中考数学专项复习：二次函数的图象信息题 压轴题（五种模型）

专题05高频题型专题：二次函数的图象信息题压轴题五种模型全攻略

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目录

【典型例题】..................................................................................1

【考点一二次函数与一次函数图象共存问题】................................................1

【考点二二次函数与反比例函数图象共存问题】..............................................5

【考点三含字母参数的二次函数的图象和性质】.............................................10

【考点四二次函数的图象和性质与系数。,6,c的问题】.......................................15

【考点五二次函数的图象与几何动点问题】.................................................20

【典型例题】

【考点一二次函数与一次函数图象共存问题】

例题：（2023春・福建福州•八年级福建省福州延安中学校考期末）函数y=|a|x与＞一。（a#o）在同一直

角坐标系中的大致图象可能是（）

【答案】C

【分析】根据一次函数与二次函数的性质判断即可.

【详解】解：♦••同＞0,

经过一、三象限；

当。＞0时，二次函数歹="2一开口向上，与y轴的交点在负半轴上,

当。＜0时，二次函数＞="2-。（。二0）开口向下，与y轴的交点在正半轴上,

只有选项C符合题意;

故选：c.

【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数图象的判断，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键.

【变式训练】

1.（2023春・重庆渝中•八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图是一次函数l=丘+6的图象，则二次函数

y=fo?+6x+2的图象可能为（）

【答案】C

【分析】先根据一次函数图象确定左>0,方>0,进而确定二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，由此即

可得到答案.

【详解】解：•••一次函数、=辰+&的图象经过第一、二、三象限且与夕轴交于〉轴的正半轴，

:.k>0,b>0,

...二次函数>=履2+乐+2的图象的开口向上，

..•二次函数的对称轴为直线》=-3<0,

二次函数的对称轴在y轴左侧，

•••四个选项中只有C选项中的函数图象符合题意，

故选C.

【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确求出发>0,6>0是解题的关键.

2.（2023春•广西南宁•八年级南宁市天桃实验学校校考期末）在同一坐标系中，一次函数>=-%》+1与二次

函数，y=/+加的图象可能是（）

【答案】D

【分析】根据一次函数的6=1和二次函数的。=1即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过y轴正半

轴，从而排除/和c,分情况探讨机的情况，即可求出答案.

【详解】解：；二次函数为y=,

a=1＞0,

，二次函数的开口方向向上，

•••排除c选项.

次函数y=-mx+\,

;.b=l＞0,

,，一次函数经过了轴正半轴，

•••排除4选项.

当＞0时，贝U—根＜0,

一次函数经过一、二、四象限，

二次函数y=/+机经过＞轴正半轴，

排除5选项.

当加＜0时，贝!]-机＞0

一次函数经过一、二、三象限，

二次函数y=x2+加经过了轴负半轴，

二。选项符合题意.

故选：D

【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小与图

像的关系.

3.（2023・全国•九年级假期作业）在同一平面直角坐标系中，函数了=加工+加和函数y=-mx2+2x+2（加片0）

的图象可能是（）

【答案】D

【分析】根据函数图象判断两个冽值，函数的图象是否正确即可得到答案.

【详解】解：4根据函数图象可知：一次函数解析式中优＜0,二次函数解析式中-机＜0,即机＞0,两者

符号不相同，故该选项不符合题意；

B、根据函数图象可知：一次函数解析式中/＜0,二次函数解析式中-〃7＞0,即机＜0,两者符号相同，但

根据。=-冽，6=2得抛物线的对称轴应在夕轴的左侧，与图象不符，故该选项不符合题意；

C、根据函数图象可知：一次函数解析式中加＞0,二次函数解析式中-机＞0,即加＜0,两者符号不相同，

故该选项不符合题意；

D、根据函数图象可知：—次函数解析式中加＜0,二次函数解析式中-能＞0,即加＜0,两者符号相同，根

据。=-加，6=2得抛物线的对称轴应在夕轴的左侧，与图象相符，故该选项符合题意；

故选：D.

【点睛】此题考查一次函数与二次函数的图象性质，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函

数图象是解题的关键.

4.（2023•广东广州•统考二模）己知二次函数夕="2+6x（"0）的图象如图所示，则一次函数了="+6（。40）

【答案】C

【分析】从二次函数图象的开口方向和对称轴的位置，可以得到a＜0,b＞0,可知直线y尤+6经过第一、

二、四象限.

【详解】解：由二次函数的图象可知，开口向下，对称轴x=-§＞0,

2a

a＜0，b＞0,

...一次函数＞=ax+b的图象是经过第一3二、四象限.

只有选项C符号条件，

故选：c.

【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象，解题关键是由二次函数的图象得到。力的符号，从而判断直

线的位置.

【考点二二次函数与反比例函数图象共存问题】

例题：（2023•湖北襄阳•统考一模）如图，二次函数y=a/+ax与反比例函数y=q在同一平面直角坐标系内

【分析】根据了=。/+6可知，二次函数图象与y轴交点为夕=0时，即二次函数图象过原点.再分两种情

况即a>0,时结合二次函数y=+bx+c中°,6同号对称轴在夕轴左侧，a,6异号对称轴在y轴右

侧来判断出二次函数与反比例函数图象所在象限，找到符合题意的即为正确答案.

【详解】解：①当。>0时，二次函数y=a/+ax开口向上，过原点，对称轴在夕轴左侧，故二次函数在一、

二、三象限，反比例函数在一、三象限;

②当.<0时，二次函数y=a/+a无开口向下，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在二、三、四象限,

反比例函数在二、四象限,

观察图象可知只有。符合,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象以及反比例函数图象的性质，解题的关键是根据二次函数中。的取

值确定二次函数以及反比例函数的图象.

【变式训练】

1.（2023•浙江•九年级假期作业）二次函数y=与反比例函数y=3在同一平面直角坐标系中的图像可能

【答案】D

【分析】根据。的符号变化判断反比例函数和二次函数所在象限即可得出答案.

【详解】解：当。＞0时，＞=仆2的图像开口向上，过一、二象限；y=巴的图像位于一、三象限，可知，D

X

正确；

当a＜0时，＞的图像开口向下，过三、四象限；y=巴的图像位于二、四象限，无此选.

X

故选：D

【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的图像，理解函数表达式中的系数与函数图像的关系是解题的关

键.

2.（2023春•广东梅州•九年级校考开学考试）在同一坐标系内，一次函数〉=依+6与二次函数y=ax2+8x+6

的图象可能是（）

【分析】令x=0,求出两个函数图象在＞轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出。＞0,然

后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解.

【详解】解：x=0时，两个函数的函数值＞=6,

所以，两个函数图象与〉轴相交于同一点，故5、。选项错误；

由N、C选项可知，抛物线开口方向向上，

所以，a＞Q,

所以，一次函数y无+6经过第一三象限，

所以，/选项错误，C选项正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数＞=依+6在不同情况下所在的象

限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等.

3.（2023•湖南邵阳•统考二模）若二次函数y=+c的图象如图所示，则一次函数y=ax-b与反比例

函数了=9在同一坐标系内的大致图象为（）

X

【答案】D

【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与了轴交点位置判断a,b,c的符号，从而可得直线与反

比例函数图象的大致图象.

【详解】解：•••抛物线开口向上，

••a〉0,

・・•抛物线对称轴在歹轴左侧,

:・b>0,

—b<0

・・•抛物线与y轴交点在x轴下方，

c<0,

二直线了=依-6经过第一，三，四象限，反比例函数丁=£图象分布在第二、四象限,

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系.

4.（2023•山东青岛•统考一模）已知二次函数》=。/+云+。（％，0）的图象如图所示，则正比例函数

y=（b+c）x的图象与反比例函数y=q的图象在同一坐标系中可能是（）

X

【分析】由二次函数图象分别判断出a,b,c的符号，然后根据正比例函数与反比例函数的性质判断即可.

【详解】解：由二次函数图象可得：

・•,开口向下，

**-a<0,

・•・对称轴在V轴右边，

Z?>0,

图象与y轴交于正半轴,

。>0,

b+c〉0,

V=（b+c）x图象过一三象限，y=@图象过二四象限，

X

故选：A.

【点睛】本题考查了函数图象的判断，相关知识点有：一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质,

熟悉函数的图象与性质是解题关键.

5.（2023广东广州•统考二模）如图，二次函数了="2+bx+c（a/0）的图象如图4所示，则反比例函数

y=?”0）和一次函数y=6x+c在同一直角坐标系中的图象可能是（）.

【答案】c

【分析】根据二次函数y=#+6x+c（分0）的图象开口向上，得出。>0,与y轴交点在〉轴的负半轴，得

出c<0,利用对称轴尤=-二>0,得出6<0,然后对照四个选项中的图象判定即可.

【详解】解：因为二次函数y=af+6x+c的图象开口向上，得出。>0,与y轴交点在y轴的负半轴，得出

c<0,利用对称轴^=一二>0,得出6<0,

2a

所以一次函数y=6x+c经过二、三、四象限，反比例函数y=3经过一、三象限.

A.一次函数V=6x+c经过一、三、四象限，反比例函数y=巴经过二、四象限，不符合题意;

X

B.一次函数V=bx+c经过一、二、三象限，反比例函数y=3经过二、四象限，不符合题意;

X

C.一次函数歹=云+。经过二、三、四象限,反比例函数>经过一、三象限，符合题意；

D.一次函数V=法+。经过一、三、四象限，反比例函数3经过一、三象限，不符合题意;

x

故选：C.

【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次

函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键.

6.（2023•江西宜春•校考二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数>=<^+6和反比例函数〉=£的图象如

X

右图所示，则二次函数>=依2+加+。的图象可能是（）

【分析】根据一次函数图象可得〃〉0/<0,根据反比例函数可得。<0,据此即可求解.

【详解】解：・・•一次函数y=ax+6的图象经过一、三、四象限,

,a〉0/<0,

..•反比例函数了=反的图象在第二、四象限,

X

c<0,

，抛物线的开口向上，对称轴在夕轴的右侧，与y轴交于负半轴,

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌握以上函数图象的性质是解

题的关键.

【考点三含字母参数的二次函数的图象和性质】

例题：(2023•全国•九年级专题练习)已知二次函数y=ax2-(3“+l)x+3(“R0),下列说法正确的是()

4点(1,2)在该函数的图象上

B.当。=1且-1VXW3时，0<j<8

C.该函数的图象与x轴一定有交点

13

D.当a>0时，该函数图象的对称轴一定在直线x=5的左侧

【答案】C

【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可.

【详解】解：：>=&-(3。+1口+3伍工0),

当x=1时：y=a—(3tz+1)+3=2—2a,

「aw0,

2—2aw2，

即：点(1,2)不在该函数的图象上，故4选项错误;

当a=l时，y=f-4x+3=（尤一2）~-1,

，抛物线的开口向上，对称轴为x=2,

...抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，

—1<x<3,|—1—2|>|3-2|>|2—21,

.•.当x=-l时，y有最大值为（一1一2『一1=8,

当x=2时，V有最小值为-1,

故8选项错误；

A=[-（3a+l）]2-4x3a=9a2-6<7+l=（3a-l）2>0,

...该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；

当。>0时，抛物线的对称轴为：x=^=-+—>-,

2a22a2

3

该函数图象的对称轴一定在直线x的右侧，故选项。错误；

2

故选C.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质.熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023•江苏扬州・统考中考真题）已知二次函数了二办?-2x+g（a为常数，且a>0）,下列结论：

①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当x<0时，夕随x的增大

而减小；④当x>0时，y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.②D.③④

【答案】B

【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可.

【详解】解：•.•抛物线对称轴为一2=-二=工>0,c=->0,

2a2aa2

...二次函数图象必经过第一、二象限，

又•:A=Z72—4ac=4-2。，

*.*>0,

***4—2a<4，

当4-2〃<0时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限,

当0<4-2a<4时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，

故①错误；②正确；

・・•抛物线对称轴为—△b=—-，2=上1>0,。>0,

2a2aa

二抛物线开口向上，

...当x<L时，y随X的增大而减小，故③正确；

a

...当时，了随X的增大而增大，故④错误，

a

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关

键.

2.（2023•江苏南京•校考三模）已知整式”下列关于整式W的值的结论：

①M的值可能为4；

②当a>1时，M的值随。的增大而增大；

③当。为小于0的实数时，W的值大于0;

④不存在这样的实数。，使得”的值小于-1.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】根据一元二次方程的知识，二次函数的图象和性质，依次判断，即可.

【详解】①当M=4,

M=a2—2a=4,

解得：471=1+V5,a2=1—A/5,

的值可能为4,

，①正确；

②设函数的解析式为：M=a2-2a,如图1

对称轴为：x=--=\,函数图象的开口向上，

2a

...当。>1,函数M随。的增大而增大，

...②正确；

③同理，当x＜l,函数M随。的增大而减小，

...当.＜0时，函数M在V轴是上方，即M＞0,

...③正确；

④设函数的解析式为：M=a--2a,如图1

.•.当。=1时，函数M有最小值，最小值为：-1

,无论。取任何数，M＞-\

，④正确；

综上所述：正确的为：①②③④

故选：D.

【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握解一元二次方程，二次函数

图象和性质，实数的性质.

3.（2023•湖北武汉•统考一模）已知函数了=》-优+2）x+2（左为实数），下列四个结论：

①当斤=0时，图象与坐标轴所夹的锐角为45。；

②若左＜0,则当尤＞1时，V随着x的增大而减小；

③不论左为何值，若将函数图象向左平移1个单位长度，则图象经过原点；

④当后＜-2时，抛物线顶点在第一象限.

其中正确的结论是（填写序号）

【答案】②③④

【分析】由一次函数＞=-2》+2即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；得到平移后的解析式即可

判断③；求得顶点坐标即可判断④.

【详解】解：①当上=0时，函数为一次函数＞=-2》+2,由于系数为一2,所以图象与坐标轴所夹的锐角不

为45。，故①错误；

②若大<0,抛物线的对称轴为直线》=-小二！=!+!<」，则当X>1时，y随着X的增大而减小，故②

2k2k2

正确；

③当函数图象向左平移1个单位时，解析式为了=左（尤+4-优+2）（尤+1）+2,则其图象过原点，故③正确；

④当左<一2时，对称轴直线x=—Y*+2）='+■1■>0,顶点纵坐标为--'+2）2=一如二比>0,故抛物

2k2k4k4k

线顶点在第一象限，故④正确；

故答案为：②③④.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数了="2+云+«°,瓦。是常数，。-0）与x轴的交点

坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

4.（2023春,福建福州•八年级福建省福州延安中学校考期末）对于二次函数了=依2_（50+1》+40+4.有下

列说法：

①若a<-l,则二次函数的图象与y轴的负半轴相交；

②若。>0,当1WXV2时，y有最大值3；

③若a为整数，且二次函数的图象与x轴的两个公共点都为整数点，则a的值只能等于1；

④若”0,且/（2,乂）,3（3,%）（（4,%）为该函数图象上的三点，则%>%>%.

其中正确的是.（只需填写序号）

【答案】①②④

【分析】求出4a+4的取值即可判断①；由对称轴方程可判断出当x=l时，函数在1VXV2时，y有最大值

3,故可判断②；根据二次函数的图象与x轴的两个公共点都为整数点可知对称轴也是整数，可求出a,进

而判断③；分别求出N,B,C三点对应的函数值，再进行比较即可判断④.

【详解】解：①对于y=依?_（5a+l）x+4a+4,令x=0,得了=4。+4,由a<-1可得了=4a+4<0,即二

次函数的图象与y轴的负半轴相交，故①正确；

②二次函数y=ax2_（5a+l）x+4a+4对称轴方程为直线x=—一（"+D=字1="丝1=2+g,

2a2。2a2a

*.*«>0,

x>2,

又抛物线的开口向上，

二次函数了="2-（5a+l）x+4a+4的图象在1WxV2内，当x=1时，>有最大值，最大值为：3；故②正

确;

③二次函数V=加-（5a+l）x+4a+4的图象与x轴有两个交点，

，A=[-（5a+l）]-4。（4。+4）=25〃+10。+1-16/-16。=9/—6。+1=（3。-1）,

:a为整数,

：.V=（3a-l）2>0,即a为任意整数；

又二次函数的图象与x轴的两个公共点都为整数点，

对称轴x=2+手必为整数，此时。的值不只能等于1,也可以是T,故③错误；

④：“（2,乂）,8（3,力）,。（4,%）为函数了="2-（5a+l）x+4a+4图象上的三点,

・,•当％=2时，y=-2a+2；

当x=3时，y=一2〃+1；

当％=4时，歹=0；

a<0,

:、—2a+2>—2a+1〉0,即必>JV2>%.故（J）正确,

所以，正确的结论是①②④，

故答案为：①②④.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用数形结合，从开口方向、对称轴、与X轴⑶轴）

的交点进行判断是解题的关键.

【考点四二次函数的图象和性质与系数",4c的问题】

例题：（2023春•湖南长沙•八年级校联考期末）某二次函数了="2+乐+。（。20）的部分图象如图所示，下列

结论中一定成立的有（）

(1)abc>0；(2)a-b+c<0；@a———；④8a+c>0.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】由抛物线的开口方向判断。与。的关系，由抛物线与夕轴的交点判断V与0的关系，然后根据对称

轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：①函数的对称轴在了轴右侧，则M<O,抛物线与了轴交于负半轴，贝ijc<o,则%>o,故

①正确；

②函数的对称轴为x=l,函数和X轴的一个交点是（3,0）,则另外一个交点为（-1,0）,当x=-l时，

y=a-b+c=0,故②错误；

③函数的对称轴为工=-3=1,即。=-士，故③错误；

2a2b一

④由②③得，b=-2a,a-b+c=0,故3a+c=0,而抛物线开口向上，贝即5。>0,故8a+c>0,

故④正确；

故选：B.

【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与6的关系，以及二次函数

与方程之间的转换是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023•黑龙江齐齐哈尔•统考三模）如图，二次函数了=办2+及+。（0<0）的图象与x轴交于/、3两点，

与y轴交于点C,对称轴为直线尤=1,结合图象给出下列结论：①0加>0；②4“C-62<0;③3a+c<0；

④方程分+—+°=-42一1的两根和为1；⑤若玉,乙（玉<起）是方程办2+6x+c=0的两根，贝!J方程

a（x-xJ（x-X2）+3=0的两根私满足。（%-西）（“一》2）>0；其中正确结论有（）

A.2个8.3个C.4个D5个

【答案】B

【分析】综合二次函数图象与各项系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的联系进行逐项分析.

【详解】解：由题意，a<0,对称轴为直线》=-乡=1,

2a

b=-2a,b>0,

抛物线与V轴相交于正半轴，贝

abc<0,故①错误；

・・•抛物线与％轴有两个不同的交点，

•*-b2-4ac>0,即：4ac-b2<0,故②正确；

・・•由图象可得，当x=-1时，函数值歹<0,

a-b+c<0，

■:b=—2a,

/.3tz+c<0,故③正确；

对于方程ax2+bx+c=-k2-1，

整理得：ax2+bx+c+k2+1=0,

其两根之和再+%=--，

a

•:b=—2a,

再+%=2

二・方程OX?+b%+c=一左2一1的两根和为2,故④错误；

**'x\，x2（xi<xi）是方程ax2+bx+c=0的两根，

工函数歹=+队+。图象与％轴的两个交点的横坐标为玉,马（王<工2），

•方程。（%—七）（%—％2）+3=0的两根加,〃（加<〃）,

・••抛物线V="2+区+。与直线y=-3的交点横坐标为九〃（加<«）,

・・•抛物线开口向下，

.••加<石，n>x2,

m-xx<0,n-x2>0,

a<0,

I.a（加一国）（篦一）2）>0,故⑤正确;

・・・正确的有②③⑤，

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握函数的基本性质，理

解并熟练运用函数与方程之间的关系是解题关键.

2.（2023•黑龙江齐齐哈尔•统考中考真题）如图，二次函数〉="2+乐+。（。*0）图像的一部分与x轴的一

个交点坐标为（3,0）,对称轴为直线x=l,结合图像给出下列结论：

①abc>0；②b=2a；③3a+c=0；

④关于x的一元二次方程办,+6x+c+左2=（）（"/（））有两个不相等的实数根；

⑤若点（也弘），（-机+2,%）均在该二次函数图像上，则必=%.其中正确结论的个数是（）

【答案】B

【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与了轴的交点确定6、c的正负，即可判定①和②；将点（3,0）

代入抛物线解析式并结合6=-2。即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于

零即可判定④；判定点（九%）,（-加+2,%）的对称轴为x=l,然后根据抛物线的对称性即可判定⑤.

【详解】解：：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，

Q>0,C<0,

:抛物线的对称轴为直线x=l,

即6=—2.<0,即②错误；

2a

abc>0,艮口①正确,

••1二次函数了=ax2+bx+c（a丰0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（3,0）

.\9a+3b+c=0

9〃+3（—2。）+。=0,即3Q+C=0,故（2）正确;

•.•关于X的一元二次方程办2+6x+c+左2=0（〃。0）,A=/—4a（c+=b2-Aac-4ak2,a>0,c<0,

-4ac>0,-Aak2<0,

・••无法判断/-4a?-4〃左2的正负，即无法确定关于x的一元二次方程江+乐+0+左2=0（。。0）的根的情况,

故④错误；

..m+（-m+2）

•-----------=1

2

...点（见必），（-m+2,%）关于直线尤=1对称

:点（也弘），（-机+2,%）均在该二次函数图像上，

yi=y2>即⑤正确;

综上，正确的为①③⑤，共3个

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的7="2+法+0（。/0）的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获

取信息是解题的关键.

3.（2023•全国•九年级假期作业）抛物线y=62+bx+c的对称轴是直线x=-l,且过点。，0）顶点位于第二象

限，其部分图象如图所示给出以下判断：①06>0,且c<0；②4"26+c>0；③8a+c>0；④c=3a-36；

⑤直线了=2尤+2与抛物线了=办2+区+。两个交点的横坐标分别为占，入2，则占+%+王氏=-5.其中正

确的个数为（）

4.1个B.2个C.3个D4个

【答案】C

【分析】根据二次函数的图象和性质一一判断即可.

【详解】：抛物线对称轴x=-l,经过点(1,0),

---=-1,Q+Z)+C=0,

2a

••b—2a,C——3cl，

•・•a＜0,

＜0,c＞0,

工时〉0且c〉0,故①错误，

・・,抛物线对称轴x=-l,经过(I，。)，

・・・(-3,0)和(1,0)关于对称轴对称，

:・x=-2时，歹＞°,

.二4a—26+c＞0,故②正确,

・・•抛物线与％轴交于(-3,0),

,x=-4时，歹＜°,

「・16〃一4/7+。＜0,

°：b=2a,

「・16〃一8。+。＜0,即8。+。＜0,故③错误，

*.*c=-3a=3Q-6。，6=2。，

/.c=3a-3b,故④正确，

2

・・・直线y=2x+2与抛物线y=ax+bx+c两个交点的横坐标分别为如x2,

・••方程办之+,一2)工+。一2=0的两个根分另I1为再，声，

.b-2c-2

・・X]+工2=------，Xi,X2=----，

aa

.+X2+XF2=-~+~=-2上+*^=4，故⑤正确，正确的个数为3个.

aaaa

故选：c.

【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

【考点五二次函数的图象与几何动点问题】

例题：（2023•河南周口・河南省淮阳中学校考三模）如图，在RtaABC中，ZA=90°,AC=AB^8.动点。

从点A出发，沿线段以1单位长度/秒的速度运动，当点。与点8重合时，整个运动停止.以/£>为一边

向上作正方形4。跖，若设运动时间为x秒（0<xV8）,正方形NDE/与AABC重合部分的面积为V,则下

列能大致反映了与x的函数关系的图象是（）

【分析】根据题目所给条件，分当04xW4时和当4<x48时，建立函数关系式，利用二次函数的性质，即

可得到答案.

【详解】解；当0VxV4时，正方形/。斯与重合部分的面积为正方形/DEF的面积，

♦.y-x,

...此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线；

此时正方形/。昉与03C重合部分的面积为正方形/。好的面积减去三角形的面积,

：O8C是等腰直角三角形，AB=AC=8,

DM=DB=FN=FC=S-x,

EM=EN=x-(8-x)=2x—8,

1，

••V=S正方形AMF—SAMNE=x-'(Zx-8)=x—2x+16x—32=—x+16x—32,

,?-l<0,

...二次函数的图象为开口向下的抛物线，

故选：D.

【点睛】本题主要考查二次函数的解析式与图象的关系，正确列出函数关系式和判断二次函数的开口方向

是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023•全国•九年级专题练习）如图，在正方形/8CD中，AB=4,动点"，N分别从点3同时出发,

沿射线A8,射线6C的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接。MN,ND.设点M运动的路程为

x（0VxV4）,ADMN的面积为S,下列图像中能反映S与x之间函数关系的是（）

【分析】先根据S=品方物88-岳皿WDCN-岳BW，求出S与尤之间函数关系式，再判断即可得出结论.

【详解】解：5=5正方物加。-，ADM~'DCN―5BMN，

=4x4一;x4x一（x4（4-x）—^x（4-x）,

1

=-x9—2x+8,

2

1

=—（X—2）9+6,

故S与X之间函数关系为二次函数，图像开口向上，x=2时，函数有最小值6,

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出S与尤之间函数关系式，再

判断S与x之间函数类型.

2.（2023•安徽合肥•校考三模）如图，正方形48CD中，48=4cm,动点尸，。分别从4。同时出发，点P