高中数学专项复习：曲线的切线方程（解析版）

专题02曲线的切线方程

考点一求切线的方程

【方法总结】

求曲线切线方程的步骤

(1)求曲线在点尸(尤0,加)处的切线方程的步骤

第一步，求出函数》=大尤)在点x=xo处的导数值了(尤0)，即曲线y=«x)在点尸。0，凡珀)处切线的斜率；

第二步，由点斜式方程求得切线方程为y—ft,xo)—f(xo)-(x—xo).

(2)求曲线过点尸(尤o,师)的切线方程的步骤

第一步，设出切点坐标P(xi，1Axi))；

第二步，写出过P(无1，/Ui))的切线方程为y—/(xi)=Axi)(x—制)；

第三步，将点尸的坐标(xo,州)代入切线方程，求出尤1；

第四步，将尤1的值代入方程y-/(xi)=/(xi)(x—xi)可得过点P(xo，yo)的切线方程.

注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点尸处的切线方程和求曲线过点尸的切线

方程，在点尸处的切线，一定是以点尸为切点，过点尸的切线，不论点尸在不在曲线上，点尸不一定是切

点.

【例题选讲】

2r—1

[例1]⑴(2021•全国甲)曲线尸二了在点(一1,—3)处的切线方程为.

答案5x—y+2=0解析y=(^£)』2(x+；+gD=^^,所以JV-I=(_1^2)2=5,所

以切线方程为y+3=5(x+l),即5x—y+2=0.

(2)(2020•全国I)函数兀0=/—2x3的图象在点(1,八1))处的切线方程为()

A.y=—2x—1B.y=—2x+1C.y=2x—3D.y=2x~\-1

答案B解析11)=1—2=—1,切点坐标为(1,—1),/(工)=4?—6f,所以切线的斜率为k=f(l)

=4x13—6x12=—2,切线方程为y+l=—2(x—1),即y=~2x+l.

(3)(2018・全国1)设函数1%)=冗3+3—1)/+以.若加)为奇函数，则曲线)=%)在点(0,0)处的切线方

程为()

A.y=~2xB.y=一九C.y=2xD.y=x

答案D解析法一因为函数兀外二始+磔-为奇函数，所以式一%)=—/(x),所以(一x>+

(a—1)(—x)2+a(—%)=—[xi~\~(a—1)x2+ax],所以2(〃-1—0.因为所以〃=1,所以

所以/(x)=3d+l,所以1(0)=1,所以曲线>=危)在点(0,0)处的切线方程为了=4.故选D.

法二因为函数#元)=工3+3—IW+Q%为奇函数，所以/(—i)+/(i)=o,所以-1+〃一1一〃+(1+〃-1

+。)=0,解得〃=1,此时/0)=犬3+%(经检验，人幻为奇函数)，所以/(x)=3f+l,所以了(0)=1,所以曲线

y=/U)在点(0，0)处的切线方程为>=%.故选D.

法三易知人%)=必+(〃-1)%+。］,因为兀门为奇函数，所以函数g(x)=f+(〃一l)x

+〃为偶函数，所以4—1=0,解得4=1,所以加)=必+居所以了(%)=3炉+1,所以了(0)=1,所以曲线y

=«¥)在点(0,0)处的切线方程为丁=尤故选D.

(4)(2020・全国I)曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

答案2x~y=0解析设切点坐标为(xo,yo),因为y=lnx+x+l,所以了=q+1,所以切线的斜率

为;+1=2,解得xo=l.所以yo=ln1+1+1=2,即切点坐标为(1,2),所以切线方程为y—2=2。-1),

即2x~y=0.

(5)已知函数次X)=X1WG若直线/过点(0,-1),并且与曲线y=/(x)相切，则直线/的方程为.

答案x—y—1=0解析:•点(0,—1)不在曲线“r)=xlnx上，.••设切点为3),州).又♦."z(x)=l+ln

fyo=xolnxo,

x,・・・直线，的方程为y+l=(l+lnxo)x..,•由,解得%()=1,刃=0.・,•直线》的方程为

〔以十1=(1十(lnxo)xo,

y=x—l,RPx—y—1=0.

(6)(2021・新高考I)若过点(〃，b)可以作曲线y=e"的两条切线，则()

A.&b<aB.ea<bC.0<a<ebD.Q<b<ea

答案D解析根据y=e%图象特征，y=e］是下凸函数，又过点(〃，刀可以作曲线y=e%的两条切线，

则点(〃，Z?)在曲线的下方且在x轴的上方，得0<Z?<e".故选D.

⑺已知曲线危)=必一%+3在点P处的切线与直线x+2y-l=o垂直，则P点的坐标为()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)或(―1,3)D.(1,-3)

答案C解析设切点尸(X0,加)，/(无)=3/-1,又直线尤+2y—1=0的斜率为一3，V(xo)=3高一1

=2,・••焉=1,・・.沏=±1,又切点P(M),yo)在y=«x)上，・・.”=君一配+3,・••当xo=l时，州=3；当必=一

1时，%=3.・•・切点P为(1,3)或(一1,3).

(8)(2019•江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(一e,

—l)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.

答案(e,1)解析设〃)，则曲线y=lnx在点A处的切线方程为丁一〃=而(工一根).又切线过点

(―e,—1),所以有几+l=(o+e).再由几=lnm,解得加=e,n=l.故点A的坐标为(e,1).

(9)设函数7(冗)=炉+(〃一若黄工)为奇函数，且函数》=/(%)在点尸(的，«ro))处的切线与直线x

+y=0垂直，则切点尸(沏，«xo))的坐标为.

答案(0,0)解析,・"(工)=%3+(〃-1)/+以，.\f(x)=3x1+2(a—\)x+a,又於)为奇函数，

=~/(%)恒成立，即一始+5一I)—一以=—x3—(〃一1)，一恒成立，C.a—1,/(x)=3x2+1,3焉+1=1,xo

=0,五刈)=0,・・・切点尸(孙，八刈))的坐标为(0,0).

Y—1

(10)函数y=干在点(0,—1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为()

A.IB.7C.ID.1

oZ

X—1(x~\~1—(x—1),

答案B解析,・，y=x+],**y'~.+丁=.+]2,「・Z=y1%=o=2,・,・切线方程为y~\~1—2(x

—0),即y=2x—1,令x=0,得y=-1；令y=0,得尸;，故所求的面积为:xlx；=；.

(11)曲线y=x1-1wc上的点到直线x~y-2=0的最短距离是.

答案也解析设曲线在点P(xo,yo)(xo＞O)处的切线与直线X—厂2=0平行，则Vl-=

1

|2x--||=2x0—^~=1..*.xo=l,yo=l,贝J尸(1,1),则曲线Inx上的点到直线x—y—2=0的

Ixx0

最短距离T；二;)2=6

【对点训练】

1.设点尸是曲线y=V—Sx+向上的任意一点，则曲线在点尸处切线的倾斜角a的取值范围为()

二兀1「5兀、「2兀、「八兀\「2兀、(五5兀一

A.0,2u不,71)B.了,7iIC.0,2JuH，71)D.12，不

1.答案C解析y^Sx2—^,^3,/.tana＞—y/3,又。£[0,兀)，故一£0,gu,兀),故

选C.

2.函数兀x)=e%+：在x=l处的切线方程为.

2.答案y=(e—1)%+2解析f(x)=ex—Af(1)=e—1,又y(l)=e+l,・,•切点为(1,e+1),切

线斜率左=/(l)=e—1,即切线方程为y—(e+l)=(e—1)(%—D，即y=(e—l)x+2.

3.(2019・全国I)曲线＞=3(，+幻^在点(0,0)处的切线方程为.

3.答案y=3x解析所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率

Zr=e°x3=3,所以所求切线方程为y=3尤

4.曲线式彳)=—在点尸(1,八1))处的切线/的方程为()

A.x-\~y—2—0B.2x+y—3—0C.3x+y+2=0D.3x+y—4—0

1—21nx—I-21nx

4.答案D解析因为兀0=[，所以/(x)=,2，又八1)=1,且了(1)=—3,故所求切线方

程为＞一1=一3(彳一1),即3尤+＞一4=0.

5.(2019・全国H)曲线y=2sinx+cos无在点(兀，一1)处的切线方程为()

A.x—y-71—1=0B.2x—y—2兀一1=0

C.2x+y—2兀+1=0D.x~\~y—兀+1=0

5.答案C解析设y=y(x)=2sinx+cosx,贝U/(x)=2cosx—sinx,.*./(7i)=—2,・,•曲线在点(兀，—1)

处的切线方程为y—(—1)=-2a—7i),即2x+y—2兀+1=0.故选C.

Y

6.(2019・天津)曲线y=cos尤一万在点(0,1)处的切线方程为.

6.答案尸一5+1解析y=-sinx-1,将x=0代入，可得切线斜率为一；.所以切线方程为厂1

=-2x,即，=­5+1・

7.已知於)=(叶号)为奇函数(其中e是自然对数的底数)，则曲线y=/(x)在x=0处的切线方程为.

7.答案2x-y=0解析无)为奇函数，，八-1)+八1)=0,即e+，一E一ae=0,解得。=1,於)=

^(己+5)，；♦/(尤)=(e*+!)+x(eX一.•.曲线>=/(尤)在x=0处的切线的斜率为2,又人0)=0,曲线

y=/(x)在x=0处的切线的方程为2x~y=0.

8.己知曲线y=/3上一点尸(2,D，则过点P的切线方程为.

8.答案3x—3y+2=0或12x—3厂16=0解析设切点坐标为Qo,$8),由了二忤汽二%2,得>[尤=尤()

13_8

(ox3项—3

=焉，即过点尸的切线的斜率为急又切线过点尸(2,2J,若孙先，则焉=；_0_2,解得xo=-1,此时

切线的斜率为1;若须=2,则切线的斜率为4.故所求的切线方程是厂当=x—2或厂|=4(x—2),即

3x—3y+2=0或12x—3y—16=0.

9.已知函数7(%)=jdnx,若直线/过点(0,-1),并且与曲线y=/(x)相切，则直线/的方程为.

9.答案x—y—l=0解析..•点(0,—1)不在曲线/(x)=xlnx上，.,•设切点为(孙，声),又・.了(工)=1+

fyo=xolnxo,

hur,・••直线/的万程为y+l=(l+lnxo)x..••由,(解得％o=l,州=0.・••直线/的万

[yo+l=(l+lnxo)xo,

程为y=x~1,即x~y—1=0.

10.设函数2x+/U)lnx,曲线式X)在(1,犬1))处的切线方程是()

A.5x—4=0B.3x—y—2=0C.x—y=0D.%=1

10.答案A解析因为八尤)=/&f一2x+/(l)lnx,所以y(x)=4自无-2+匕4L.令x=/导了(1)=4自

x/—2+软1),即式1)=1.又八2,所以/自=3,所以了(1)=4自―2+八1)=6—2+1=5.所

以曲线在点(1,八1))处的切线方程为y—1=5(了-1),即5x—y—4=0.

11.我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正”边形进行“内外夹逼”

的办法求出了圆周率兀的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”

的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设

=ln(l+x),则曲线>=段)在点(0,0)处的切线方程为，用此结论计算ln2022-ln2021~.

11.答案丫=尤2021解析函数五尤)=ln(l+x),则了(无)=丁上,/(0)=1,八0)=0,...切线方程为y=x.

In2022-ln2021=ln(^l+2021),根据以直代曲，x=]右也非常接近切点x=0....可以将x

=忐代入切线近似代替了图五)，即焉)品〉

12.曲线兀i)=x+lnx在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()

A.2B.|C.；D.(

12.答案D解析f(x)=l+p则/(1)=2,故曲线/(x)=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为yT=2(x

-1),即y=2x—1,此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-1),0),则切线与坐标轴围成的三

角形的面积为:xlxH，故选D.

14

13.已知曲线y=#+].

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点尸(2,4)的切线方程.

14

13.解析(1);尸(2,4)在曲线>二科+可上，且旷=居

・・・在点尸(2,4)处的切线的斜率为y1-2=4.

・•・曲线在点尸(2,4)处的切线方程为》-4=4(工一2),即4%一y一4=0.

(2)设曲线>=¥+,与过点尸(2,4)的切线相切于点|x§+£),则切线的斜率为y[x=xo=焉.

，切线方程为丁一《焉+§=焉(>—刈)，即y=xo-x—|xo+1.

24

丁点尸(2,4)在切线上,・,.4=24一式+?即高一3焉+4=0,+上一4仁+4=0,

.*.%§(xo+1)—4(xo+l)(xo—1)—0,(%o+1)(.^0~2)2=0,解得x()=-1或xo=2,

故所求的切线方程为X—>+2=0或4x-j-4=0.

b

14.设函数4尤)=a尤一：曲线>=/(无)在点(2,犬2))处的切线方程为7x—4y—12=0.

(1)求人x)的解析式；

(2)证明曲线7U)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

7

14.解析(1)方程7x—4y—12=0可化为丁=下一3,

1bJ2.2，.=1,3

当x=2时，y=］.又了(乃=“+9，于是jb7解得［=3故兀0=天一7

(2)设尸(xo,州)为曲线上任一点，

由；/=1+1知曲线在点尸(加以)处的切线方程为y—yo=(l+1)(x—刈)，

即,―/()一£|=(1+卷)(无—即).令x=0,得y=_*，

从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-£).

令尸x,得y=x=2xo,从而得切线与直线尸x的交点坐标为(2xo,2加.

所以点尸(%o,yo)处的切线与直线1=0,y=x所围成的三角形的面积为S=J—~|2刈=6.

乙人o

故曲线y=/(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.

15.(2021・全国乙)已知函数兀0=9一_?+依+1.

(1)讨论兀0的单调性；

(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=段)的公共点的坐标.

15.解析(1)由题意知/(x)的定义域为R,7(劝=3/—2无十°,对于/(*)=0,/=(-2>—4x3a=4(l—3a).

①当其时，但)，(x巨0在R上恒成立，所以式x)在R上单调递增；

②当时，令/(x)=0,即Sf-Zx+a：。，解得的=^~3",%2=1+"：",

令/(X)>O,则或第>%2；令［(冗)<0,则％14<X2.

所以/(X)在(一00,即)上单调递增，在(即，X2)上单调递减，在(X2,+s)上单调递增.

综上，当时，兀¥)在R上单调递增；当4Vg时，/U)在(一8,--"1')上单调递增,

在『产，i+『巧上单调递减,在『界，+，上单调递增.

(2)记曲线y=/(x)过坐标原点的切线为/,切点为尸(M),x^—^+axo+1).

因为/(%o)=3x§—2%o+a,所以切线I的方程为j—xo+axo+1)=(3^—2xo+tz)(x—xo).

由/过坐标原点，得2君一焉一1=0,解得％o=l,所以切线/的方程为y=(l+〃)x.

y=(l+a)x,x=l,x=­l,

由尸X-/+以+1解得.,=1+/

y=­l—a.

所以曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标为(1,1+a)和(一1,一1一a).

考点二求参数的值(范围)

【方法总结】

处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①

切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上.

【例题选讲】

[例1]⑴已知曲线段)=加+向在(1,加))处的切线的斜率为2,则实数。的值是.

答案!解析贝!|/(l)=3a+l=2,解得

(2)若函数於)=lnx+2f—ax的图象上存在与直线2无一y=0平行的切线，则实数a的取值范围

是•

答案[2,+oo)解析直线2x—y=0的斜率左=2,又曲线式x)上存在与直线2x—y=0平行的切线，

.\f(x)=F+4x—a=2在(0,+<»)内有解，则a=4x+f—2,x>0.又当且仅当x=/时

取“=”..,.壮4—2=2.二。的取值范围是[2,+oo).

(3)设函数4OMalnx+bx3的图象在点(1,一1)处的切线经过点(0,1),则a+6的值为.

伏l)=f%——1(-1

2

答案0解析依题意得了(jOnE+Sbx,于是有1+1即…C解得，1

%/(l)=3^p〔〃+3。=-2,仍=一1,

所以〃+/?=().

(4)(2019•全国HI)已知曲线y=aex+x\nx在点(1,〃e)处的切线方程为y=2x+b,则()

A.a=e,b=—\B.a=e,b=lC.a=e~i,b=lD.a=e~i,b=~l

答案D解析因为y=ae*+lnx+l,所以y[%=i=4e+l,所以曲线在点(1,ae)处的切线方程为y—

fae+l=2,

〃e=(ae+l)(x—1)，即y=(oe+l)x—1,所以彳解得彳

[b=—1,[b=­l.

(5)设曲线尸罟在点(1,—2)处的切线与直线以+外+c=0垂直，贝哈=()

A.|B.

C.3D.-3

答案B解析由题可得尸(二：)2,所以曲线在点(1,—2)处的切线的斜率为-3.因为切线与

直线ax+by+c=O垂直，所以一3(一§=—1,解得茶=一女，故选B.

(6)已知直线>=h一2与曲线y=xlnx相切，则实数k的值为.

答案l+ln2解析设切点为(加，mlnrri),y=l+lnx,y[%=冽=l+lnm,Ay—mlnm=(l+lnm)(x—

m),即y=(l+ln加)%—■根，又丁="一2,即女=l+ln2.

[m=2,

(7)已知函数"x)=x+&，若曲线y=/(x)存在两条过(1,0)点的切线，则4的取值范围是

答案(一oo,—2)U(0,+00)解析/(x)=l—养，设切点坐标为go,刈+是1，切线的斜率左=/(xo)

=1—奇，切线方程为y_Qo+套)=(1—急)(x—xo),又切线过点(1,0),即一(xo+看)=(1—a)(1—

xo),整理得2君+2办0—0=0,：曲线存在两条切线，故该方程有两个解，；./=4a2—8(—a)>0,解得a>0

或a<—2.

(8)关于x的方程2|x+a|=e，有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为.

答案(1—ln2,+°°)解析由题意，临界情况为>=2(_¥+°)与y=e"相切的情况，_/=e*=2,则x=

ln2,所以切点坐标为(ln2,2),则此时。=1—ln2,所以只要y=2|x+a|图象向左移动，都会产生3个交点，

所以a>l—ln2,即°e(l—ln2,+<x>).

【对点训练】

1.若曲线y=xhw在x=l与尤=f处的切线互相垂直，则正数，的值为.

1.答案e-2解析因为y'=lnx+l,所以(lnl+l)(lnt+l)=—1,；.lm=-2,t=eT~.

2.设曲线y=eg—ln(x+l)在x=0处的切线方程为2x—y+l=0,贝Ua=()

A.0B.1C.2D.3

2.答案D解析,.■j=eax—ln(x+l),.,.y'=aeflX一.二j,...当尤=0时，y'=a~\.\,曲线>=6"工一ln(x

+1)在x=0处的切线方程为2x—y+l=0,：.a~l=2,即a=3.故选D.

3.若曲线_/0)=9一x+3在点尸处的切线平行于直线y=2x—1,则尸点的坐标为()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)或(一1,3)D.(1,—3)

3.答案C解析了(尤)=3/一1,令了(尤)=2,则3/—1=2,解得尤=1或尤=一1,3)或(一1,3),

经检验点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x—1上，故选C.

4.函数八x)=lnx+ax的图象存在与直线2x—y=0平行的切线，则实数a的取值范围是.

4.答案(一00,2)解析由题意知/(x)=2在(0,+(»)上有解.所以/(x)=：+a=2在(0,+(»)上有解，

则。=2—：.因为x>0,所以2—：<2,所以a的取值范围是(一oo,2).

5.己知函数«r)=xcosx+asinx在x=0处的切线与直线3x—y+l=0平行，则实数a的值为.

5.答案2解析f(x)=cosx+^(—sinx)+acosx=(1+«)cosx—xsinx,.\f(0)=l+a=3,.\a=2.

6.已知函数外)=%3+依+人的图象在点(1犹1))处的切线方程为2x—y—5=0,则〃=；b=

=l+〃+/?=2x1—5,

6.答案一1一3解析由题意得了(x)=3f+a,则由切线方程得L解得。=

—1,b=-3.

3

7.若函数/(x)=QX—嚏的图象在点(1,犬1))处的切线过点(2,4),则〃=.

一3

7.答案2解析了(%)=〃+9，/(1)=〃+3,式1)=。-3,故«x)的图象在点(1,〃一3)处的切线方程为y

一(a—3)=(〃+3)(x—1),又切线过点(2,4),所以4—(a—3)=〃+3,解得〃=2.

8.若曲线y=e*在％=0处的切线也是曲线y=lnx+b的切线，贝!J〃=()

A.-1B.1C.2D.e

8.答案C解析y=e]的导数为y=e%,则曲线y=e"在x=0处的切线斜率％=1,则曲线y=e”在x

=0处的切线方程为y—l=x，即y=x+l.设y=x+l与y=lnx+Z?相切的切点为(徵，m+1).又

则5=1,解得机=1.所以切点坐标为(1,2),则2=b+lnl,得b=2.

9.曲线>=(办+1户在点(0,1)处的切线与x轴交于点(一30),则。=;

9.答案1解析y=e*(ax+l+a),所以y[x=o=l+a,则曲线y=(ar+l)e*在(0,1)处的切线方程为y

=(l+a)x+l,又切线与x轴的交点为(一；，0),所以0=(l+a)x(—0+l,解得a=l.

10.过点M(—1,0)引曲线C：y=2x3+or+a的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A、8两点，若|MA|

^\MB\,则a=.

10.答案一引解析设切点坐标为It3+at+a),\'y'=6x2+a,；.6r+a=”苦，即4d+G/2

=0,解得r=0或，=—|,=.•.两切线的斜率互为相反数，即2a+6%(一|)=0,解得a

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=~~4'

11.已知曲线C：危)=/—3无，直线/：y—ax—y[3a,则。=6是直线/与曲线C相切的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必