广西七地市2025届高三年级上册摸底测试数学试卷（含答案解析）

广西七地市2025届高三上学期摸底测试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合/={#>2},8={引2</<3},贝I」（）

A.=0B.A^\B=AC.A\jB=BD.A\JB=A

2.曲线y=在点（-3,-8）处的切线斜率为（）

A.9B.5C.-8D.10

3.若向量/B=（2,5）,AC=（m,m-hl）f且A,B,。三点共线，则加=（）

2233

A.—B.—C.—D.—

3322

4.在四棱锥尸一/BCD中，“3。//40”是“3。//平面尸/。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（兀..4KV37i..3Q、

5.cos—+isin——cos--Fisin——=（z）

I55人1010J

A.1B.iC.-1D.-i

22

6.已知双曲线C:^--匕=1的左、右焦点分别为《，F2,尸为C右支上一点，。为坐标原

169

点，。为线段处;的中点，T为线段用上一点，且|。刀=|。。|,则出刀=（）

A.3B.V10C.4D.5

7.定义在R上的奇函数/（》）在（0,+。）上单调递增，且=则不等式4区40的解

I”x-2

集为（）

c.[-V^,-；]U｛O｝U（A/5',+8）D.卜8,-行）UU；

b

8.若数列｛4｝、"｝满足%=出=1，n=a„+i-n+\,+则数列｛/+4｝的

前50项和为（）

A.2500B.2525C.2550D.3000

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.广西壮族自治区有7个市区的面积大于1.3万平有千米，这7个市区为南宁市（22100

平方千米）、柳州市（18596平方千米），桂林市（27800平方千米）,百色市（36300平方千

米），河池市（33500平方千米），来宾市（13411平方千米），崇左市（17332平方千米），

这7个市区的面积构成一组数据，则（）

A.这组数据的极差为22889平方千米

B.这组数据的中位数对应的市区为桂林市

C.这组数据的第40百分位数对应的市区为柳州市

D.这组数据中，大于1.8万平方千米的频率为：

10.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶

点的曲率等于27t与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面

角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为:，故其各个

顶点的曲率均为如-3乂1=兀.如图，在正方体44GA中，AB=&,则（）

A.在四面体N8C，中，点A的曲率为五

7兀

B.在四面体/8CR中，点2的曲率大于?

C.四面体N8C2外接球的表面积为12兀

D.四面体"CD1内切球半径的倒数为\+46+3收

6

11.已知函数/（尤）=卜山2司+854%,则（）

A./（X）的最大值为:

试卷第2页，共4页

B./⑺的最小正周期为]

C.曲线y=〃x)关于直线X=g(4ez)轴对称

D.当xe[O,可时，函数g(x)=16/(x)-17有9个零点

三、填空题

,1,1

12.lg-+lg-=.

13.(x+y)(x-y)6的展开式中，各项系数之和为,一贯项的系数

为.

14.两条都与y轴平行的直线之间的距离为6,它们与抛物线V=4x和圆(x+4)2+r=4分

别交于点A,8和C,D,则H/.|C必的最大值为.

四、解答题

15.在V4BC中，。，6,c分别是内角A,B,C的对边，^.a2+b2ab+c2,6csin/=sinC.

⑴求C;

(2)求c的最小值.

16.在六面体4BCZ)—44GA中，平面48CD,441//AS1〃CQ//。鼻，且底面4BCD

为菱形.

(1)证明：8。1平面/eq%.

7

⑵若AA,=CG=],ZBAD=60°,4B=BB、=2.求平面/0G2与平面ABCD所成二面角

的正弦值.

试卷第3页，共4页

17.已知函数/(x)="-'+1nx.

a

⑴讨论〃x)的单调性；

⑵若/(x)存在最大值，且最大值小于0,求。的取值范围.

18.甲、乙两个口袋都装有3个小球(1个黑球和2个白球).现从甲、乙口袋中各取1个小

球交换放入另外一个口袋(即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋)，

交换小球〃次后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为P,,恰有1个黑球的概率为4“.

(1)求。1，%;

(2)求心，见；

〃31

(3)求数列｛%,｝的通项公式，并证明W>-£<方.

i=\520

19.若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.

⑴证明：椭圆生+三=1为“质朴椭圆”.

22554

22

(2)是否存在实数加，使得椭圆|^+\=1(0<机<36)为“质朴椭圆”？若存在，求加的值；

若不存在，说明理由.

22

⑶设斜率为2的直线/经过椭圆C:芯+方=1(0<6<3)的右焦点，且与C交于A,B两点,

|/凶=号，试问C是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DABCBCDCACDABD

题号11

答案BC

1.D

【分析】首先判定集合A和集合3的关系，再根据集合的运算确定/口8=3,A[]B=A.

【详解】由题意可得，集合3是集合A的一个真子集，

则/口3=8,A]JB=A,

故选：D.

2.A

【分析】求导，根据导数的几何意义可得解.

【详解】由已知y=；/+l,则了=x?,

当x=-3时，了=（一3丫=9,

即切线斜率1=9,

故选：A.

3.B

【分析】由题意可得下〃衣，根据两向量平行的坐标运算求解即可.

【详解】解：由A,8,C三点共线，

得万〃就，

2

得2（机+1）-55=0,解得〃？=§.

故选：B.

4.C

【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理，结合充分、必要条件的定义进行判定.

【详解】

答案第1页，共12页

R

D

/，-----\-\->/c

///\\//

///\、//

AB

由3C7//。，5cz平面尸40,4Du平面尸得BC//平面尸4D.

由5C7/平面尸40,3Cu平面平面/BCDCl平面尸4。=4。，得BC//AD.

故“BC//4D”是“BCII平面PAD”的充要条件.

故选：C.

5.B

【分析】根据复数的四则运算,结合三角恒等变换可得解.

【详解】^cosy+isin^¥cos)71..3疝

—+ism——

010J

(兀..7iV3兀..3

=cos—+isin—cos——+ism-

I55大10lioj

7i3兀.兀.3兀/.兀3兀兀.3兀、

=cos—cos------sin—sin------bi:sin—cos—+cos-sin—

510510\510510j

(713兀)..(713兀、

=cos—+——+isin—+——

(510)(510)

兀..兀

=cos—+1sin—

22

=1，

故选：B.

6.C

【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案.

【详解】如图:

因为P为C右支上一点，所以|尸耳|-忸闾=20=2/=8.

答案第2页，共12页

因为O为坐标原点，。为线段尸耳的中点，所以=尸闾，\FtQ\=~\PFt\,

则阳T|=\FtQ\-\QT\=\FtQ\-\OQ\=1(|^|-|^|)=4.

故选：C

7.D

【分析】首先根据函数的奇偶性、单调性，判断/(0)=0,/(》)在(-双。)上单调递增，且

'1:=°'再结合函数/(x)的单调性解不等式即可.

【详解】由题意可得，〃0)=0,/⑺在(-双。)上单调递增，

由男”得/W<0厂（无"0

"_2<0'

X2-2>0

•・•/（无）40时，x<-1,或Owg,

又/一2>0,即尤<—y[2，或x>,

故[4T：，解得x<一行，

[x—2>0

「/(x)>0时，—或1之§，

XX2-2<0,即-夜<x〈收，

故，4!，解得-：4x40,或

，-2<033

则不等式，^40的解集为：xe(-^-V2)u-1,0o$/j,

故选：D.

8.C

【分析】又已知可得知+i+a+i=%+6“+2,可知数歹为等差数列，进而可得解.

ba

【详解】因为。2=1，n=n+l-«+1,所以4=。2-1+1=1,

又限=6“+”T，bn+\=an-n+3,

则an+x+bn+x=an+bn+2,

所以数歹式乙+，｝是首项为q+4=2,公差为2的等差数列,

答案第3页，共12页

所以=2+（〃-1>2=2〃,

贝I数歹！］｛%+4｝的前50项和为50x2+^j^x2=50xQ+49）=2550,

故选：C.

9.ACD

【分析】将这7个数从小到重新排列，求出极差判断A；找出中位数判断B；求出第40百

分位数判断C；求出大于1.8万平方千米的频率判断D.

【详解】解：这组数据（单位：平方千米）按照从小到大的顺序排列为13411,17332,18596,

22100,27800,33500,36300,

所以这组数据的极差为36300-13411=22889平方千米，故A正确；

这组数据的中位数22100平方千米，中位数对应的市区为南宁市，故B错误；

因为7x40%=2.8,所以这组数据的第40百分位数为18596平方千米，

所以第40百分位数对应的市区为柳州市，故C正确；

这组数据中，大于1.8万平方千米的有5个，

所以大于1.8万平方千米的频率为：，D正确.

故选：ACD.

10.ABD

【分析】根据正方体的性质及四面体的内切球与外切球的半径算法，结合曲率的定义分别计

算各选项.

7T

【详解】在正方体中，易证A4CQ为正三角形，AB1AD,,NB4C=—,

4

（IT7T7T11Ijr

在四面体N5C2中，点A的曲率为2兀-3+5+了二石-,A选项正确；

/AD】B=/BDC，ADBZBD©=

在正方体ABCD-44GA中,•.•tan/X=tanX1

rr

:.0<ZADiB^ZBDlC<-,在四面体/BCR中，点口的曲率为

+Z.BD.C+y>2TT-4'）=［，B选项正确；

••・四面体/3C2外接球的半径即为正方体/3CD-44GA外接球的半径为且=迪,

22

2

四面体/BCR外接球的表面积为4兀X二18兀，c选项错误;

答案第4页，共12页

四面体ABCj的体积K=；xgx(指『又屈=庭，

四面体4BCR的表面积S=；x("『+；x&匹x2+%(jrj=3+6A£+3夕,

3V3/66

，四面体内切球的半径y—-----------------------------__--------------------------.........................................

'-s-3+6>/2+3V3-1+2X/2+V3-八+6+4'

即Ln+4G+3区D选项正确;

r6

故选：ABD.

11.BC

【分析】化简函数解析式，结合函数的周期性与对称性可判断各选项，根据函数零点的定义

可解得卜苗2厘=：土?，数形结合即可得解.

【详解】f(x)=|sin2x|+1-21sin2x12=-2f^in2x|-；29

+-

8

1Q

当bin2x|=:时，/(x)取得最大值，且最大值为,，A选项错误；

因为y=|sin2x|,y=cos4x的最小正周期均为所以1⑴的最小正周期为］B选项正

确;

in2r卜cos4xGZ),所以曲线y=f(x)

关于直线、=宁(左£Z)轴对称，C选项正确;

令g(x)=16/(x)-17=0,得/(冷=\,贝牛由2乂=；土",

结合函数;Hsin2x|(OWxW兀)的图象，可知方程卜亩2耳=；±*在［。,可上有8个不同的实根,

D选项错误；

故选：BC.

12.-1

【分析】根据对数的运算公式直接可得解.

答案第5页，共12页

【详解】lgl+lgj=lg^=-l,

故答案为：T.

13.0-5

【分析】令尤=y=i可得展开式各项系数和，写出展开式的通项，利用通项求出Yj?

项的系数.

【详解】令x=〉=l,得(x+y)(x-y)6=0,即各项系数之和为0,

X(x+J)(x-J)6=X(X-J)6+J(X-J)6,

其中展开式的通项为&产re{0,1,2,3,4,5,6},

所以含x"的项为xC,(一y)3+yC*4(-y)2=一5/优即//项的系数为-5.

故答案为：0；-5

14128G

,9

【分析】设直线CD方程为x=f,结合直线与圆相交可知年(-6,-2),则直线的方程为

x=f+6,根据直线与圆相交的弦长及直线与抛物线相交得弦长可得

|同|CD|=84+6)[4一《+4)1,设机=1+4<-2,2),结合导数可得的最大值.

【详解】设直线。方程为工=乙

由已知圆(x+4『+y2=4的圆心M(-4,0),半径厂=2,

由直线CD与圆/相交，即点M到直线C。的距离〃寸+4]<2,解得-6<1<-2,

且=2yjr2-d2=2^4-(?+4)2;

直线45的方程为x=£+6,设8(%2，丫2)，

联立直线[；U：则乂=2E,y2——2讳+6,

KO\CD\=1^-J/2I=,

则朋.Q|=2j4_(+4y.4jZ?=8/+6)卜(+4J]f6<?<-2),

设加=/+4«_2,2),

答案第6页，共12页

则\AB\-\CD\=8J（加+2乂4-叫（-2<加<2）,

设f（冽）—（加+2乂4—%2）（_2<m<2）,

贝11fr（m）-（4一冽之）+（冽+2）•（-2冽）=-3m2-4m+4=-（3m-2）（m+2）,

令/'（加）>0,解得一2<加<§,令/'（加）<0,解得§（加〈2,

即/（加）在［-2,?上单调递增，在［1,2）上单调递减，

即当机=g时，/（"）取得最大值为=等，

则|期•|CD|的最大值为8楞=笥叵，

故答案为：空8.

9

兀

15.（1）C=-

（2）1

【分析】（1）根据余弦定理直接可得角C；

（2）结合正弦定理边角互化可知仍=1,则根据基本不等式可得最值.

【详解】（1）因为/+〃=他+°2,所以cosC=>+」一厂

2ab2

因为Ce（0,7t）,所以C=5；

（2）因为bcsin/=sinC,

由正弦定理可知abc=c,

所以〃6=1,

由/+〃=ab+c2f

得。2=a2+b2-ab>lab-ab=ab=l

则cNl,

当且仅当。=6=1时，等号成立.

所以。的最小值为1.

16.（1）证明见解析

0、3月

）13.

【分析】（1）先证NC18。，，2。，再根据线面垂直的判定定理证明BD1平面ACC.A,.

答案第7页，共12页

(2)建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的三角函数.

【详解】(1)因为四边形/BCD为菱形，所以/C18O.

又/4_L平面/BCD,8Ou平面A8CD,所以44]_LBZ).

因为441,/Cu平面/CG4，

所以BD工平面/CG4.

(2)由题意得8。=2,AC=26

以菱形/3C。的中心。为坐标原点，OB，诙的方向分别为x,y轴的正方向，建立空间

直角坐标系。孙z,如图所示,

设平面481GA的法向量为4=(x,y,z),

x+s/3y--z=0

AB-^=0

XX2，令z=2,得，=(3,0,2).

则3

0G=0-X++—z—0

易知平面ABCD的一个法向量为%=(0,0,1),

/—*―472222^3-

贝Ucos伊1，n2)=....=-=一

|«1||»2|而X113

3V13

所以平面4B£R与平面ABCD所成二面角的正弦值为J1-

13

17.(1)答案见解析;

答案第8页，共12页

(2)(-8,-1).

【分析】(1)求出函数“X)的导数，再按。>0,。<0分类讨论求出/(X)的单调区间.

(2)由(1)的信息，求出最大值，再建立不等式并构造函数，利用导数单调性求解即得.

【详解】(1)显然的定义域为(0,+8),求导得/(》)=。+[=生土1,

XX

当。>0时，/(x)>0,/(x)在(0,-KO)上单调递增；

当。<0时，由/'(x)>0,#0<x<--,令/'(x)<0,得x>-工，

aa

则在(0,-3上单调递增，在(-L+8)上单调递减，

aa

所以当a>0时，/(x)的单调递增区间是(0,包)；

当。<0时，/(无)的单调递增区间是(0,-1)，单调递减区间是(-L+8).

aa

(2)由(1)知，当且仅当。<0时，“X)存在最大值，且最大值为〃-工)=-1-工-111(-a).,

aa

11-11-/7/、

设g(«)=-l---ln(-«),求导得g,(«)=4-一=三>0,函数g(a)在(一叫0)上单调递增,

cici—aa

又g(T)=0,则由g(")<0,得〃<-1,

所以。的取值范围为(-”「1).

18.⑴Pi=|，%=:

1649

(2)p?=—g]，n%=—gj

⑶/=|-融-j,证明见解析

【分析】(1)根据古典概型概率及互斥事件的概率公式计算即可；

(2)根据条件概率与全概率公式计算即可；

(3)讨论第〃(〃22)次换球后甲口袋中黑球的个数为1的情况下的三种情形，构造等比数

列计算通项公式，再由等比数列求和公式结合指数函数的性质证明即可.

【详解】(1)第1次换球后甲口袋中有2个黑球，即从甲口袋取出的为白球且从乙口袋取出

212

的为黑球，则)i=§x§=§.

第1次换球后甲口袋中有1个黑球，即从甲、乙口袋取出的同为白球或同为黑球，得

22115

q、=—x—I—x-=一.

133339

(2)若第2次换球后甲口袋中有2个黑球，

答案第9页，共12页

则当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球,

当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球，

所以02=%X;X;+P]X—=—X--1——X—=—

3999381

若第2次换球后甲口袋中有1个黑球，

则当第1次换球后甲口袋中有0个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球,

当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球,

当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球，

2

所以/=。一/一R)x丁+孙义

(3)第〃(〃22)次换球后，甲口袋中的黑球个数为1的情形有：

①若第1次换球后甲口袋中有2个黑球，则第"次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；

②若第次换球后甲口袋中有1个黑球，则第〃次甲、乙口袋同取黑球或同取白球;

③若第1次换球后甲口袋中有0个黑球，则第"次甲口袋取白球且乙口袋取黑球.

2

所以q”=A,-IX-+^„-IX

设4"+2=-§(或-1+2)("22),

则“1二一一彳一:"^,则一^2="|,得4=一

又%-1=-£,所以数列1S3〕是以k2为首项，-51为公比的等比数列

-----------X—<——

,

1--2020920-

9

【点睛】思路点睛：根据条件概率与全概率公式得出第n次换球后甲袋1个黑球的第”-1次

换球后甲袋中黑球个数的情形得出&Mi的关系式，结合等比数列的求和公式计算即可.

19.(1)证明见解析

(2)不存在实数机，理由见解析

(3)C为“质朴椭圆”，理由见解析

答案第10页，共12页

【分析】（1）（2）根据椭圆的方程可得焦距与离心率，再根据“质朴椭圆”的定义判断即可;

（3）联立直线与椭圆，根据韦达定理及弦长公式可得6,进而可判断.

【详解】（