2024-2025学年辽宁省丹东某中学高三（上）期初模拟数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省丹东四中高三（上）期初模拟数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4=—1＜久＜3,久eN｝,则集合力的真子集的个数为（）

A.7B.8C.15D.16

2.已知a,b为非零实数，则“0＜苴＜1"是“|a|＜网”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.设%是等比数列｛厮｝的前n项和，若52=2,a3+a4—6,则/=（）

A.2B，77C.3D.1?3

44

4.已知函数f（x）=K21-1_ax的图象在点（1,1（1））处的切线斜率为2,则a=（）

A.-1B.1C.-2D.2

5.已知连续型随机变量Xj〜N（%,/2）（i=i,2,3）,其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（）

A.P(X]</z2)<P(X2<的)

B.P(X2>42)>P(X3>43)

C.P(X1<〃2)<P(X2<〃3)

D.P(四一20t<Xt<nt+2<7;)=P(Mi+i-2<ri+1<Xi+1</ii+1+=

1,2)

6.已知等差数列｛a｝的前n项和为%,%=9,a2为整数，且则数列的前9项和为（）

nanan+l

B.gD

A-.-9l

7.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德

雷.马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若f是只取非负值的随机变量，则对Va＞0,都有P（f2a）W

幽.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过

a

100万元”为事件力，其概率为PG4）.则PQ4）的最大值为（）

A27n243±4

A-1000B-1000Cr-27Dn-9

8.若关于久的不等式）x+a-午＜0有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是（）

11

A.G，2仇2+1]B.@,3仇3+1]

C.[2ln2+1,3)3+1)D.[In2+右3》3+1)

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知正实数a,b满足a?-ab+=1,贝0()

A.a+b的最大值为2B.ab的最小值为1

C.a2+b2的最大值为2D.a2+炉的最小值为1

10.已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一

次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回

去，依此类推，第k+1次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去.记第n次取出

的球是红球的概率为分，则下列说法正确的是()

A.^=|

B.3Pzi+i+Pn=1

C.第5次取出的球是红球的概率为燃

D.前3次取球恰有2次取到红球的概率是黑

11.已知函数f(%)=x(Znx)2+%,则()

A./(%)在区间(0,+8)上单调递增

B.当久=；时，/(%)取最小值

C.对V%G(-,+oo),m>0,g(%)=/(%+m)—/(%)为增函数

D.对v久1，久2e(：,+oo),i[/(Xi)+IS)]>空)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.曲线y=2lnx-%在％=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.

13.已知实数a,b满足，b=l+a,be(0,1),则华一幕-的最小值为___.

b2。23a

n-1

14.数列｛an｝满足的_+2a2+22a3H--F2an=|(n+l)n(n-1),若对任意4>0,所有的正整数九都

有下—左久+2>即成立，则实数k的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16,且的,口2，a5成等比数列•

(1)求数列｛5｝的通项公式:

2%为奇数

(2)设Zm一为偶数求数列也｝的前久项和4

.a?2a九+2

16.(本小题12分)

已知函数/'(x)=x2+Inx—ax+a.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)>x(J.nx+1)对任意的久>1恒成立，求实数a的取值范围.

17.(本小题12分)

已知数列｛%J前n项和为外,且25n=n(n+1),记“=(一1)”筌坦.

an^~an

(I)求数列｛即｝的通项公式；

(II)设数列｛小｝的前几项和为7；,求7202「

18.(本小题12分)

当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未

来社会发展和解决人类面临的金球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公

司对产品研发年投入额双单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据统计表：

X123456

y0.511.53612

z=Iny-0.700.41.11.82.5

(1)公司拟分别用①y=bx+a和②y=e©+机两种方案作为年销售量y关于年投入额x的回归分析模型，请

根据已知数据，确定方桀①和②的经验回归方程；(a,计算过程保留到小数点后两位，最后结果保

留到小数点后一位)

(2)根据下表数据，用决定系数R2(只需比较出大小)比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更

高的模型，预测年投入额为7百万元时，产品的销售量是多少？

.7_nx+m

经验回归方程y=bx+ay-eo

残差平方和把1(%-%)218.290.65

参考公式及数据：b=,a=y-bx,R2=1-，£乙刈%=121,£乙螃=

娶ig-x)lt=i(.y-y)

--1

91£乙XiZi=28.9,z屋(-0.7+0+0.4+1.1+1.8+2.5)=0.85,e28~16.5,e3«20.1.

19.(本小题12分)

已知函数f")=alni一z--(aGR).

x

(1)若a=2,求证：当％>1时，/(%)<0

(2)若/(%)有两个不同的极值点%<久2)且0<+%244.

⑴求a的取值范围；

(ii)求证：/(%2)<2A/~3.

参考答案

1.71

2.4

3.D

4.B

5.D

6.5

7.B

8.A

9.AC

10.AC

U.ACD

12.2

13.2025

14.(-oo,V^)

15.解:⑴设｛时｝的公差为d,由题意知偿产+。3+。4=16

即，1+64=16,

((@1+d)=%(%+4a)

因为dW0,所以的=1,d=2,

所以。九=2n—1.

(2)设数列｛4｝的前2九项中的奇数项之和为4偶数项之和为3,

4n-344n+1

则A=2%+2a3+…+2a2X=2al2a2n—1.162-2«22-2

1-161-16-15-

111_1111111

--------1---------Fd-------------=Ty-j(------------1-------------F•••H-----------------

Q2a4a4a6a271G2几+2。2a4a4a6a2na2n+2

"1)=1Cj=l1

2d72^2n+2J4l34n+3J1216n+12,

7471+1_2[[^4n+l[1

所以T2n=A+B=———+--/T5=-77---元―-

lu1Z1lo6Tl+1ZlbZUl1o6Zl++1lZ2

16.解：(1)由题意可知：f(x)的定义域为(0,+8),且广(久)=2%+：—a=计1

对于2%2一。%+1,则有：

若。<0时，贝Ij2%2一+1>0,可得(。)>0,所以/(%)在(0,+8)内单调递增;

若Q>0时，则有:

当4=a2—8<0,即0Va42，^时，贝！J2/—ax+1>0,可得/'(%)>0,

所以/(%)在(0,+8)内单调递增；

当/=a2—8>0,即a>2V~^时，令2——ax+1=0,

ATJZQa-VCL^—8a+Ja2—8

解得Xl=-7—,比2=—7—且0<%1V%2，

令f'(x)>0,解得%>%2或0<%v%1；令f(x)<0,解得%1<X<%2»

所以/(%)在(%L］2)内单调递减，在(0,%1)，(%2,+8)内单调递增;

综上所述：当时，/(%)在(0,+8)内单调递增；

当a>2/I时，f(x)在(右尸，纪尸)内单调递减，在(0,中三)，(。，七产),(空尸,+8)内

单调递增.

(2)构建g(%)=/(%)—x(lnx+1)=%2+(1—x)lnx—(a+l)x+a,

原题意等价于g(%)>0对任意的％>1恒成立，

1_ri

则g'(%)=2%—ITIX4—---(a+1)=2.x-Inx+——(a+2),且g(l)=0,则g'(l)=1—a之0,解得

a<1,

下证充分性，

若aWl,令h(x)=g(>),%>1,则"⑺=2-(一表=吆詈匚0,

可知八(久)在［1,+8)内单调递增，则h(x)Nh⑴=1—aN0,即g(x)N0对任意的xN1恒成立,

可知gO)在［1,+8)内单调递增，可得g(K)2g(l)=0,符合题意；

综上所述：实数a的取值范围为

1

17.解：(I)由2szi=71(几+1),得几+1),

当九=1时，a1=S1=^xlx2=l；

当几之2,九EN*时，Sn.1=1n(n—1),

1i

an=Sn—Sn_1=-n(n+1)—~n(n—1)=n.

当九二1时也符合，

••・an=n(nEN*)；

(ID.=(T)n篇=(T)n黑=(一】)"卷=+

11111111

72021=一(f+2)+G+?_G+4)+----(2021+2022)

112023

20212022T-七2022,

iQA771+2+3+4+5+6

18.角生(1)%=-----------------=3Q.5c,

-0.5+1+1.5+3+6+12/

y=-----------A-------------=%

121—6x3.5x437A37

所以b=*5v2.11,a=4—I75x3.5=-3.40,

91-6X3.52

所以y=2.1%—3.4,

由丫=e71%+771,两边取以e为底的对数得仇y=几％+?n,即z=7i%+zn,n=281；］6：；；：8511.05

17.5

0.63»Tn=0.85—I75X3.5=-1.36,

所以z=0.63%-1.36,所以y=e°£%T・4；

(2)£忆式％-y)2=(0.5-4)2+(1-4)2+(1.5-4)2+(3-4)2+(6-4)2+(12-4)2=96.5,

对于y=2.1%—3.4，段=1-Mg；

对于y=/6%-1.4,膨一一貌,

所以②的拟合效果好，当久=7时，预测值y=e°£x7-1.4=，.8、16.5千件.

1

19.解：(l)a=2时，f(x)=21nx—x+

则/⑺=I_1_3=_2：yT=《0,

故f(x)在［l,+8)单调递减，

故/(%)</(I)=0,

故%>1时，/(%)<0；

(2)①广⑺丹——二弋尸%>0,

由于/(%)有两个不同的