2024八年级数学上册第2章三角形2.4线段的垂直平分线1线段的垂直平分线上课课件新版湘教版

2.4线段的垂直平分线（1）湘教版八年级上1.认识线段的垂直平分线，理解其概念；2.能推导出线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；3.能运用线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；

4.通过活动，学会交流思维过程和结果，增强合作意识.等腰三角形是以

所在的直线为对称轴的轴对称图形，等腰三角形的顶角平分线与底边上的

、

重合(简称“

”).高线中线顶角平分线三线合一如右图，如果直线l是等腰△ABC的对称轴，那么直线l与线段BC有什么关系呢？对于线段来说，直线l这样的直线有什么性质呢？

如右图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？AD=A′D，l⊥AA′.AA′Dl12

我们可以把人字形屋顶进行简化得到下面右边的图.已知点A与点A′关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直线既平分线段AA′，又垂直线段AA′.我们把：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.AA′Dl12

如右图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA,PB，线段PA,PB之间有什么关系？PABlPABl

作关于直线l的轴反射(即沿直线l对折),由于l是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合，从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.由此得到线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？

因为点P可能在线段AB上，也可能在线段AB外，所以探讨上述问题，要分两种情况讨论当PA=PB时，点P是否都在线段AB的垂直平分线上。ABP(1)当点P在线段AB时，因为PA=PB，所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB是垂直平分线上。PABC(2)当点P在线段AB外时(如图)：因为PA=PB，所以△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边上的中线.即PC⊥AB，且AC=CB。因此直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.例

已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.思路：要证点O在AC的垂直平分线上，只需证明

，而由AB，BC的垂直平分线相交于点O，

可证

，从而得

，于是点O在AC的垂直平分线上.OA=OCOA=OB，OB=OCOA=OCABCOABCO证明：∵点O在AC的垂直平分线上，∴

.OA=OB同理

.OB=OC∴

.OA=OC∴点O在AC的垂直平分线上.（三角形三边的垂直垂直平分线相交于一点）1.如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交边AB于点E，连接CE，则下列结论中不正确的是（）

A.ED⊥BC

B.∠B=∠ECB

C.AE+EC=AB

D.∠AEC=∠DEC

D解析：根据线段的垂直平分线的性质定理和等腰三角形的性质定理可知A，B，C正确。故选D。ABCED2.如图，CA=CB，DA=DB，AB、DC相交于点O.下列结论:①AB垂直平分CD；②CD垂直平分AB；③CD平分∠ACB；④∠DAC=∠DBC中正确的有（）A.①②③

B.②③④C.①②④D.①③④解析：根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理和等腰三角形的性质，可知①②④正确.故选C.CDCAOB1.线段的垂直平分线的性质定理是什么？

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.线段垂直平分线的性质定理的逆定理是什么？

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，∠B=30°,∠BAC=80°,求∠CAE的度数.思路：先由DE是AB的垂直平分线得

，从而得∠BAE=∠B=30°。又∠BAC=80°,所以∠CAE=∠BAC－∠BAE=50°ABCDEEA=EB解：∵

DE是AB的垂直平分线，∴

.∴∠BAE=

=

.又∵∠BAC=80°,∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=80°-30°=50°.ABCDE∠B30°EA=EB2.已知：如图，点C，D是线段AB外两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.思路