福建省莆田某中学2024-2025学年高三（上）模拟数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省莆田十中高三（上）模拟数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若随机变量X服从正态分布N（362）,P（X<5）=0.55,则P（XW1）=（）

A.0.45B.0.55C,0.1D,0.9

2.已知a=｛x|*^W0｝，若264则Hl的取值范围是（）

A.-1<m<|B.-1<m<|

C.m<一!■或m|D.m<—1或m|

3.若抛物线产=2px的准线经过双曲线/-产=2的右焦点，贝i]p的值为（）

A.-2B.-3C.-4D.-5

4.已知四棱锥P—ZBCO的各顶点在同一球面上，若AD=2AB=2BC=2CD=4,为正三角形，且

面PAB1面ABCD,则该球的表面积为（）

1352

A.0B.16TTC.苧rD.207r

5.已知等比数列｛册｝中，=1,S九为｛a九｝前几项和，S5=5S3-4,则S4=（）

A.7B.9C.15D.30

6.已知函数f（久）=aln-^,其中a,。均为正数.若f（86）-f（3b）=2,则eT=（）

A.-eoB.—2cC.-3uD.g-

7.有一组样本数据：%1，久2,…，久8,其平均数为2,由这组样本数据得到新样本数据：%1，久2，…，久8，

2,那么这两组样本数据一定有相同的（）

A.众数B.中位数C.方差D.极差

8.若曲线丫=七>有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（）

B

A.-4D.—4LC.-3UD.—3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.若a=log30.3,b=303,c=0.33,则（）

A.b<aB.c<bC.a<cD.a<b

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10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点4B的距离之比为定值;1(441)的点的轨迹是

圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系工。>中，已知。(0,0),4(2,0),点P满足需=",设

点P

的轨迹为圆C,下列结论正确的是()

A,圆C的方程是(久+2)2+y2=9

B.过点a且斜率为义的直线被圆c截得的弦长为父善

C.圆C与圆0-1)2+(y—4)2=8有四条公切线

D.过点a作直线1,若圆c上恰有三个点到直线/距离为逆，该直线斜率为士字

11.已知函数f(x)的定义域为R,/(%+y)=簪+梨，且f(l)=1，贝1K)

A./(0)=0B./C-l)=-e2

C.e»(x)为奇函数DJ(x)在(0,+8)上具有单调性

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知复数z=2c%:丁飞e即的实部为0,则±加2。=.

13.已知空间中有三点。(0,0,0),4(1,-1,1),5(1,1,0),则点。到直线力B的距离为.

14.已知2/+丫2一2孙一2%一1=。.若y>x>1,求y的最大值为；若x〉1且x>y,求2%-y的最大

值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、

4x100米接力.

(1)志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选

择3000米服务的概率；

(2)为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选

4x100米接力.现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中首选4x100米接力的人数记作X,求

随机变量X的分布列和数学期望.

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16.(本小题15分)

在如图所示的几何体中，PAmABCD,PA//QD,四边形2BCD为平行四边形，AABC=60°,

^BAC=90°,AB=PA=1,PQ=2

①求证：直线PB〃平面DCQ；

(II)求直线PB与平面PCQ所成角的正弦值;

(III)求平面PCQ与平面DCQ夹角的正弦值.

17.(本小题15分)

三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了

巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角

和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.

(1)证明：sirdx—3sinx—4sin3x；

(2)若s出10。G(7*沾)，n€N*,求n的值.

18.(本小题17分)

已知P为平面上的动点，记其轨迹为匚

(I)请从以下两个条件中选择一个，求对应的r的方程,①己知点直线八%=-4,动点P到点r的

距离与到直线珀勺距离之比为今②设E是圆0：%2+y2=4上的动点，过E作直线EG垂直于x轴，垂足为G,

且还=字荏.

(2)在(1)的条件下，设曲线r的左、右两个顶点分别为4B,若过点K(l,0)的直线ni的斜率存在且不为0,

设直线机交曲线「于点M,N,直线n过点7(-1,0)且与久轴垂直，直线4M交直线n于点P,直线BN交直线门于

点Q,则线段的比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

19.(本小题17分)

对于数列｛即｝,数列｛厮+1-即｝称为数列｛即｝的差数列或一阶差数列.｛an｝差数列的差数列，称为｛即｝的二阶

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差数列.一般地，｛&J的k阶差数列的差数列，称为｛an｝的k+1阶差数列.如果｛an｝的k阶差数列为常数列,

而k-1阶差数列不是常数列，那么｛七｝就称为k阶等差数列.

⑴已知20,24,26,25,20是一个k阶等差数列｛%｝的前5项.求k的值及。6；

(2)证明：二阶等差数列也｝的通项公式为与=lh+(n-l)(b2-/?i)+1(n-l)(n-2)(fe3-2fe2+3；

(3)证明：若数列｛4｝是k阶等差数列，则｛4｝的通项公式是n的k次多项式，即％=£，=04加(其中乙

(i=0,1，…,k)为常实数)

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参考答案

l.A

2.2

3.C

4.C

5.C

6.C

7.0

8.4

9.BCD

10.BD

11.ABC

14.33

15.解：（1）记作事件4为“选择60米袋鼠跳服务”，事件B为"3000米服务”,

则P（a）=f=P（砌=f|=|,

即小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率会

（2）由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,

则P（X=O）=得4,

ny-4髭216

P（fX=1）=飞7=赤

P-2）=箸*,

P（X=3）=景=看

所以X的分布列为：

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X0123

12216274

P

654559191

匚Ui、〕r\12«216c2746

所以E(X)=°x布+lx痂+2x五+n3x曳=+

16.(1)证明：因为24〃Q。，P2C平面DCQ,QDu平面DCQ,

所以P4〃平面DCQ,

因为四边形A8CD为平行四边形，

所以4B〃CD,

又ABC平面OCQ,CDu平面。CQ,

所以4B〃平面OCQ,

因为P2nXB=4PA.ABu平面P4B,

所以平面P4B〃平面CDQ,

又PBu平面PA8,所以直线PB〃平面DCQ.

(II)解：因为N4BC=60°,ABAC=90°,AB=1,

所以AC=BBC=2=AD,

又PA1平面ABCD,PA//QD,PA=1,PQ=2M，

所以DQ=PA+y/PQ2—AD2=1+18—4=3,

以4为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,l),5(1,0,0),C(0，V3,0),D(-l，V3,0),Q(-1,件),

所以丽=(1,0,—1),PC=(0)A/3-1),CQ=(-1,0,3),

设平面PCQ的法向量为五=Q,y,z),则他•奇：号7以:索,

I/LC(t/——A.I3Z-U

取y=L则％=38，z=避，所以蔡=(34,1,避)，

设直线PB与平面PCQ所成角为仇则s出8=|cos(丽，3>|=；^具=号力|寻

\PB\•\n\J2XJ27+1+331

故直线PB与平面PCQ所成角的正弦值为始.

(III)解：由(II)知，平面PCQ的法向量为蔡=(3避,1,邓),

因为AC1平面DCQ,

所以平面DCQ的一个法向量为何=(0,1,0),

设平面PCQ与平面OCQ夹角为a,贝Ucosa=|cos<%,帚>|=野鹫=二唔,

\n\•\m\-i-:i-t-0x131

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所以s讥a=Jl-cos2a==雪碧，

故平面PCQ与平面。CQ夹角的正弦值为等.

17.解：(1)证明：sin3x=sin(2x+%)=sin2xcosx4-cos2xsinx=2sinxcosx-cosx+(1—2sin2

x)sinx=2smx(l—sin2%)+sinx—2sin3x=3sinx—4sin3x；

(2)由(1)可知，sin30°=3sinl00-4sin310°=1,

即s讥10。是方程4x3—3%+[=0的一个实根.

令/Q)=4x3—3x+pf'(x)=12x2—3=3(2x+l)(2x—1),

显然0<s讥10°<sin30°=j,

当0<x<拊，f(x)<0,

所以/(x)=4X3-3X+拉谒)上单调递减，

又短)=4X市-2+5=虱>0,/(5)=4X—<0,

由零点存在定理，可知Sinio。6(呆)，

故71=5.

18.解：(1)选①,设P(%,y),

rhJO+I)+丫2_1

出|x+4|~2"

化简得1+4=1,

4D

即所求轨迹r的方程为《+4=1.

43

选②，设POo，yo)，G(x(),0)，

由而=^GE,

2

得EQ。,金°),

代入圆。的方程。：/+产=4,

则就+(金oA=4,

整理得温+比=1,

43

即所求轨迹r的方程为《+4=1.

4D

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（2）设M（x】yi）,N（X2/2），

已知直线小的斜率存在且不为0,

设过点K的直线TH的方程为x=ty+1,

与方程苧+?=1联立得：（3t2+4）y2+6ty—9=0,

6t9

•.•%+及=一^^'月力=一^^'

且ty，2=五号4=|（yi+丫2）（*），

直线4M的方程为y=等7a+2），

yi

yp=xi+2-

同理，

.|TP|_Iyi(^2~2)._1,yi(%2~2).

.•西一32(%1+2)1一5电⑸+2)1'

苴中yi(%2-2)_yi(：y2-i)_、yiy2-yi

只中yzQi+2)-y2(tyi+3)-tyiy2+3y2'

将(*)代入可得，

打1丫2一丫1_|(yi+炀-力_、(yi+3V2)_1

tyiy2+3y2-I(yi+y2)+3y2-|(yi+3y2)3

,ITPI11

「|TQ|一§1§.

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19.解：(1)由题意数列｛册+i-册｝称为数列｛〃｝的差数列或一阶差数列.

｛厮｝差数列的差数列，称为｛即｝的二阶差数列，

｛册｝的那介差数列的差数列，称为｛4｝的k+1阶差数列.

可得｛即｝的一阶差数列为4,2,-1,一5；

二阶差数列为—2,-3,-4；

三阶差数列为-1,-1,-1为常数列，故｛即｝为三阶等差数列，即k=3,

二阶差数列的第4项为-5,一阶差数列的第5项为-10,即。6-口5=-1。，故。6=1。；

(2)证明：由题意可令dn=砥+i-既,

••,｛加｝是二阶等差数列，

•••dn—dn-x=dn-1—dn-2==d2_di=b^—2b2+b],

•••dn=(dn—dn-i)+(dn-i+dn-2)+…+(电―心)+询=(n—1)(Z?3—2Z?2+比)+(为一九)，

・•・由题意将b九可以写成