

sinCsinA

csinA.j2x

.,.sinC=---------=2

故选B.

点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦

定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方

第2页/共23页

便、简捷一般来说，当条件中同时出现M及〃、/时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余

弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

4.已知“BC是边长为2的等边三角形，P为平面4BC内一点，则莎•(而+正)的最小值是()

34

A.—2B.---C.---D.—1

23

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.

【详解】建立如图所示的坐标系，以8c中点为坐标原点，

则4(0,®5(-1,0),C(l,0),

设P(x,y),贝U莎=—y),P5=(-l-x,-j),PC=(l-x,-v),

贝"万+对=2+2/R+(尸奉]]

・・・当x=0,尸整时，取得最小值2x(1)=-|,

故选：B.

5.函数/(x)在(—叫+8)单调递减，且为奇函数，若/(1)=-1,则满足-2)<1的x的取值范

围是.

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

【答案】D

【解析】

【详解】/(x)是奇函数，故=—/(1)=1；又/(x)是减函数，-1</(X-2)<1,

即/⑴K/(x—2)«/(-1)则有—l4x—2<1，解得1W3，故选D.

第3页/共23页

6.在平面直角坐标系xQy中，角a以。x为始边，终边在第三象限.则（）

A.sina-cosa<tanaB.sina-cosa>tana

C.sina-cosa<tanaD.sina-cosa>tana

【答案】C

【解析】

【分析】对A、B：举出反例即可得；对C、D：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.

【详解】由题意可得sina<0、cosa<0,tan6K>0,

对A：当siny。一时，cosa—>-1,则sina-cosafl,tanaf0,

此时sina-cosa>tana,故A错误；

..57tt..5兀5兀八5兀YI,.j,

对B：当］二一时，sma-cosa=sm-----cos一=0<tan一二1,故B错误；

4444

,2sina,、八

对C、D：sma・cosa=cosa-------=cos2a・tana,由一l<cosa<0,

cosa

故cos2。£（0,1）,则cos2a，即sincrcosa<tana,

故C正确，D错误.

故选：C.

7.在正四棱台48CD—481GA中，48=4,44=2,44］=JL若球。与上底面44G。以及棱

初,5C,CD,/切均相切，则球。的表面积为（）

A.9nB.167rC.257rD.36兀

【答案】C

【解析】

【分析】根据勾股定理求解棱台的高MN=1,进而根据相切，由勾股定理求解球半径氏=g,即可由表面

积公式求解.

［详解】设棱台上下底面的中心为N,M，连接£>,5,,DB,

则=272,£>5=472,

所以棱台的高MN=个BF—=J（V3）2-（2V2-V2）2=1,

设球半径为R,根据正四棱台的结构特征可知：球。与上底面相切于N，与棱AB,BC,CD,DA均相

切于各边中点处,

设8c中点为E,连接

第4页/共23页

5

所以。炉=0拉2+人化2nA2=优一]]9+22,解得氏=—,

112

所以球0的表面积为4nR2=25；1，

故选：C

8.已知函数/(x)=2+lnx,g(x)=aVx,若总存在两条不同的直线与函数y=/(x),y=g(x)图象

均相切，则实数。的取值范围为()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(l,e)

【答案】B

【解析】

【分析】设函数y=/(x),y=g(x)的切点坐标分别为(x”2+lnxj,12，“反)，根据导数几何意义可

得。=——!—,占＞0,即该方程有两个不同的实根，则设〃(》)=-------,x＞0,求导确定其单调性与

再X

取值情况，即可得实数。的取值范围.

【详解】解：设函数/(x)=2+lnx上的切点坐标为(92+lnxJ,且再＞0,函数g(x)=a夜上的切点

坐标为12，。后)，且工220,

乂/'(x)=Jg'(x)=E，则公切线的斜率左=：=击，则。〉0,所以马=?才，

则公切线方程为y一(2+山石)=’(工一玉)，即)=—x+ln%i+1,

石X]

a=2

代入(%2,qJ^")得：y[^2—X2+In%1+1,则可否=—Xj+In+1,整理得/=-,

\/X]2演4X]

/|]口％+4

若总存在两条不同的直线与函数y=/(x),y=g(x)图象均相切，则方程片=——!—有两个不同的实

x\

根,

4

设〃(x)=41n；+4,x>o,则/⑴工x一(41nx+4)_4hix,令/(x)=0得x=l,

X2X

第5页/共23页

当xe(0,1)时,丸(x)单调递增,xe(l,+oo)时,A,(x)<0,单调递减，

又〃(x)=0可得x=L则x70时，A(x)->-co；xf+oo时，〃⑺一0,则函数〃(%)的大致图象如

<7>0.

所以*</<4,解得0<。<2,故实数a的取值范围为(0,2).

故选：B.

【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公

切线的几何意义，设切点坐标分别为(%,2+111占)，且玉>0,12，。直")，且Xz'O,可得

左=：=公上，即有z=：x3得公切线方程为y=:x+lnxi+l,代入切点卜2,将双变量方程

4人=工々+111玉+1转化为单变量方程1%=’-。^+111%+1,根据含参方程进行“参变分离”得

石2西4

片=41呻+4,转化为一曲一直问题，即可得实数。的取值范围.

%

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题

目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.已知各项均为正数的等差数列｛4｝,且%+1>%,则()

A.a3-ba7=a4+a6B.a3-ay>a4-a6

C.数列他用｝是等差数列D,数列｛%｝是等比数列

【答案】AC

【解析】

【分析】根据等差数列性质可以判断A正确；利用等差数列通项公式可以判断B错误；根据等差数列的概

念可判断C,根据特例可判断D.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d(d〉O),

对A,因为｛4｝是等差数列，且3+7=4+6,

第6页/共23页

则由等差数列性质可得%%=。4+。6，故A正确；

2

对B,a4-a6-a3-a7=（q+3办（%+54）-（q+2办（%+6d）=3d>0,

则的,%<%，故B错误；

对C,因为4”+i-4“T=2d,则数列｛%+1｝是等差数列，故c正确；

对D,如数列｛%｝为1,2,3,4,5,6…，显然数列｛的"｝不是等比数列，故D错误；

故选：AC.

10.如图，在正方体4BCD—4gGA中，M,N,P分别为棱BB-Bg,CC1的中点，则下列结论

正确的是（）

A.4。，平面

B.点尸与点。到平面D[MN的距离相等

C.平面D[MN截正方体ABCD-451GA所得截面图形为等腰梯形

D.平面将正方体48CD-48]G。]分割成的上、下两部分的体积之比为7:17

【答案】BCD

【解析】

【分析】假设4C，平面。WW,证得D]N，4G，显然不成立，即得A错误；证明4M,N，2四点

共面，即得截面四边形，再结合平行关系和长度关系即判断c正确；利用线面平行的判定定理证明。尸〃

平面即证B正确；计算分割的上面部分棱台的体积和正方体体积，即得下面部分体积，证得D

正确.

第7页/共23页

【详解】正方体4SCD—45CQ1中，不妨设棱长为2.

假设4。，平面AW,则4C，AN,而GCJL底面则GCJLAN,4c与GC相交于

平面ZCC内，所以AN,平面ZCC，则£>]N，4G，显然不成立，即选项A错误；

连接401,AM,由MNHBCJIAD阳,4M,N，2四点共面，即为平面"MV截正方体

4BCD—481GA所得截面图形，而跖VW4D],D[N=AM=下,故截面图形为等腰梯形，C正

确；

由40〃4。，40=儿。知四边形4DPMr是平行四边形，所以DP//4M,且。尸(/平面，跖V,AMu

平面。WW,故DP〃平面所以点尸与点。到平面的距离相等，选项B正确；

平面。17W将正方体N5CD-分割的上面部分是棱台,上底面面积为S'=3，

下底面面积为S=2,高ft==2,所以体积匕=§(S+/6M+S^h=—^―+l+2^jx2=—,而正方

717匕7

体体积为%=8,所以分割的下面部分体积匕=8-§=《，所以*=万，即选项D正确.

故选：BCD.

11.已知奇函数/(x)的定义域为R,/(2)=2,对于任意的正数七,》2,都有/(西马)=/(石)+/(%)—1，

且x>g时，都有/(x)〉0,则()

B.函数/(X)在(-00,+00)内单调递增

第8页/共23页

C.对于任意x<0都有/（x）+/-2

lo（2,4）

D.不等式In[/⑺-2]<0的解集为

816；''

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据已知应用赋值法判断A选项，结合奇函数判断C选项，根据单调性定义判断B选项，结合单

调性解不等式判断D选项.

【详解】已知/（石马）=/（苞）+/（%）-1,令X]=1,%=1，可得/（1）=/（1）+/。）-1，/。）=1，

令石=2,%=3可得/（1）=/（2）+/（£|—1=1,得/（2）=2,/（£|=0人选项正确;

奇函数“X）的定义域为RJ（—x）=-/（x），所以/（0）=0,又知了0,

所以函数/⑺在（-吗+⑹内不是单调递增,B选项错误;

对于任意的正数七,马，都有/（占》2）=/（石）+/（%）一1，

对于任意x<0都有-x>0,〃l）=/（—X）+/2,

又因为函数/（x）为奇函数，可得/（》）+/-2,C选项正确;

对于任意的正数为,工2e（O，+8）,X2>X],,都有/（2项）=/（xJ+/（2）—l=,

（1、

/（工2）-/（再）=/（工2）-/（2xJ+l,又因为x>0/（x）+y2,所以/（2石）+/—=2,

（（\'1'

所以/（工2）-/（再）=/（、2）-2-/--+1=/（、2）+/x2

、2占72%i

JJ

又因为々>不，£>1，言>g所以/>0,所以/（/）—/（石）〉0,

所以函数/（x）在（0,+。）内是单调递增，又因为函数/（X）为奇函数，所以函数/（X）在（7,0）内是单调

递增，

不等式ln[/（x）—2]<0,0</（x）-2<l,2</（x）<3

第9页/共23页

已知/（西马）=/（西）+/（》2）一1，

令，西=2,%=2,因为/⑵=2可得/（4）=〃2）+/（2）_1=3,

函数/（x）在（0,+e）内是单调递增，所以2Vx<4,

已知/（斗々）=/（石）+/（》2）—1,令,再=px2=p因为/=

可得小〔=/〔1+/出T=T'同理/〔」=4m=2

又因为函数/（X）为奇函数，f

又因为函数/（x）在（-8,0）内是单调递增，所以-L<X<-'

816

不等式ln[/(x)-2]<0的解集为[-7，-77

口（2,4）,D选项正确;

\o16

故选:ACD.

第n卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上.

—**——*»—»—>»*”——

12.已知单位向量,_L02,向量a=4,-202，b=2q+e?,若口_16，则实数％=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用向量垂直的性质即可求解.

2

【详解】因为£J_g，所以a%=（由一202）・（24+e2j=24e：+（2-4）-e2-2e2=22-2=0

故2=1.

故答案为：1

13.直线2x•sin。+y=0被圆必+/一2岛+2=0截得最大弦长为.

【答案】2逝

【解析】

【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案.

第10页/共23页

【详解】由已知，圆的标准方程为#+3—6）2=3,圆心为（0,逐），半径r=G，

圆心到直线2x・sin。+歹=0的距离d=/垂=<V3,解得sin26>~,

V4sin2^+16

所以弦长为2，,—/=2、3-------1——，因为g<4sin2£+lV5,

\4sin2^+l3

所以1W二.二二<3,所以弦长Hl—/=------1——（0,272］,

23e

4sin2^+lV4sin2^+l

当4sin2。+1=5即sin2。=1时，弦长有最大值2行.

故答案为：20.

14.对于正整数小设x,是关于x的方程log".》"=/+3〃的实数根.记4=，-,其中［x］表示

xL2xd

不超过X的最大整数，则％=;设数列｛%｝的前〃项和为s”则后>=—.

【答案】①.0（2）.1010

【解析】

【分析】（1）当〃=1时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而求出结果.

1

（2）令/=丁，化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围，即/“得范围，分类讨论〃为奇数

和偶数时与,求得结果.

【详解】(1)当”=1时，-4-log2x=4,

X

设/(x)=3-log,x-4单调递减，

X

1III1

/(-)=1>0,/(1)=一3<0,所以<西<1,-<—<1

4=[y-]=0

2x1

122

(2)令t“=q—,则方程化为：(2/)+〃log“+i2/“=〃"+3〃

2

令/(x)=(2x>+wlogn+12x-n-3n,则/(x)在(0,+8)单调递增

第11页/共23页

吗)=〃log〃+ln-3n<0；

/(一)=1>0

由零点存在定理可得：*呜,等)，/(x)=0,

2k-l

当n=2k-l(ksN+),tne(,k),an=[tn]=k-l

24+1

当〃=2k(keN+),e(k,——),an=[r„]=k

10101010

所以当52。2。=2(4—1)+^左=10102,

k=\k=\

V^2020=101。

故答案为：①o；@1010

【点睛】本题考查了函数的性质、零点存在定理，数列求和等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理

能力，转化和分类讨论的数学思想，属于难题.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛4｝的前“项和为S",为=2,S“=%+]—2.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

(2)令4=l+log2a“，求数列｛%•〃｝的前〃项和北.

【答案】(1)an=2"

+i

(2)Tn=n-2"

【解析】

【分析】(1)由的关系分”是否等于1进行讨论即可求解；

(2)首先得g=4•，=(1+冷-2”,进一步结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得解.

【小问1详解】

ax=2,Sn=an+x-2

当〃=1时，％=a2-2,/.a2=4,%=2%,

当〃22时，S,T=%-2,两式相减得%+]=2%(场之2),

%=2%,eN；

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:4=2#0,.,.=2（neN*）,

a.

•••数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列,

・乜=2"

【小问2详解】

由(1)可知4=l+log24=1+〃，记c“=4“=(1+〃).2",

.-.7；=2-21+3-22+4-23+---+(1+/?)-2",

27；=2-22+3-23+4-24+---+(1+/7)-2"+1,

两式相减得

22(1-2"-1)

-7；,=4+22+23+---+2n-(l+w)-2n+1=4+—-----^-(1+M)-2"+1=-M-2B+1

1—2

F=3.

4s。

16.在V45C中，角4瓦。的对边分别为。也的面积为S,已知----=。cosB+abcosZ.

tanB

(1)求角B；

(2)若b=3,z\4BC的周长为/,求了的最大值.

7?

【答案】(1)-

3

⑵心

4

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；

(2)由余弦定理及三角形的面积公式得'=*(a+c-3)，再由基本不等式进行求解即可.

【小问1详解】

4s2

因为-----=aCOS3+Q6COS4,

tan5

1

后|、j4x—acsin5cosB

--------------------------=1cosB+abcosA'

sin6

即2ccosB-acosB+bcosA,

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由正弦定理，得2sinCeos8=sinAcosJ?+sin5cosA=sin(4+8),

因为/+JB=7T—C,

所以2sinCcos3=sinC,

因为Ce(O,»),所以sinCHO,所以cosB=；,

又8e(O,»),所以5=(.

【小问2详解】

由余弦定理，得力2=6/2+c2-2accosB，即9=/+c?一。。，

所以9=(Q+op-3Q0,即ac=1(a+c)2—9

3

1/o

因为S=—acsin5=——ac，/=a+c+3,

24

所以S―6ac6［（a+c）2-9_.

I4（Q+C+3）12（Q+C+3）

所以］=*g+c—3），

又acV（"°）（当且仅当a=c时取等号），

4

所以9=（a+c/-3ac>♦；，）（当且仅当a=c=3时取等号），

所以a+cV6（当且仅当a=c=3时取等号），

所以£=Y3（a+c—3）<x（6-3^=—（当且仅当a=c=3时取等号），

/1217-12v>4

即g的最大值为走.

I4

22

17.已知椭圆C：=+与=1（口〉6〉0）的右焦点厂在直线x+2y—1=0上，A,2分别为C的左、右顶

ab

点，且|/刊=3忸耳.

（1）求C的标准方程；

（2）是否存在过点G（-1,0）的直线/交C于M,N两点，使得直线8N的斜率之和等于-1?若存

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在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)—+^=1

43

(2)存在，x—y+1—0.

【解析】

【分析】(1)先求出点尸的坐标，得出椭圆中的c=l,结合椭圆的几何性质可出答案.

(2)设直线/的方程为：x=my-l,W(x2,y2),将直线方程与椭圆方程联立，得出韦达定

理，由题意左p“+女尸N=-1，将韦达定理代入可出答案.

【小问1详解】

设右焦点尸(c,0),

直线x+2y—1=0与x轴的交点为(1,0),

所以椭圆C右焦点尸的坐标为(1,0),

故在椭圆C中c=l,

由题意|4F|=a+c=3|8F|=3(a-c),结合c=l,则。=2,

b2-a2-c2=4-1=3，

所以椭圆C的方程为：工+匕=1；

43

【小问2详解】

当直线I的斜率为0时，显然不满足条件kPM+kPN=-1,

当直线/的倾斜角不为0°时，

设直线/的方程为：x=JTiy—1,N(%2,y2)，

由2)可得(3/+4)/-6吵-9=0,

3jr+4y~=12''

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由题意△=36m2—4x(3m2+4)x(-9)=144m2+144>0,

r।6m9

则%+%=-2,〃'3V2=一『二，

3m+43m+4

由kpM+kpN=+=必+%=2孙%-3(%+%)

ii1PN1

X]-2x2-2myx-3mj2-3myxy2-3«(^+J2)+9

c-96m

3加2+43加2+4_

2-96m

mx——------3mx——----+9

3加2+43加2+4

由kpM+kpN=—1,即加=1,

故存在满足条件的直线，直线/的方程为：％-歹+1=0.

18.如图，在四棱锥P—/BCD中，/BAD=NCDA=60°，ZABC=90°，/。=4,CD=2,

PB=3,PA=2V6，平面PDC1平面ABCD.

(1)求证：平面尸48_L平面45c。.

(2)求二面角尸—BC—。的余弦值.

(3)G为平面尸内一点，若。G,平面尸BC,求3G的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)—

3

⑶巫

3

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理先证CO,由面面垂直的性质得出尸C,结合勾股定理及线面垂直的

判定证明BC1平面PAB即可；

(2)法一、利用二面角的定义结合第一问得出二面角的一个平面角，再由余弦定理计算即可；法二、以2

为中心建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可；

(3)法一、利用线线垂直、线面垂直的性质与判定作出DGL平面尸,解三角形即可；法二、利用

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（2）的坐标系，设豆不坐标结合空间向量基本定理及空间向量数量积计算求G点坐标即可.

【小问1详解】

AC2=42+22-2x4x2cosZCD^=12=^D2-CD2，

则N/C£>=90。，AC=25NCAD=30。，

••,平面尸CD,平面48CD,ACLCD,平面尸CDPl平面45c£>=CD,

.•.NC，平面PC。，CPu平面PCD,所以NCLCP,

・..在APNC中，PC7Ap2—AC?=2百，

又ZBAD=60°,ZABC=90°,

：.ZBAC=30°,BC=^3,AB=3,

在/\PBC中：PB2+BC2=PC2,二BCLPB,

又BC上AB,ABcPB=B4B,PBu平面P4B,

BC±平面PAB,且BCu平面ABCD,

■■平面PAB1平面ABCD.

【小问2详解】

法一、由上可知：BCYAB,BC1PB,则二面角尸—BC—。的一个平面角为NPA4,

在△尸氏4中,由余弦定理知©osZPBA=PB?+4B2-PA2=3?+3?—(2佝=_』；

2PB-AB183

法二、如图建系：设z轴与P/交于初,过尸作PELHW与E,

设=则/四=2指—x，

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/.BM2=（2a-x—9=15+x~—4-y6%，

32+（276）2-32

nMJ+9"

6x12^/6

解之得片李所受

口「PEEMPMIJ23A/2r-

易知=----==T,所以PE=1,EB=EM+MB=-----1--------=2,2,

ABMBMA322

则5（0,0,0）,0（0,括,0）,尸（一1,0,2夜卜

V3v=0

设。=（x,y,z）为平面P8C的一个法向量，则：＜

-x+=0

令z=l,则x=2拒,y=0，所以万=（2后,0,1）,

易知，=（0,0,1）是平面ABCD的一个法向量,

设二面角尸—8C—。的一个平面角为，，贝qcosG，〃J=n-n{_1

同,同

由图形可知该二面角为钝角，所以cos9=-,

3

【小问3详解】

法一：过。作。NL8C,垂足为N,过N作///尸8,

在△尸。C中，过。作。。，尸C,过。作0GJ_PC,0Gn/=G,

因为06口。。=0,06,。0匚平面。60,所以尸C1平面。G。,

又。Gu平面。G。，所以尸C_LQG,

而PCn/,尸CJu平面尸,所以。G,平面尸BC,即G为所求.

分别延长48、DC交于R,连接尸灭,

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过。作由(1)易知PR工4C,PRL/‘,/。口/',幺。,/'匚平面48。£),

.•.尸氏_1平面48。),

2-\/6,设CQ=x,QD=

,4—/+(x+2⑹2=24,则才=手,