指数与指数函数【11类题型】-2025年高考数学复习突破（新高考专用）

热点专题2-4指数与指数函数

近3年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新高考I卷，第6题,5分

从近五年的高考情况来看，指数

年北京卷，第题分

20247,5运算与指数函数是高考的一个

2023年新高考I卷第4题，5分重点也是一个基本点，常与纂函

(1)指数赛的运算性质

数、二次函数、对数函数、三

(2)指数函数的图像与性

2023年乙卷第4题，5分角函数综合，考查数值大小的比

质

较和函数方程问题.在利用指数

2022年甲卷第12题，5分

函数的图像与性质应用上，体现

2020年新高考n卷第11题，5

了逻辑推理与数学运算素养.

分

模块一卜热点题型解读(目录)

【题型1］指数赛的运算

【题型2】指数函数过定点问题

【题型3】求指数函数的解析式

【题型4】指数函数的图象及应用

【题型5】比较指数幕的大小

【题型6】解指数方程或不等式

【题型7】指数型复合函数单调性

【题型8】指数型函数的值域问题

【题型9】指数函数的实际应用

【题型10］指数型复合函数的奇偶性问题与恒成立综合

【题型111指数函数的综合性问题

【题型1］指数幕的运算

基础知识

【方法技巧】

(1)灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数赛形式去求解.

(2)运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母.

指数与根式的概念

1、n次方根的定义

(1)定义：一般地，如果x”=a,那么x叫做a的n次方根，其中〃>1,且〃eN*

(2)偶次方根的被开方数要为非负数

2、根式

(1)定义：式子标叫做根式，这里n叫做根指数，。叫做被开方数.

(2)性质：(n>l,且MN*)

lI-fa,〃为奇数，

(布)"=a;(折n)।为便将

间，〃为偶数.

3、分数指数瓢的意义

(1)分数指数森的意义

正分数指数解：规定：口9=0/

11

负分数指数赛：规定：a"=—=(a>0,/7z,zieN*,M>l)

an7a

(3)性质：0的正分数指数暴等于0,0的负分数指数露没有意义

4、分数指数氟的注意事项：

m加

(1)分数指数森是指数概念的又一推广，分数指数氟力?不可理解为一个1相乘，它是根式的一种

an

新的写法.

在这样的规定下，根式与分数指数恭是表示相同意义的量，只是形式不同而已.

(2)把根式海化成分数指数赛的形式时，不要轻易对丝进行约分.

(3)在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数森，

如(—5成=’(—5)2有意义,但(—5,=#(—57就没有意义.

5、无理数指数幕

一般地，无理数指数森(。>0,々为无理数)是一个确定的实数.

有理数指数氟的运算性质同样适用于无理数指数幕.

【注意】(1)对于无理数指数赛，我们只需要了解两点：

①它是一个确定的实数；②它是有理数指数赛无限逼近的结果.

(2)定义了无理数指数赛之后，赛的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围.

6、实数指数暴的运算性质

①aman=am+n(a>0/,s£R).

②("")"=a""?(a>O,r,seR).

③(3=ambm(。>0,6>0,reR).

1.(1)信)+(0.1尸+(2$，-100TT°;

(2)已知无+y=ll,xy=9,求三的值.

Y+y2

J_2

【解析】(1)=+io2+f—V-i00=-+100+--100--.

I9J{27J399

(2)因为x+y=ll,孙=9,

所以与+y7=Jx+y+21y=5ypf,f+y2=(x+y)-2xy=103,

£J

所以小+W_后

x2+y2103

【巩固练习1］化简或求值:

13

⑵(O.25p-(-2)2x(23p+lO(2-73)--10x305；

(3)(7+4@3_8俨+32=一2乂3]3+蚯x4r;

/21AAj_i_A/j_5\

(4)2a^b2-6a2+-3/加(a>0且〃>0).

【答案】(1)112；(2)21；(3)4；(4)4a

(-方㈢/J1(型

【解析】(1)原式二213^x1+(23)4x24+23X32=2+244+22x33=112.

121-111

(2)(0.25尸-(-2)卬237+10(2-百)-—10x3。，=[(5力2-(-2)7x2-2+10x--^-10x32

=2-4x-+l0(2+V3)-10^=21.

4

2

13

⑶(7+4@5-8F+325-2x+痒4-3

I7

12_211Lr-

(34+(25p-2x(2-3)-3+x(22)3=2+石-g+8-8+2=4.

(21Y1CA2x(-6)型」3

(4)2a3b2]\-6a2b3k-3a6Z>6=—^-a326&236=4a.

1£

【巩固练习2】已知出+”2=3,求下列各式的值.

3_3

(1)a+小；(2)a2+a2；(3)*+—.

a2+a2+3

2

【答案】(1)7;(2)47;(3)1

【解析】(1)将CL两TCI边—平方，得<7+/+2=9,

所以a+〃T=7.

(2)将”+QT=7两边平方，得4+〃-2+2=49,

所以/+/=47.

[

(3)*.*I_1_n~2-o,a+cT=7,/+Q2=47,

3_3<£\3,」\3(上_j_\

・，・/+a5=+a5=*+a(a-1+)=3x(7-1)=18,

33

•••+a+2__1_8__+_2___2_•

/+〃2+347+35

【巩固练习3】计算(一64放+[(—3)4,—(&一1)。+[3：=()

【解题思路】利用指数运算及根式运算计算即得.

[解答过程】(-64)3+[(-3)4]J-(V2-1)°+希=(-43)3+(34)1-1+[(|)3]5=-4+3-1+

3_1

2~2

故选：C.

【题型2】指数函数过定点问题

基础知识

指数函数图象都经过点（0，1）,y=ax+m+n恒过定点（-m,«+1）.

2.已知函数>=2武2一3">0且"1）的图象恒过定点P,则点尸的坐标为.

【答案】（2,-1）

【解析】令无一2=0,得x=2,贝I>=2。°一3=—1.

所以函数y=2优"一3（。>0且arl）的图象恒过定点尸（2,-1）.

【巩固练习1】函数/（"=。加+2（°>0且"1）的图象恒过定点（加用，则等于.

【答案】2

【解析】由x+l=0,即x=-l,得y=3,所以"z=-l,〃=3,所以帆+〃=-1+3=2

【巩固练习2】（2024•山东济宁•一模）已知函数y=ax-\a>0且aW1）的图象过定点A,且点A在

oq

直线〃优+2利=8（加>0,〃>0）上，则9一言的最小值是_____.

mn2m

【答案】三9

16

［解析】函数y=ax~l（a>。且〃w1）的图象过定点A（L1）,

贝1根+2〃=8,所以2〃=8—根，

fm>0

由"得0vmv8,

\2n=6-m>0

,83_163_32-3（8-m）_3m+8

mn2m2m2m（8-m）-2m2+16m

*_Q

令E=3M+8/£（8,32）,则m=—^~,

839t

时，取等号,

839

所以-------的最小值是一.

mn2m16

【题型3】求指数函数的解析式

基础知识

y二优

0<6!<1a>\

1

图

象

~~o\；一o]IX

①定义域R,值域(。，+8)

②〃=1,即时x=0,y=i,图象都经过(0，D点

性

③屋=a,即x=l时，V等于底数。

质

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤元<0时，ax>1;无>0时，0</<iXV。时，Ova'vl;x>0时，ax>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

3.已知y=/(x)是指数函数，若=而，则.

【答案】亚

【解析】设y=/(%)=a"(a>O,awl),

因为/1-g卜揖，即/=43，解得〃=/=；,所以=f^-^=2^=42.

312

【巩固练习1】已知函数/⑺=x声宝住ez)，若"X)为偶函数，且在(0,+8)是增函数,求〃X)的

解析式

【答案】/(x)=x2

q1

【解析】=/⑶在他+⑹上增函数，：.-+k--k2>0,解得一1〈女v3.

又•：keZ,：.k=b,l,2,

由f(x)为偶函数知左二1,.•./(%)=X2；

【巩固练习2】已知函数〃尤)是奇函数，且当x>0时，〃x)=10'+x+l,那么当x<0时，的

解析式是()

A.-^―+x-l

B.FX-1C.JV+1D.———x+1

10"10尤10%10x

【答案】B

【解析】当x<0时，则一x>0,所以〃-x)=l(TX—x+l,

又因为函数是奇函数，所以一/(-x)=/(x),

所以当x<0时/(X)=-IO-1+x-l=+.

【题型4】指数函数的图象及应用

基础知识

对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称

等变换得到，当时，指数函数丁=优的图像呈上升趋势；当0<QV1时，指数函数y=a"的

图像呈下降趋势.

4.(2024•黑龙江•二模)已知函数、=彳：，+6的图象经过原点，且无限接近直线>=2,但又

不与该直线相交，则必=()

A.-1B.-2C.-4D.-9

【答案】C

【解析】因为函数y=/(%)=a(g)W+b图象过原点，所以。(；)°+匕=0,

得a+b=0,又该函数图象无限接近直线y=2,且不与该直线相交，

所以人=2,贝|〃=—2,所以〃/?二一4.

5.函数①y=〃"；②y=b"；®y=cx；④丁二罐的图象如图所示，a,b,c,d分别是下列四个数:

G，!，；中的一个，则a，b,c,d的值分别是()

43/

【答案】C

【解析】直线％=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,而

所以〃，b,c,d的值分别是:，—,6,—,故选：C.

234

【巩固练习1］函数〃切=优一"的图像如图所示，其中。，人为常数，则下列结论正确的是()

A.a>l,b<0B.a>l,b>0C.0<a<l,b>0D.0<tz<l,b<0

【答案】D

【解析】由函数/(x)=a9的图像可知，

函数/(x)=o""在定义域上单调递减，

.-.0<a<l,排除AB选项；

函数/(刈="-〃图像是由>=优向左平移所得,

:.-b>0,.,.bvO.故D选项正确.

【巩固练习2］若函数"x)="+b的图象如图所示，且〃-1)=0,则实数“，匕的值可能为()

A.a=3,b=—3B.tz=—,b=——C.4=2,b=--D.a=—,b=—2

3322

【答案】C

【解析】由函数〃力="+6的图像，可得函数〃无)为单调递增函数，所以

又由/(T)=0,可得°一+6=0,可得=

结合选项，只有C项适合.故选：C.

【巩固练习3】如图，曲线①②③④分别是指数函数y=〃，y=bx,y=cx,>=优的图像，则实

A.a<b<c<dB.b<a<d<cC.d<c<b<a；D.c<d<a<b.

【答案】B

【解析】作出直线x=l,此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图，

【题型5】比较指数森的大小

基础知识

比较指数赛的大小

常用方法有：

(1)对于底数相同，指数不同的两个赛的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；

(2)对于底数不同，指数相同的两个赛的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；

(3)对于底数不同，且指数也不同的赛的大小比较，可先化为同底的两个赛，或者通过中间值来比

较.

22J_

6.若a==则火Ac的大小关系是()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

211

【解析】因为y=/在(0,+8)上单调递增，且

22

所以,j>(：3,即心"，

因为y=在R上单调递减，且■!>；,

2

所以,即c>“，

所以c>a>6,即6<a<c,故选：A

7.（2024・四川•模拟预测）设a=0.5/4,b=0.411,c=1.1%则（）

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【解题思路】根据指数函数、幕函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案.

【解答过程】因为指数函数y=0.5,是单调减函数，所以0.5L1<0.5°，4<0.5°=1,

又由赛函数y=在(0,+8)上单调增函数，所以1=I11>0.511>0.411,

又因为指数函数y=1,y是单调增函数，所以>1.1°=1,

综上可得：b<a<c

【巩固练习1】（2024•云南•二模）若”=2~2/=6，。=21，则（）

A.b>a>cB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【答案】D

【解析］因为q=2>21=2,c_23<2,

所以a>c,因为6=6一|=（<1,C=2；>2°=1，

所以。〉〃，所以a>c>b.

201920212019

【巩固练习2】设皿产，仁产，c=（图2产，则〃，A,c的大小关系是（）

（2022J^2022）（2022）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

2019.出向』*（,乂.母a

【解析】因为v_Y赤在（0,+刃）上单调递增，y2f019Y在R上单调递减

"X（2022）

201920192021

所以（四1产,坐产,3产，故a>c>6.故选：B

（2022）（2022）（2022）

【巩固练习3】已知a=2。//=0.33,c=0.3。/，则。也c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【答案】C

【解析】；y=0.3工是减函数,3>0.1>0,所以0.33<0.3°」<1,

又：.b<c<a.故选：C.

【题型6】解指数方程或不等式

基础知识

简单指数不等式的解法

1、形如々/⑺>/（行的不等式，可借助y="的单调性求解

2、形如a”“）>》的不等式，可将》化为以。为底数的指数幕的形式，再借助>=优的单调性求解

3、形如罐>，的不等式，可借助两函数y=优，y的图象求解

8.（2024•河北邯郸•一模）不等式10工-6,-3,21的解集为

【答案】［1,+s）

XXX

64

【解析】由10工一6*-3*21,可得I1+\<1

+W

XX

令"尤）=L1+6\+

W

因为y==均为R上单调递减函数

则〃x）在R上单调递减，且"1）=1,

.•./（x）</（l）,.-.Xfel

故不等式10'-6X-3'N1的解集为[1,+℃）.

【巩固练习1】若x满足不等式2"%I则函数y=2*的值域是（）

A.[-,2）B.[-,2]C.（-00,-]D.[2,+8）

888

【答案】B

[解析由2?+1<[j可得2?+1<=2"-2）,

因为y=2/在R上单调递增，所以d+l<-2x+4即/+2%-3<0,解得：-34x41,

所以2-3vy=2"V2,即函数y=2'的值域是1,2,故选：B.

_8_

4

【巩固练习2】已知函数〃制=?，那么不等式/（2》-3）</（5）的解集为.

【答案】（一1,4）

4

【解析】已知函数/（力=/，可知函数是增函数，且是偶函数，不等式〃2%-3）<〃5）等价于

—5<2x—3<5—1<x<4.

【巩固练习3]不等式9，-4*32+27<0的解集为.

【答案】[1,2]

【解析】不等式9'-4*3加+2740,可化为（3，『_12X3'+27W0,

即（3*-3）（3，-9）<0,解得343工49,

所以1WXW2,所以不等式9工一4'3恒+2740的解集为[1,2].

故答案为：口⑵.

【题型7】指数型复合函数单调性

基础知识

判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.

解决步骤

第一步：求函数的定义域.

第二步：将函数分解成内层函数和外层函数.

第三步：判断内层函数和外层函数的单调性.

第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性.

9.函数y=5*+4A3的单调递减区间是()

A.[2,+co)B.(-oo,2]C.(-℃,1]D.

【答案】A

【解析】设〃=-V+4X-3,在(-8,2]单调递增，在[2,+s)单调递减，

y=5"在(-8,+co)单调递增，

根据''同增异减”可得，函数y=5*+4A3的单调递减区间是[2,+⑹故选：A.

10.(2024・辽宁.一模)若函数〃尤)=3-2/+口在区间(1,4)内单调递减，则”的取值范围是()

A.(-oo,4]B.[4,16]C.(16,+oo)D.[16,+(»)

【答案】A

【分析】利用''同增异减''判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.

【详解】设〃a)=3",〃=一2，+办，贝厅(“)=3"在(-w,M)上单调递增.

因为/(%)=3口5在区间(1,4)内单调递减，所以函数u=-2/+6在区间(1,4)内单调递减，

结合二次函数的图象和性质，可得：-<1,解得a44.

11.(2024.福建福州.模拟预测)设函数f(x)=3"期在区间(1,2)上单调递减，则。的取值范围是()

A.(-co,2]B.(-co,4]C.[2,+oo)D.[4,+oo)

【答案】D

【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.

【详解】函数y=3,在R上单调递增，而函数/(力=3.必在区间(1,2)上单调递减，

所以y=|2x—4在区间(1,2)单调递减，所以弓22,解得aN4.

(1N2X2—3x+l

【巩固练习1]函数g的单调递减区间为()

“、r3i/八「3、

A.(1,+8)B.l-oo,-C.(-00,1)D.-,+ooI

【答案】D

【解析】因为函数y=2/一3x+l在区间，co,：)上单调递减，在上单调递增,

函数y=I在定义域内是单调递减函数,

所以，根据复合函数单调性法则“同增异减''得:

2

/]x2x—3x+l的单调递减区间为?,+＜»）.故选：D

312

【巩固练习2】已知函数〃尤）=/+匕-优eZ），若外力在（0,+©）上减函数,求左的取值范围.

【答案】{%归＜-1或左＞3且％eZ}.

【解析】若〃力在（0,+8）上减函数，贝4左一;1左2＜。，

解得左＜一1或左＞3（%eZ）,

即左的取值范围是{8％＜T或左＞3且％eZ}.

【巩固练习3】（2023•重庆巴蜀中学高一校考）已知函数了（幻=G4'一（。-2）2'+1在（-2,+co）上单

调递增，则。的取值范围为（）

A.[0,4]B.（0,4]C.[2,+oo）D.{0}U[2,+oo）

【答案】A

【分析】令f=2",利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性求解即可.

【详解】令f=2、，贝'Jy=ut~—（a—2）f+1,

当xe（-2,+co）时，r=2,单调递增，且//，

4

当a=0时，y=a/2-（（?-2）/+1=2/+1,当时单调递增，

则函数/（尤）在（-2,+co）上单调递增，符合题意；

Q—2

当〃＞0时，y=at2一（〃一2）/+1的对称轴为t=----,

2a

a-21

由题意----0—=＞0＜。（4,

2a4

Z7—2

当。＜0时，y=〃/一（。一2"+1表示开口向下的抛物线，对称轴为t=----,

2a

在野,+8上单调递减，不符合题意，综上，0WaW4.

【题型8】指数型函数的值域问题

基础知识J

解决步骤

第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数.

第二步：由自变量的范围求内层函数的值域.

第三步：由内层函数的值域求外层函数的值域.

12.函数/（幻=2*3,尤e[0,3]的值域是（）

A.1,8B.S,8]C.D.（0,8]

【答案】A

【解析】令g（t）=f—2x,xe[0,3],则g⑺e[g⑴,g⑶卜[-1,3],则〃"©"曾卜8,

故选：A.

【巩固练习1】函数y=。1+2用的值域是.

4

【答案】（0,々]

16

【解析】依题意，X2+2X+3=（X+1）2+2＞2,当且仅当x=-l时取等号，而函数y=d『在R上单

4

调递减，

因此0＜（[）,+2，+3＜（〈）2=上，

4416

所以函数y=（-）?+2x+3的值域是（0,—].

【巩固练习2】已知函数/（耳=4'-2*+4,xe[-l.l],则函数y=〃x）的值域为（）.

1313

A.[3,+oo）B.[3,4]C.3,—D.—,4

【答案】B

【解析】依题意，函数f（x）=（2，）2_2x2，+4,%e[-l,l],

令2*=/,贝"=2工在上单调递增，即

于是有y=/一2%+4=Q—1）2+3,当，=1时，＞min=3,此时X=0,7（X）疝11=3,

当/=2时，＞max=4,此时％=1,f（%）max=4,

所以函数丁=/（力的值域为[3,4].故选：B

【巩固练习3]函数/（工）=9一“+]在上的值域为.

,.・X£[-1,+OO）贝1令”II«0司

qf375

）=产+3，+^在（°，3]递增，*'•yeI

【题型9】指数函数的实际应用

基础知识

1、在自然科学中，指数函数常常用于描述增长或衰减的过程，比如生物群落的增长、放射性物质的

衰变等。

2、在经济学中，指数函数也可以用来描述复利增长，即资金按比例增长的情况。

指数函数在数学和现实生活中都有重要的应用，对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力。

13.心理学家有时用函数L（r）=250（l-e-）来测定人们在时间f（min）内能够记忆的单词量入，其中

上表示记忆率.心理学家测定某学生在lOmin内能够记忆50个单词，则该学生在30min从能记忆

的单词个数为（）

A.150B.128C.122D.61

【答案】C

【分析】根据已知可求出「°*=g,再代入f=30即可求出.

【详解】由题可得“10）=250（1-「仪）=50,则

所以L（30）=250（l—e-3"）=250l-fe-10"）3]=250x1-^=122,

即该学生在30min从能记忆的单词个数为122.

14.（2024.安徽合肥・二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间

被称做半衰期，记为T（单位:天）.铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为工，4,开

始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的:，则工区满足

的关系式为（）

c512512c512512

B丁可

A•7=可-2+

C,512,512D.2+1%芋=1吗半

C.-2+log2—=log2—

【答案】B

【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1,可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出

等式即可得答案.

【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1,

512512

则512天后，甲的质量为：（；）不，乙的质量为：（；）可，

512512512

由题意可得（好弓.（$不=$丁,

〜C512512

所以2+^-=^^.

【巩固练习1】已知某种果蔬的有效保鲜时间丫（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）近似满

足函数关系yne"“（。，6为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在4（的保鲜时间为216小时,

在16℃的有效保鲜时间为8小时，那么在8。。时，该果蔬的有效保鲜时间大约为小时.

【答案】72

【分析】根据已知条件求得e，eb,进而求得正确答案.

4a+z,

f216=e31

【详解】依题意69，两式相除得27=ee=(L"),-=3,/=.，

Io—eD

则216=e4fl+"=e.・e"='•e'/=648,

3

21

所以当x=8℃时，y=eSa+b=e8a-e6=(e4fl)-e6=-x648=72d'.

【巩固练习2】某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，。个这种病毒在f天后将繁殖到ae〃个.已知

经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍.且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则加=（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

【分析】根据指数式的运算求解.

【详解】由题可知，，所以e^=2,

经过:〃+4天，数量变为原来的16倍，即〃/（"+4）=16。，

44162

则有e"'"4）=i6=2=（e^『=e,解得相=12

【巩固练习3】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是4c,空气的温度是,那么rmin

后物体的温度。（单位：。c）可由公式e=q+（a-功》必求得，其中左是一个随着物体与空气的接

触情况而定的正常数.现有63°。的物体，放在15°。的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是39P.要

使物体的温度变为21℃,还要经过分钟.

【答案】120

【分析】先把现有63℃的物体，放在15c的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是39℃代入公式

夕=%+(4-4》石，再列出此物体的温度变为21℃时的关系式，联立二式组成方程组，解之即可求

得要使物体的温度变为21℃,还要经过的时间.

【详解】：现有63°。的物体，放在15℃的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是39℃,

15+(63-15儿3=39,即十仇=：①，

要使物体的温度变为21℃,则15+48eq=21,即②，

8

e-6M=-

联立①②，解得"180,

e一打=—

18

故还要经过180-60=120分钟.

【题型10］指数型复合函数的奇偶性问题与恒成立综合

基础知识

1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

(1)函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；

(2)分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的

图象，再利用数形结合的方法来解决.

2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层

是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律

求解.

⑸已知函数^为定义在R上的奇函数，求实数如〃的值.

【答案】m=-l,n=l

【解析】由于/(x)是定义在R上的奇函数，

所以/(0)=建1=0,加=一1,所以〃切=2,+,

由于是奇函数，所以/(T)=-/(X),

所以同人，2「「11一2、二2"-1

以)Tx+nl+n-r2x+n'

1-2X1-2X2X-12x+l-2।2

---------=--------y所以/(%)=亦------1-----

l+n-2x2X+2X+12X+1

16.（2024・贵州毕节・三模）已知函数/（外=史二是奇函数，若了（2023）＞/（2024）,则实数。的值

cx+a

为（）

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.

【详解】因为函数〃%）=吐@是奇函数，

ex+a

e*—a1—ae”e"—aa-e”

所以/（一%）==-/w=-

e~x+a1+aexex+aex+a

解得a=±l,

rc,、e"—〃e"+a—2。.2a

又f(x)=-------=--------------=1----------,

ex+aex+aex+a

所以当a>0时，函数为增函数，当a<0时，函数为减函数,

因为“2023)>“2024),

所以a<0,故a=—1.

17.已知函数/（力=4-公公伍＞0）是奇函数，且〃1）=：

⑴求a,左的值；

⑵若Vxe[l,2],不等式〃2x）+匈'（x"。恒成立，求加的取值范围.

【解析】⑴•.•〃力="一小/是奇函数n/（0）=0nk=1,

经检验当k=1时，f（^）=ax-a~x,f（-x）=ax-ax=一/（%）"（九）是奇函数符合题意，

311

又/⑴=5=a—na=2或a=-]（舍），

・•・小）=2，-2-，；

（2）/（2x）+"矿（x）20=2〃-廿+m（2v-2-v）＞0,

即m（2A-2-A）＞（2一工+2,（2--2V）,

又x且1,2],2,-2一，＞0,故相2-（2'+2一'）恒成立，

令”2',因为xe[l,2],故re[2,4],由对勾函数性质可得g⑺=-1+"在re[2,4]上单调递减,

■■■gOOmax=g（2）=m＞me-|,+«1

竺二二是奇函数.

【巩固练习1】己知定义域为R的函数/(x)=

n+3x

(1)求加，"的值;

(2)若存在re[0,4],使/卜-2/)+/(4-2巧<0成立，求上的取值范围.

【答案】(1)〃Z=1,M=l；(2)(-1,+℃).

【分析】(1)由"0)=0及/(-1)=—/⑴即可求解；

(2)求出函数f(x)的单调性，不等式可转化为左>4今，根据二次函数的最值即可求解.

【详解】(1)因为函数是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,

即"一=0,所以m=1,又因为=—/⑴，

〃+1

1

m-om-3

所以----=----1招•机=1代入，解得〃=1,

〃+,1一〃+3

3

经检验符合题意，所以，m=l,n=l.

(2)由(1)知：函数/(%)=±±=二&⑴1^=_1+工，

XX

」1+31+31+3”

所以函数/(元)在R上是减函数.

因为存在yo,4],使/伏一2巧+y(4-2产)<0成立，

又因为函数/'(X)是定义在R上的奇函数，

所以不等式可转化为/(左-2/)</(2?-4f),

又因为函数/'(x)在R上是减函数，所以k-2产>2『-4r,

所以左>4产-4/,令g(/)=4产—4/,

题意可知：问题等价转化为上〉g").,

又因为g(t)mM=g[g)=-l,所以％>—1,故左的取值范围为(-1,+CO).

【巩固练习2】已知函数/(力=加一2ax+b(a>0)在区间[0,3]上有最小值2和最大值10.

(1)求。，6的值；

⑵设g(x)=?，若不等式g(2*)+左220在xe[T,0]上恒成立，求实数上的取值范围.

【解析】(1)/(%)=g2一2双十6的对称轴为X=1,因为〃〉0,

所以在区间[0,3]上最小值为/(1),最大值为〃3),

a—2a+b=2,a=2

解得

9a—6a+b=10,0=4

(2)由(1)可得g(x)=2尤+，一4,所以g(2*)+h2*N0可化为公2'2-2-2*-?+4,

化为％2—2—4/‘1+4--.令.=4贝1|左2-4〃+4r-2,

12VJ2，2

因为工£[—1,0],故，E[1,2],记/?(♦)=—4『+4，—2,

故如)3=MD=—2，所以实数上的取值范围是[-2,内).

【巩固练习3】已知函数/(%)=-％2+3x+5,g(%)=2x+Q,若V再£[0,2],Hx2£[2,3],使得

/a)<g(%)，则实数〃的取值范围是.

3

【答案】

4

【解析】当xe[0,2]时，/(了)=_苫2+3尤+5=-1无一]+彳，

.•.当彳=5时，/(Wmax=/[]J=7，

当xe[2,3]时，g(x)=2*+。为增函数，

所以x=3时，g(x)取得最大值g(3)=8+a,

:对e[0,2],3%2w[2,3],使得〃占)<8伍)，

/./(©max<g(x)max,

293

—<8+a,解得a>—.

44

【巩固练习4]已知定义在R上的函数〃同=产-广*+(%-1)3+尤,满足不等式

f(2x—4)+/(2-3x)22,则x的取值范围是.

【答案】(v,T]

【分析】由函数解析式可令〃(x)=f(x)T,且/z(x)是R上的增函数并关于点(1,0)成中心对称，将

不等式变形即可求得〃(2X-4)2/7(3X),解得尤WT.

【详解】易知函数y=eI,y=-eI,y=(尤-l)3,y=尤在R上为单调性递增，

即可得/(x)=e^-e1-"+(x-Ip+x是R上的增函数，

々〃(x)=/(x)-l=ei-ei+(x-l)3+x-l,贝|/z(x)是R上的增函数,

易知/z(2_%)=eir_exT+(l—x)3+]_%=—/z(x),可得力(2_%)+"(x)=0,

即MX)的图象关于点(i,o)成中心对称，

由)(2*—4)+)(2—3对22可得)(2彳一4)-