2024-2025学年上海某中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）

2024-2025学年上海交大附中九年级（上）月考数学试卷（9月份）

一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）

1.（4分）设近的整数部分是a,小数部分是b,小数部分是儿若m—ad-be(.

A.--1B.-IW/MWOC.OWniWlD.1WZ2

2.（4分）同一圆中，半圆的直径（）整圆的直径.

A.大于B.小于C.等于D.不确定

3.（4分）2024年的春晚节目《年锦》用东方美学风韵惊艳了观众,节目巧妙地选用了汉、唐、宋、明不

同朝代寓意吉祥祝福的代表纹样，与华丽的舞美技术相融合（)

4.（4分）布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，蓝球20个，白球10个，从袋中任意摸出

球来，若要一次摸出至少15个同色的球（）

A.85个B.75个C.15个D.16个

5.（4分）如图，公园里有一段长20米的墙A8,工人师傅计划利用墙A8和40米的栅栏围成一个面积为

198平方米的封闭矩形绿化区域，下列说法正确的是（）

A.由题意得2x«40-2x）=198

B.x的取值范围是0cx（20

C.只有一种围法

D.只有两种围法

6.（4分）现有四根木棒，其长度分别为3,4,9,d,若长度为d的木棒与其它任意两根木棒都能围成三

角形（)

A.9.1B.5.8C.7.2D.6.5

二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）

7.（4分）一块面积为2的正方形桌布，其边长为.

8.（4分）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，则最多可打折.

9.（4分）若式子在实数范围内有意义，则尤的取值范围是.

10.（4分）若双曲线y，L（k#0）的图象经过点A（7,2）和B（相，-2）.

X

11.（4分）已知一次函数y=fcv+b的图象经过点（1,3）和（-1,2）,则F-d=.

12.（4分）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，

但单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为.

13.（4分）在△ABC中，是中线，G是重心就兀，向量正兀，那么向量而=.

（用向量a，b表示）

14.（4分）如图，在RtzXABC中，NC=90°,BC=12.在中，/尸=90°,EF=4.用一条始

终绷直的弹性染色线连接CRRt△。跖从起始位置（点。与点B重合）（点E与点A重合），且斜边

DE始终在线段A8上，则RtaABC的外部被染色的区域面积是.

15.（4分）如图，一束光线从点-2,5）出发（0,1）反射后经过点C（m,〃），则2m-n的值是

16.（4分）如图，在矩形042c和正方形CDE尸中，点A在y轴正半轴上，尸均在x轴正半轴上，点。

在边8C上，48=3.若点B,E在同一个反比例函数的图象上.

17.（4分）定义因为不大于x的最大整数，若葭Q]=5则x的最大整数为.

18.（4分）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE,所相交于G,X两点.若。G=

m,用含m,w的式子表示G/f的长是.

三.解答题（满分78分）

19.（10分）计算：-2|-12°24+2cos60°-（,

f3x+2y=4

20.（10分）解方程组:

.x2-xy-2y2=0

21.（10分）如图，AQ是△ABC的角平分线，OE〃AC交A8于点E

（1）求证：四边形是菱形;

（2）若AB=AC,写出图中四个面积都相等的三角形.

22.（10分）井字棋是老少皆宜的游戏，规则是：两个游戏者轮流在3*3的格子里留下标记，任意三个标

记形成一条直线即为获胜，每步均为最佳着法.

(1)小吴执先手去挑战小张，若无论小张如何落子，小吴前两步都会将两个子放在一条直线上

(2)小吴不服，让小张执先手，小张第一步选择下中间，求：小吴和棋的概率.

23.(12分)如图，Rt^ABC中，ZACB=90°,E是边8C上的点，AE与C£＞交于点尸=CE・C8

(1)求证：AE±CD；

(2)连接如果点E是8C中点，求证：NEBF=/EAB.

24.(12分)新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最

值点”.

(1)如图，若抛物线〃经过(3,0)和点A(1,0)和(0,3),请求出最值点，若不存在

(2)若直线y=fcc+b交抛物线于A,B(4,3)两点，则直线不低于抛物线时

(3)求直线y=-3x4的最值点.

2'%

25.(14分)已知△ABC为等边三角形，CDLA8于点。，点E为边BC上一点，连接EF,且点E在线段

CF的中垂线上.

图1

1,若AB=4,CE=1,G为8尸的中点，连接。G

2

■蛆的

(2)如图2,将△CEP绕点C逆时针方向旋转一定的角度得到连接BN,连接AH,

HM

值;

(3)如图3,在（2）问的条件下，线段与线段CN交于点P,交线段CN于点Q,当CQ=2PN时

空的值.

PQ

2024-2025学年上海交大附中九年级（上）月考数学试卷（9月份）

参考答案与试题解析

一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）

1.（4分）设近的整数部分是由小数部分是b,小数部分是d,若（）

A.--1B.-IWmWOC.OWmWlD.

【解答】解：•••加的整数部分是a,

；.a=l,b=V6-1>

Vit的整数部分是c,小数部分是d,

・・c=3,d=ir-5,

.••m=ad-bc=ix（7T-3）-（V5-l）X3=n-2-3&+6=兀-3近,

••5-8.14，3a=5X1.414=4.2&

.•.m=K-2&g3.14-5.23=-l.OS，

-2WmW-8.

故选：A.

2.（4分）同一圆中，半圆的直径（）整圆的直径.

A.大于B.小于C.等于D.不确定

【解答】解：半径决定圆的大小，同一圆中、扇形和整圆对应的半径都相等.

故选:C,

3.（4分）2024年的春晚节目《年锦》用东方美学风韵惊艳了观众，节目巧妙地选用了汉、唐、宋、明不

同朝代寓意吉祥祝福的代表纹样，与华丽的舞美技术相融合（）

【解答】解：A、图形是中心对称图形;

B、图形不是中心对称图形；

C、图形不是中心对称图形；

。、图形不是中心对称图形，

故选：A.

4.（4分）布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，蓝球20个，白球10个，从袋中任意摸出

球来，若要一次摸出至少15个同色的球（）

A.85个B.75个C.15个D.16个

【解答】解：最坏情况考虑就行了，摸出14个红球，12个黄球，10个白球，

最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同，

即最少要摸：14+14+12+14+10+10+1=75个球；

故选：B.

5.（4分）如图，公园里有一段长20米的墙A8,工人师傅计划利用墙A8和40米的栅栏围成一个面积为

198平方米的封闭矩形绿化区域，下列说法正确的是（）

川।।1B

A.由题意得2x・（40-2x）=198

B.x的取值范围是0<xW20

C.只有一种围法

D.只有两种围法

【解答】解：：垂直于墙的一边长为x米，

平行于墙的一边长为（40-2x）米，

则：尤（40-2x）=198,故A错误；

x〉5

-0<40-2x<20，

解得：10Wx<20,故8错误；

对于方程x（40-7%）=198,化简得：?-20x+99=0,

解方程得：X4=9,X2=U,

V10^x<20

.•.x=n,

故只有一种围法，故c正确；

故选：C.

6.（4分）现有四根木棒，其长度分别为3,4,9,d,若长度为d的木棒与其它任意两根木棒都能围成三

角形（）

A.9.1B.5.8C.7.2D.6.5

【解答】解：当长度分别为3,4,d的木棒组成三角形时，即2<d<7；

当长度分别为3,2,1的木棒组成三角形时，即6cd<12；

当长度分别为4,3,1的木棒组成三角形时，即5Vd<13,

:长度为d的木棒与其它任意两根木棒都能围成三角形，

.•.选项D符合题意.

故选：D.

二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）

7.（4分）一块面积为2的正方形桌布，其边长为

【解答】解：设正方形桌布的边长为a（a>0）,

则）=2,

那么a=V2>

即正方形桌布的边长为加,

故答案为：V4-

8.（4分）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，则最多可打8.8折.

【解答】解：设这种商品可以按x折销售，

则售价为5X0.8尤,那么利润为5X0.8x-4,

所以相应的关系式为5X8.1X-425X10%,

解得：无，8.8.

答：该商品最多可以打5.8折，

故答案为：8.6.

9.（4分）若式子《寻在实数范围内有意义，则x的取值范围是尤Q8.

【解答】解：由题意，得：x-8^0,

解得：尤A；

故答案为：

10.（4分）若双曲线丫上年卉。）的图象经过点A（-3,2）和8（相，-2）3

【解答】解：•••双曲线y=K（k卉0）的图象经过点A（一3,-7）,

X

：.k=-3X2=-6m,

故答案为：3.

11.（4分）已知一次函数的图象经过点（1,3）和（-1,2）,贝[♦-廿=-6

【解答】解：由题意得，将点（1,2）代入y=fcv+b得：

[4=k+b

12=-k+b

[4

解得：一，

另一^种解法：由题意得，将点（2,2）代入y=fcv+Z?得：

（3=k+b,

13=_k+b

/.k2-b2=（Z+b）（左-b）=-Qk+b）（-k+b）=-6X2=-6.

故答案为：-2.

12.（4分）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具,

但单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为尤元，则x满足的分式方程为也1=2义也纳.

x+4x

【解答】解：•••乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元，

乙种劳动工具单价为（x+4）元.

根据题意得：2400=2X1000.

x+8x

故答案为：2400=8x1000.

x+4x

13.（4分）在△A3C中，AO是中线，G是重心BA=a，向量BC=b，那么向量DG=_^a二且b_.（用向

—36―

量a，b表示）

【解答】解：・・・是中线,

：.BD=lBC=Ab，

22

DA=BA-BD=a-—b>

4

：G是的重心，

：.DG=1-DA,

3

.•.DG=A（a-lb）士-与.

3436

故答案为：la-lb.

26

14.（4分）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=12.在中，ZF=90°,EF=4.用一条始

终绷直的弹性染色线连接CF,RtADEF从起始位置（点。与点8重合）（点E与点A重合），且斜边

DE始终在线段AB上，则RtAABC的外部被染色的区域面积是21.

B（D）F

【解答】解：如图，连接CF交AB于点M,过点F作FGLAB于点H,连接FF',RtAABC的外部

被染色的区域是梯形N.

在Rt△。跖中，DF=3,

•*-DE=VDF2+EF3=V32+32=5，

在Rt^ABC中，AC=6,

■'-AB=7AC2+BC2=A/22+182=15,

•：^DF'EF=^,

72

.JG=K,

8

=22

BG7BF-FG=r-(昌2=-1>

V□D

:.GE=BE-BG=坨,AH=GE=^-,

55

：.F'H=FG=4

5

：.FF'=GH=AB-BG-AH=15-2=10,

'：BF//AC,

•••BM一_B,F_1,

AHAC3

44

同法可证AV=&AB=生，

44

：.MN=\5-生-K=至，

342

.♦.口△ABC的外部被染色的区域的面积=_lx(10+生」2=21,

223

故答案为：21.

15.(4分)如图，一束光线从点A(-2,5)出发(0,1)反射后经过点CGn,n),则2m-n的值是

【解答】解：•••点A(-2,5)关于y轴的对称点为A'(8,

反射光线所在直线过点B(0,1)和A'(8,

设48的解析式为：y=kx+l,过点A'(2,

；.8=2左+1,

"=2,

・・・AB的解析式为：y=2x+l,

•.•反射后经过点C(m,n),

；・3"2+1=

2m-n=-3.

故答案为：-1.

16.(4分)如图，在矩形。45C和正方形所中，点A在y轴正半轴上，尸均在％轴正半轴上，点。

在边8C上，AB=3.若点5,后在同一个反比例函数的图象上丫=卫.

【解答】解：•・,四边形。4BC是矩形,

・•・0C=AB=3,

丁四边形COEb是正方形，

；.CD=CF=EF,

■;BC=2CD,

・••设C£)=机，BC=4m,

•\B(3,2m),m),

设反比例函数的表达式为y=K,

X

.'.2X2m=(3+m)*m,

解得m=7或m=0(不合题意舍去),

：.B(3,3),

・••左=3X6=18,

这个反比例函数的表达式是y=至,

X

故答案为：

X

y

17.（4分）定义因为不大于x的最大整数，若「、/71=5则x的最大整数为35.

【解答】解:由题意得，V25^[/^V36，

即5<[Vx]<6,

的最大整数为35,

故答案为：35.

18.（4分）如图，平分等边△4BC的面积，折叠△2DE得到△EDE,所相交于G,H两点.若DG=

m,用含w的式子表示G//的长是_{m2+n?

【解答】解：:△ABC是等边三角形，

.•.NA=NB=NC=60°,

:折叠△B_DE得到△皿E,

:.4BDE沿4FDE,

:・SABDE=S^FDE，ZF=ZB=60°=NA=NC,

・・・QE平分等边△A3。的面积，

图形ACED的面积=SZ\BZ)E=S"DE,

S^FHG=SAADG+SACHE,

■:/AGD=/FGH,/CHE=/FHG,

:•△ADGSAFHG,ACHESAFHG.

S2

.SAADG=（吗2_jnLACHE（EH）2.,n

3S^FH；G"

SAFHGGH，GH3

S22+

，AADG^ACHEm+n^AADG^ACHE

SAFHGSAFHGGH2SAFIE

GH2=m4+n2,

解得GH=J1Tl2+n，或GH=-JR+口2,

故答案为：7m5+n2-

三.解答题（满分78分）

19.（10分）计算:|V3-2|-12024+2COS60°

【解答】解：原式=2"巧-4+2

3

=i_Vs-

3x+2y=4

20.（10分）解方程组:

x2-xy-2y2=0

3x+2y=5①

【解答】解:

x2-xy-2y3=0②

由②得：（尤-2y）（x+y）=7,

x-2y=0或x+y=4③，

由①和③组成两个二元一次方程组：俨+2片3,（8x+2y=4

x-2y=0x+y=4

X=1fx7=4

解得：＜],«,

y百5ly2=~8

卜户fx5=4

所以原方程组的解是11,.

丫4=5ly2=-8

21.（10分）如图，4。是△ABC的角平分线，DE〃AC交于点E

（1）求证：四边形AEL不是菱形；

（2）若A8=AC,写出图中四个面积都相等的三角形.

A

【解答】(1)证明：\'DE//AC,DF//AB,

：.四边形AEDF是平行四边形，ZEAD=ZADF,

,：AD是△ABC的角平分线，

:./EAD=NFAD,

：.ZADF=ZFAD,

C.FA^FD,

平行四边形AEL不是菱形；

(2)解：：AB=AC,是△ABC的角平分线，

**•BD=CD,

••SAABD=S/\ACD9

;平行四边形AEQb是菱形，

：.DF//AB,DE//AC,

：・AE=BE,AF=CF,

••S/^ADE—SABDERSAADF=SACDF,

：.AADE、AADF.△CDF4个三角形的面积相等.

22.(10分)井字棋是老少皆宜的游戏，规则是：两个游戏者轮流在3*3的格子里留下标记，任意三个标

记形成一条直线即为获胜，每步均为最佳着法.

(1)小吴执先手去挑战小张，若无论小张如何落子，小吴前两步都会将两个子放在一条直线上

(2)小吴不服，让小张执先手，小张第一步选择下中间，求：小吴和棋的概率.

【解答】解：(1).••小吴执先手去挑战小张，总共有9个格子,

•••小吴第一步下棋的总情况数就是9种，

:小吴不下在中心点均输棋，

小吴输棋的情况有4种，

小吴输棋的概率为：足.

9

答：小吴输棋的概率为：区；

9

(2)..,小张执先手，

小吴第一步下棋的总情况数只剩下8种，

:下5个角格即可和棋，

，小吴和棋的概率为：1=1.

82

答：小吴和棋的概率为：A.

8

23.(12分)如图，RtAABC+,ZACB=90°,E是边2C上的点，AE与CD交于点尸=C»CB.

(1)求证：AE±CD；

(2)连接8月，如果点E是BC中点，求证：NEBF=/EAB.

【解答】证明：（1）;AC2=CE-CB,

-AC_CB

"CET

又；/ACB=/ECA=90°

△ACBs^ECA,

：.NABC=ZEAC.

:点。是4B的中点，

：.CD=AD,

：.ZACD=ZCAD

VZCAD+ZABC=90°,

ZACD+ZEAC=90°

ZAFC=90°,

：.AE±CD

(2)VAEXCD,

：.ZEFC=90°,

NACE=ZEFC

又丁NAEC=/CEF,

.,.△ECF^AEAC

•・•E—C=E—F

EAEC

:点E是BC的中点,

:.CE=BE,

•••B-E=--E-F

EABE

:NBEF=ZAEB,

；.ABEFsAAEB

24.(12分)新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最

值点”.

(1)如图，若抛物线M经过(3,0)和点A(1,0)和(0,3),请求出最值点，若不存在

(2)若直线y=fcv+6交抛物线于A,B(4,3)两点，则直线不低于抛物线时

(3)求直线y=-3乂二的最值点.

2x2

y

【解答】解：(1)M上不存在最值点；理由如下：

由抛物线M经过(3,0)和点A(3,设抛物线M解析式为y=a(尤-3)(x-1),

把(3,3)代入得：3=4。,

解得a=b

抛物线M解析式为丫=(x-3)(尤-8)；

.,.xy=x(x-3)(x-1),

当x>8时，孙的值随尤的增大而增大，

；.孙没有最大值，

上不存在最值点；

(2)VA(1,0),2),

.•.观察图象可得，直线不低于抛物线时；

(3)'."y--—

2x2

.".xy—x(--,r+-X_L(x-」)2+-^,

822824

:-2<o,

2

...当x=旦时，孙取最大值。，

624

此时y---XA+A=.L,

2424

直线y=-3xd的最值点为(3,A).

5266

25.(14分)已知AABC为等边三角形，CDLA8于点。，点E为边BC上一点，连接E凡且点E在线段

CF的中垂线上.

1,若AB=4,CE=1,G为的中点，连接。G

2

(2)