新高考新结构命题下的解三角形解答题综合训练（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第12讲新高考新结构命题下的

解三角形解答题综合训练

(10类核心考点精讲精练)

I传.考情探究•

在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一

场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。

当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质

量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：

(1)三考

题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实

际水平。

(2)三重

强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独

特见解和创造力。

(3)三突出

试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思

考和探索，培养逻辑思维和创新能力。

面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。解三角形版

块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适

中，易于学生入手。然而，同样不能忽视的是，解三角形版块也可能被置于第16、17题这样的中等大题中，

此时的分值将提升至15分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。

面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能

涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新

结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南,

以期在新高考中取得更好的成绩。

考点一、面积及最值

1.(2024•河南焦作,模拟预测)记的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知点尸为线段/C上

的一点，且/尸=2CF,BF=2,asin/+csinC-6sin3=—asinC.

(1)求cos/48c的值；

(2)求。8C面积的最大值.

2.(2024•贵州铜仁•模拟预测)在AASC中，已知tan/+tan3+l=tan/-tan3,AB=2亚，AC=2A/3.

⑴求角8；

(2)若A48c为锐角三角形，S.GA+GB+GC=0,求△G4B的面积.

3.(2024•全国•模拟预测)在。8C中，AB=2BC.

3

(1)若cos8=—,求tan/；

(2)若NC=2,求“8C面积的最大值.

4.(2024・全国•模拟预测)在。8C中，内角4及。的对边分别为已知

cos2B-cos2ZBAC-2sinC(sinC-siirB).

⑴求/B/C.

(2)若点。为边2C的中点，且/。=2,求面积的最大值.

5.(2024・全国,模拟预测)在左18。中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,且a=l.

兀

(1)若C-8=五，c=6bsinC，求6;

(2^(a+bXsi*-sinS)=(c-b)sinC,求"BC的面积S的最大值.

考点二、周长及最值

1.(23-24高三,河北沧州,模拟)”8C的内角A,B,C的对边分别为叫b,c,^tanAasmB^

1+tanAb

⑴求角A的大小；

(2)若6+c=®,AA8C的面积为毡，求“BC的周长.

3

2.(2024•河南新乡•二模)已知。3C的内角4瓦。的对边分别为a,6,c,您£=詈4.

c4b-a

⑴求sinC的值；

⑵若“8C的面积为避1,且a+b=^c,求“8C的周长.

23

3.(2024・陕西•模拟预测)”8C的内角4模C的对边分别为0,内c,==..

a-bsinC+sinn

⑴求C;

(2)若a+6=6,求AA8C的周长最小值.

4.(2024・全国•模拟预测)己知函数〃x)=4sin(x+jcosx-l.

⑴求的最小正周期与图象的对称中心；

⑵在A/BC中，/(/)=1,8C=4,求“8C周长的取值范围.

5.(2024・陕西汉中•二模)在O8C中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,请从下列条件中选择一个条

件作答：(注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.)

①记"BC的面积为S,S.43AB-AC=2S;②己知asin8=bcos(N-2).

6

⑴求角/的大小；

⑵若。8C为锐角三角形，且口=而，求”BC周长的取值范围.

考点三、边长、线段及最值

1.(2024•陕西西安・模拟预测)在平面四边形N3CZ)中，NCBD=30。，ABAD=60°,BC=4,BD=20.

(1)若40=48,求A/CD的面积.

⑵求NC的最大值.

2.(2024•全国，模拟预测)在锐角中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且

acosB=6(l+cos/).

⑴证明：4=2B；

(2)求色的取值范围.

a

3.(2024•江苏扬州•模拟预测)记A/BC的内角4瓦C的对边分别为凡上c,若(a+6+c)(a+6-c)=3,且

“BC的面积为述.

4

⑴求角C;

(2)若赤=2丽，求|。回的最小值.

4.(2024•江西鹰潭•二模)”3C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,满足匕*=誓.

cosAcosB

7T

⑴求证：A+1B=~.

272

(2)求J匕的最小值.

c

5.(2024・全国•一模)已知“BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且/。是8C边上的

高.(sinA-sinB\a+6)=(c_726)sinC.

⑴求角4

(2)若sin(B-C)=^~,a=5,求ZD.

6.(2024•陕西西安•模拟预测)在A/BC中，角48,C的对边分别为已知

V3

sin/=sinCcosB------sinBsinC,

3

⑴求角C的大小；

⑵若C的角平分线交28于点。，且CD=2,求。+26的最小值，

考点四、三角函数值及最值

1.(2024•上海・三模)已知在“8C中，角48,C所对的边分别为仇c,6=l,且满足

2acosB=cosC+ccosB.

(1)若4=生叵，求。3C的面积S;

13

(2)求a+2c的最大值，并求其取得最大值时cosC的值.

2.(2024・全国•模拟预测)设的内角A,B,C的对边分别为6,c,若

2sin2C=cosC•cos(4-2)+1.

⑴求且4区的值；

C

(2)若。8C为锐角三角形，求cosC的取值范围.

3.(2024・广东广州•模拟预测)记AABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知

JI

bsin5+csinC—asinZ=26sin8sinC且Cw—.

2

TT

⑴求证：B=A+2；

(2)求cos/+sin8+sinC的取值范围.

4.(23-24高三上•重庆•阶段练习)在。3C中，内角4属。所对的边分别为。，4c,满足b=a-26cosC

(1)求证：C=2B；

(2)若AABC为锐角三角形，求2sinC+cosB-sinB的最大值.

5.(23-24高三上•重庆•阶段练习)在。3c中，内角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知

2acsin7l+矿+c~—b2=0•

7T

(1)若4a=2,求的面积;

6

4sin2C+3sin2^4+2

⑵求的最小值，并求出此时5的大小.

sin25

考点五、内切圆、外接圆半径问题

1.(22-23高一下•浙江•阶段练习)在“BC中，角4瓦。的对边分别为。力4,在以下条件中选择一个条件:

①a+c=26sin(c+£j；②(b+c)(siri8-sinC)=(a-c)sitk4；(3)(2a-c)cosS=bcosC.求解以下问题.(选

择多个条件的，以所选的第一个计分)

⑴求角B；

(2)若a+c=4g,且而.元=6，求"8C的内切圆半径.

2.(2024・全国•模拟预测)已知AABC中，角A,B,C的对边分别是。，b,c,

6b-csin4=macosC■

⑴求角A的大小；

(2)若。=7,"BC外接圆的半径为R,内切圆半径为一，求工的最小值.

r

2.3.(2022・湖北•三模)在A/8C中，内角4瓦。所对的边分别为。，b,c,已知6万•就=25想度，

b+c=S.

⑴求角A的大小；

（2）求A48C外接圆半径的最小值.

4.4.（2024・吉林・二模）已知“8C的三个内角4瓦。的对边分别为的外接圆半径为百，且

sin2B+sin2C-sinBsinC=sin2A-

⑴求。；

（2）求。8C的内切圆半径厂的取值范围

5.（2023•广西南宁•一模）在“8C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,且

sin4+sin5_b-c

sinCb-a

⑴求。BC的外接圆半径及；

⑵求AABC内切圆半径r的取值范围.

6.（2023・山东•一模）如图，平面四边形ZBCQ中，AD=5,CD=3,ZADC=120°.的内角

辽ri」八…、.7„_a+bsiivl-sinC

的对边分别为a,Ac,且满足----~—•

⑴判断四边形23CD是否有外接圆？若有，求其半径R;若无，说明理由；

⑵求A/BC内切圆半径厂的取值范围.

考点六、中线、角平分线、高线问题

1.（2024,四川成都,三模）在AABC中，BC=5,AC=6,cosB=—.

8

⑴求43的长;

⑵求ZC边上的高.

2.（23-24高三上•河北保定•阶段练习）记。8C的内角4瓦。的对边分别为见仇c,面积为S,且

abc

3----.

4

⑴求AABC的外接圆的半径；

，7T

（2）若6+c=2,S.A=—,求2C边上的高.

「cos//c

3.(23-24高三上•黑龙江•期中)在“BC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,-----—=0.

acosc2b-c

⑴求角A；

(2)若a=2,求BC边上高的最大值.

4.(2023・广东广州•模拟预测)在锐角“8C中，角45C所对的边分别为a,6,c,且

2c2=(/+c2-Z?2)(tarU+tan5).

⑴求角A的大小；

(2)若边"=亚，边8C的中点为。，求中线长的取值范围.

5.2023•浙江•模拟预测)在AABC中，角4民C的对边分别为c且6cosc+csin3=a,—:十支一=6后,

smA+2sinB

⑴求b；

⑵求NC边上中线长的取值范围.

6.(2023•安徽马鞍山■模拟预测)在①("6)sin(/+C)=(a-c)(siiL4+sinC)；②2atan8=6(tan8+tanC)；

③sin("jcos(c+升;，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在O8C中，内

角A,B,C的对边分别为。，b,c,且满足.

⑴求C；

(2)若。8C的面积为5』，。为4C的中点，求8。的最小值.

7.(23-24高一下•辽宁・期中)在“8C中，内角/,B,C的对边分别是a,b,c,且sinC+6cosc=a,

b=A/3.

⑴若a+c=2,求边/C上的角平分线8。长；

(2)若。8C为锐角三角形，求边/C上的中线5E的取值范围.

8.(23-24高一下•四川成都•期中)已知AA8C的内角A,B,C的对边为a,b,c,且

3(sinA-sinB)3c-2b

•二=i-，

smCa+b

⑴求sinA；

(2)若A/BC的面积为

①已知E为2C的中点，且6+c=8,求zUBC底边上中线4E的长：

②求内角A的角平分线长的最大值.

考点七、三角形中的证明问题

1.(2024•内蒙古包头•一模)如图，在。8C中，ZABC=90°,。是斜边NC上的一点，AB=^3AD,

BC=46.

B

⑴若ZDBC=60。，求ZADB和DA；

(2)若BD=6.，证明：CD=IDA.

2.(2022・广东•二模)如图，已知A42c内有一点P,满足NPAB=NPBC=NPCA=a.

(1)证明：PBsinABC=ABsina.

(2)若//2C=90。，AB=BC=\,求PC.

3.（22-23高一下•北京•期中）在中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且土心sirU+siri5

asinC+siiiS

⑴求角。的大小;

⑵CD为A4C8的内角平分线，且CD与直线N8交于点D

(i)求证:丝=江

BDBC

(ii)若。=2,c=V19,求CD的长.

4.（2024•全国,模拟预测）在。3c中，点。，E都是边2C上且与8,C不重合的点，且点。在2,E之间,

AEACBD=ADABCE.

⑴求证：sin/BAD=sinZCAE.

AD2AE22

(2)^ABIAC,求证:---------1--------------------------------

BD2CE21-sinZDAE

5.（2022・湖北•模拟预测）已知。BC的外心为。，”,N为线段/8,/C上的两点，且O恰为跖V中点.

⑴证明：\AM\-\MB^\AN\-\NC\

（2）若12。|=6，\OM\=1,求青”的最大值.

'△ABC

6.（22-23高一下•山东枣庄•期中）AABC中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c.已知

4asinA=bsinCcosA+csinAcosB.

siih4

⑴求的值;

sinC

(2)若BD是//8C的角平分线.

(i)证明：BD2=BABC-DADC;

(ii)若。=1,求5D2C的最大值.

考点八、图形类综合

1.(23-24高三上•河南•阶段练习)已知平面四边形/8DC中，对角线C8为钝角//CD的平分线，CB马

AD相交于点。，AC=5,AD=7,cosZACD=-^.

(2)若BC=BD,求的面积.

2.(21-22高三上•广东珠海•期末)在。BC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且

a=6（百sinC+cosC

⑴求3;

(2)已知8c=2g,。为边42上的一点，若AD=1,N/CZ»=；,求/C的长.

3.(23-24高三上・江苏扬州•阶段练习)如图，在AA8C中，角N,B,C所对的边分别为。，b,c,且

bsin4+a=6acosB.

⑴求3;

(2)已知3。=26，。为边48上的一点，若BD=l,ZACD=—,求4C的长.

4.如图，在“BC中，ZABC=90°,AB=C,BC=1,P为内一点，ZBPC=90°.

c

（1）^PC=—,求PN;

2

（2）若N/PB=120。，求的面积S.

5.（2023・河南信阳•模拟预测）在AASC中，NR4c=60。，”8C的面积为106，。为2C的中点,

DE_LAC于点、E,DFL4B于点、F.

(1)求血/的面积；

(2)若AD=,求sinZABC+sinZACB的值.

2

考点九、参数类问题

1.（2024•全国•模拟预测）在锐角三角形N8C中，角4瓦。所对的边分别为J且

QsinC=c（2sin5—cos/tanC）.

⑴求C;

⑵若方=4而（4>0）,且N5CD=；,求实数4的取值范围.

2.（2023•全国模拟预测）已知在中,角4民。所对的边分别为。也。，且

bcos（电+4]+sin（兀+5）J-------=0.

（2）17V1-COS2C

⑴求csiib4的值；

（2）若2（bsinC-atanC）=ctanC,且葭加上文，求实数％的取值范围.

3.（2023•湖北咸宁•模拟预测）在“BC中,角4瓦C所对的边分别为见6,。，满足6cosc+c=26,a=3.

⑴证明：08c外接圆的半径为百；

（2）若2%谢+26?+1Ie?）恒成立，求实数f的取值范围.

4.(2024•江苏苏州•三模)在AABC中,内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且a*6,c=l.

(1)若|而+而H方1,2sin/=sinC,求及4BC的面积；

a—h

(2)若358-005/=;一，求使得a>a+6恒成立时，实数加的最小值.

考点十、解三角形与其他知识点杂糅问题

1.(2022•陕西宝鸡•模拟预测)已知力=(cosx,cosx),彼=(氐iiw,-cosx),f(x)=a-b,

⑴求/(x)的单调递增区间；

(2)设O8C的内角48,C所对的边分别为a,6,c,若/(/)=；,且.=退，求〃+02的取值范围.

2.(2022•山东淄博•模拟预测)记A/3C的内角N,B,C的对边分别为a,b,c,满足

(tan^—sinC)(tanB-sinC)=sin2C.

⑴求证：c-=ab-,

(2)若a+6=3,求石.赤的最小值.

3.(2022•江苏南通•模拟预测)已知圆的内接四边形ABC。中，AB=AD=2®，BC=2,CD=2