2024-2025学年甘肃省兰州八十一中九年级（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省兰州八十一中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是(

)A.当AC=BD时，四边形ABCD是矩形

B.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形

C.当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形

D.当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为(    )．

A.5cm B.10cm C.14cm D.20cm3.如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB=30°，AB=8，则MN的长为(

)A.2

B.4

C.8

D.164.菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于12BC长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF交BC于点M，连接OM，若∠BAD=120°，OM=3，则AC的长为(

)A.3

B.4

C.5

D.65.在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，903班共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别的可能性相同，那么小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是(

)A.12 B.14 C.186.用配方法解一元二次方程x2−2x−2023=0，将它转化为(x+a)2=b的形式，则A.−2024 B.2024 C.−1 D.17.已知3是关于x的方程x2−ax+2a=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为(

)A.9 B.12 C.12或15 D.158.若一元二次方程x2−2x−m=0无实数根，则一次函数y=(m+1)x+m−1的图象不经过(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF的值为(

)A.8

B.4

C.12

D.1610.如图，在△ABC中，D，E分别为边AC，AB上的点，∠ADE=∠ABC，若AB=2AD，则S△ADES四边形BEDC的值为A.12 B.14 C.1311.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，BC=CD=8，过点B作EB⊥AB，交CD于点E.若DE=6，则AD的长为(

)A.6

B.8

C.9

D.1012.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为(

)A.2

B.2.2

C.2.4

D.2.5二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE//BD，DE//AC.若AC=4，则四边形CODE的周长是______．14.在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高度为1m，那么它的下部应设计的高度为______．15.如图所示，一张矩形纸片ABCD的长BC=x，宽AB=2，沿EF将矩形纸片ABCD剪成大小相同的两个小矩形，若剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，则原矩形的长x的值为______．16.背面完全相同的四张卡片，正面分别写着数字−4，−1，2，3，背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为m，再从余下的卡片中随机抽取一张，将卡片上的数字记为n，则点P(m,n)在第四象限的概率为______．三、计算题：本大题共1小题，共6分。17.已知a2+2a+b2−6b+10=0，求a四、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题8分)

用适当的方法解下列方程：

(1)x2+4x−3=0；

19.(本小题6分)

如图，已知DE//BC，FE//CD．

(1)若AF=3，AD=5，AE=4.求CE的长；

(2)求证：AFFD=AD20.(本小题6分)

如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．

(1)求证：四边形BFDE是矩形；

(2)若AF平分∠DAB，CF=3，BF=4，求DF长．21.(本小题6分)

“一寸光阴不可轻，最是书香能致远.”阅读是美好的，阅读是快乐的.某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张卡片(除编号和人物肖像外其余完全相同)，活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事.游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为x，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为y.若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲．

(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，列出(x,y)所有可能出现的结果；

(2)你认为这个游戏是否公平？请说明理由．22.(本小题6分)

2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．

(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；

(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？23.(本小题6分)

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，过D作DE//AC，DF//AB分别交AB、AC于点E、F．

(1)求证：四边形AEDF为菱形；

(2)若AC=8，DC=4，连接EF，求EF的长．24.(本小题6分)

某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32m的点C处(即AC=32m)，然后沿直线AC后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合(如图)，根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1=∠2.若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5m，CD=3m，求旗杆AB的高度．(要有证明过程，再求值)25.(本小题7分)

已知：如图，D，E，F分别是△ABC的AB，AC，BC边上的点，DE//BC，DF//AC．

(1)求证：△ADE∽△DBF．

(2)若ADAB=25，S△BDF=9cm26.(本小题7分)

已知关于x的一元二次方程(a+c)x2−2bx+(a−c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

(1)如果x=1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果△ABC27.(本小题8分)

定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β=100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．

(1)如图1，△ABC中，∠ACB=80°，BD平分∠ABC．

求证：△ABD为“奇妙三角形”

(2)若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C=80°.求证：△ABC是直角三角形；

(3)如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A=40°，直接写出∠C的度数．

参考答案1.D

2.D

3.B

4.D

5.B

6.D

7.D

8.A

9.A

10.C

11.D

12.C

13.8

14.(15.216.1317.解：∵a2+2a+b2−6b+10=0，

∴(a+1)2+(b−3)2=018.解：(1)移项得：x2+4x=3，

配方得：x2+4x+4=3+4，

即：(x+2)2=7，

开方得：x+2=±7，

∴x1=7−2,x2=−7−2；

(2)19.(1)解：由题意可知：DF=AD−AF=5−3=2，

∵FE//CD，

∴AFDF=AEEC，

即32=4EC，

∴CE=83；

(2)证明：由题意可知：AD20.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB/​/DC，

∵DF=BE，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四边形BFDE是矩形；

(2)解：∵四边形BFDE是矩形，

∴∠BFD=90°，

∴∠BFC=90°，

在Rt△BCF中，CF=3，BF=4，

∴BC=5，

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF=∠BAF，

∵AB/​/DC，

∴∠DFA=∠BAF，

∴∠DAF=∠DFA，

∴AD=DF，

∵AD=BC，

∴DF=BC，

∴DF=5．

21.解：(1)列表如下：ABCDA(B,A)(C,A)(D,A)B(A,B)(C,B)(D,B)C(A,C)(B,C)(D,C)D(A,D)(B,D)(C,D)共有12种等可能的结果；

(2)游戏规则公平，理由如下：

由表知，他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果有6种，

∴由小东讲的概率为612=12，

则由小华讲的概率为1−12=122.解：(1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，

根据题意得：256(1+x)2=400，

解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不符合题意，舍去)．

答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；

(2)设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为(y−35)元，月销售量为400+20(58−y)=(1560−20y)件，

根据题意得：(y−35)(1560−20y)=8400，

整理得：y2−113y+3150=0，

解得：y1=50，23.(1)证明：∵DE/​/AC，DF/​/AB，

∴四边形四边形AEDF为平行四边形，∠BAD=∠FDA，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠FDA=∠CAD，

∴AF=DF，

∴平行四边形AEDF为菱形；

(2)解：∵∠C=90°，AC=8，DC=4，

∴AD=AC2+DC2=82+42=45，

由(1)可知，AF=DF，四边形AEDF为菱形，

∴OA=OD=12AD=25，OE=OF，AD⊥EF，

设AF=DF=x，则CF=AC−AF=8−x，

在Rt△CDF中，由勾股定理得：DC2+C24.解：∵法线l⊥AD，∠1=∠2，

∴∠ECD=∠BCA，

又∵∠EDC=∠BAC=90°，

∴△ECD∽△BCA，

∴EDAB=DCAC，

∵DE=1.5m，CD=3m，AC=32m，

∴1.5AB=332，

25.(1)证明：∵DE/​/BC，DF/​/AC，

∴∠ADE=∠DBF，∠AED=∠C，∠DFB=∠C，

∴∠AED=∠DFB，

∴△ADE∽△DBF．

(2)解：∵ADAB=25，

∴ADBD=23．

又∵△ADE∽△DBF，

∴S△ADES△DBF=(ADBD)2=49，而S△BDF=9，

∴S△ADE26.解：(1)△ABC是等腰三角形，

理由是：∵把x=1代入方程(a+c)x2−2bx+(a−c)=0得：a+c−2b+a−c=0，

∴2a=2b，

∴a=b，

∴△ABC的形状是等腰三角形；

(2)∵△ABC是等边三角形，

∴a=b=c，

∵(a+c)x2−2bx+(a−c)=0，

∴(a+a)x2−2ax+a−a=0，

即x2−x=0，

解得：27.(1)证明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠ABD．

在△ABC中，∵∠