2025年高考数学复习之椭圆

2025年高考数学复习新题速递之椭

选择题（共8小题）

丫22y/2

1.（2024•德州开学）已知椭圆C：a+必=l（a>0）,则“a=3”是“椭圆C的离心率为亏”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2024秋•承德月考）已知椭圆T：:*l（a>b>0）的左、右焦点分别为人，尸2,T上一点A满足

\AF2\=2b,若则T的离心率为（）

3.（2023秋•酒泉期末）某班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦

点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已

知椭圆C的方程为n=1,其左、右焦点分别是A,F2,直线/与椭圆C切于点尸，且|PFi|=6,

过点尸且与直线/垂直的直线机与椭圆长轴交于点。，则段=（）

1^2<21

XV

4.（2023秋•越城区校级期末）已知产为椭圆及―+―=1的右焦点，直线皿-y+m=0与椭圆交于点

A,B,则网的周长为（）

A.4B.2V3C.8D.48

x2y2

5.（2024•陕西模拟）已知椭圆工工+台=1的焦点在y轴上，若焦距为4,则该椭圆的离心率为（）

V52V51V3

A.—B.-----C.-D.—

5523

6.（2024春•亳州期末）设为，尸2分别是离心率为冷的椭圆C：各鸟=l（a>6>0）的左、右焦点，过

点八的直线交椭圆C于A,B两点，且|AH|=3|乃3|,则COS/AF2B=（

7.（2024秋•安徽月考）已知椭圆C：竽+[=1（>>0且入W4）,则“C的离心率e:乎”是“入=8”的

（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

x2

8.（2023秋•浦东新区校级期末）已知椭圆:■+/=1,作垂直于I轴的直线交椭圆于A,B两点，作垂

直于y轴的直线交椭圆于C,D两点，且|A2|=|C£»|,两垂线相交于点P,若点尸的轨迹是某种曲线（或

其一部分），则该曲线是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

二.填空题（共8小题）

9.（2024秋•大庆月考）已知尸是椭圆C：冒+，=l（a>b>0）的左焦点，直线y=fcv（20）交椭圆C

于M,N两点.若|FM|=3|FN|,/MFN=笺,则椭圆C的禺心率为.

10.（2024秋•江西月考）已知椭圆C；务，=l（a>b>0）的左、右焦点分别为尸i,F1,经过点尸2且垂

直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点，且|AFi|=10,|AB|=12,则椭圆C的离心率

为.

11.（2024秋•开福区校级月考）已知椭圆C；摄+，=l（a>b>0）的左、右焦点分别为四，尸2,点尸是

椭圆C上的一点，延长PF2交椭圆C于点M,且△乃PM为等边三角形，则椭圆C的离心率

为.

汽2v2TC

12.（2024•重庆模拟）已知点/为椭圆/+正=l（a>b>0）的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为的

—>―»—>—>

直线交椭圆于尸，。两点，|FP+FQ|=|FP—FQ|,则该椭圆的离心率为.

第2

13.（2024春•沙市区校级月考）尸是椭圆C：—+/=1上除长轴端点外的任一点，连接尸为，PF1,设/

4

为尸尸2的角平分线交。的长轴于点M（如0）,则徵的取值范围.

14.（2023秋•浦东新区校级期末）方程——+人一=1表示焦点在X轴上的椭圆，则X的取值范围

3-mm-1

是.

x2y2

15.(2023秋•普陀区校级期末)已知椭圆一+乙=1的左、右焦点分别为乃、F1.若尸为椭圆上一点，

167

且|PA|・|尸尸2|=14,则△为尸尸2的面积为.

16.(2023秋•北海期末)如图，已知椭圆C/+瓦=l(a>b>0)的左、右焦点分别为八，F1,过椭

1

圆左焦点Fi的直线与椭圆C相交于P,Q两点，|。氏2|=2|尸产2|,cos/尸尸2。=5，则椭圆C的禺心率

为.

三.解答题(共4小题)

17.(2024•江西开学)已知椭圆C：鸟+4=l(a>6>0)的离心率为乌右焦点为R点(一孝印)在C

dI)2乙乙

上.

(1)求C的方程;

(2)已知。为坐标原点，点A在直线/：y^kx+m(20)上，若直线/与C相切，且出，/,求|。4|

的值.

x2y2

18.(2023秋•西固区校级期末)已知椭圆=+77=l(a>6>0)的焦点是尸2,且尸1尸2|=2,禺心率

azoz

为也

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C与直线y=x+:〃交于M,N两点，且|MN|=^求实数机的值.

19.(2024秋•湖南月考)已知椭圆C：冬+*l(a>b>0)的焦距为2也且C的离心率为子.

(1)求C的标准方程；

(2)若A(-3,0),直线/：x=ty+\(Z>0)交椭圆C于E,尸两点，且△AEF的面积为旧，求t

的值.

x2y2

20.(2024•开封模拟)已知椭圆C：混+记=1(。>力>0)的左，右焦点分别为乃，F2,上顶点为A,且

—>T

AFr-AF2=0.

（1）求C的禺心率；

8

-

（2）射线AF1与C交于点B,且3求△A8R的周长.

2025年高考数学复习新题速递之椭圆（2024年9月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

22A/2

1.（2024•德州开学）己知椭圆C：r云+外=1（口>°），则“。=3”是“椭圆C的离心率为亏”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】求椭圆的离心率；充分不必要条件的判断.

【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑；数学运算.

【答案】A

【分析】本题利用椭圆的几何性质列出方程，求得。的值，再结合充分、必要条件的判定方法，即可得

出结果.

【解答】解：由椭圆C的方程w+y?=1（。〉0）可得，

①当〃>1时，可得c=—1,此时椭圆的离心率为e=卜=一壶,

由？=¥^可得，J1-，=解得4=3,

当0<aVl时，可得c=-*此时椭圆的离心率为e='="1—了2,

由？=孥可得，田彳=竽，解得

x2____

②当a=3时，则椭圆C的方程为丁+y?=l（a>0）,则此时c=V9^1=2A/2,

此时椭圆C的离心率为e=三=绛,

2y/2

综上得，〃=3是椭圆C的离心率为三的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查椭圆的几何性质以及充分、必要条件的判定方法，属于中档题.

2.（2024秋•承德月考）已知椭圆T：,*l（a>b>0）的左、右焦点分别为Q,Fi,T上一点A满足

\AF2\=2b,^AF21AFI,则T的离心率为（

【考点】求椭圆的离心率.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】D

【分析】利用已知条件，结合椭圆的定义，推出a,b的关系，然后求解离心率即可.

【解答】解：椭圆T;喘+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为乃，F2,T上一点A满足叱2|=2b,

AF2±AFI,

可得|AFI|=74c2—4b2,所以J4c2—442+2b=2a,即c?-庐=/-2ab+/,可得3b=2a,

所以e=(V5

T-

故选：D.

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题.

3.(2023秋•酒泉期末)某班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦

点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已

第2V2

知椭圆C的方程为石+石=1,其左、右焦点分别是尸2,直线/与椭圆C切于点P,且『门|=6,

过点尸且与直线/垂直的直线机与椭圆长轴交于点。，则段=()

【考点】椭圆的几何特征.

【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】C

【分析】由光反射的性质易得PQ平分/人尸尸2,再由椭圆的定义及已知即可求比例.

【解答】解：由题设可知。=5,b=273,且/。尸为=/。尸/2,

即PQ平分/四尸尸2,

根据角平分线性质可得需=臀,

\PF2\\F2Q\

又|PFI|=6,|PFi|+|PF2|=2a=10,

所以|尸刈=4,

I&QI63

所以=

\F2Q\~42

故选：C.

【点评】本题考查了椭圆的定义，重点考查了内角平分线定理，属基础题.

x2y2_

4.（2023秋•越城区校级期末）已知F为椭圆E：—+—=1的右焦点，直线3->利=0与椭圆交于点

A,B,则的周长为（）

A.4B.2V3C.8D.4百

【考点】椭圆的几何特征.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】C

【分析】直线蛆-y+m=0恒过椭圆的左焦点，利用椭圆的定义求得△AM的周长.

【解答】解：：直线妙-y+机=0恒过的定点门（-1，0）为椭圆E的左焦点，

由椭圆的定义知AAFB的周长为|AE+|A3|+|BF|=|AF|+|AFi|+|BFi|+|BF|=2a+2a=4a=8.

故选：C.

【点评】本题考查椭圆的几何性质，属基础题.

x2y2

5.（2024•陕西模拟）已知椭圆工工+七=1的焦点在y轴上，若焦距为4,则该椭圆的离心率为（）

V52V51V3

A.—B.-----C.-D.—

5523

【考点】求椭圆的离心率.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】B

【分析】利用焦点在y轴上可求/的范围，进而由「4-（10-Z）=4,可求人

【解答】解：由题得L4>10-r>0,可得

因为焦距为4,所以L4-（107）=4,解得t=9,

c22V5

所以椭圆的禺心率为一=-

aV55

故选：B.

【点评】本题考查椭圆的性质，属基础题.

6.(2024春•亳州期末)设为，尸2分别是离心率为座的椭圆C：鸟+4=l(a>6>0)的左、右焦点，过

2ab

点八的直线交椭圆C于A,B两点，且［4历|=3|乃3|,则COS/AF28=()

1V223

A.—B.—C.—D.—

5555

【考点】椭圆的焦点三角形.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算.

【答案】D

【分析】设G>0),由题意及椭圆的定义，可得|A尸2|,|AFi|,阿的值,在尸2和△入加I2

中，由余弦定理可得a,/的关系，进而可得△AF28为直角三角形，再求出COS/AF2B的值即可.

【解答】解：因为e=(=¥，所以a=/c,

设出尸l|=fG>0),贝\AB\=\AFi\+\BFi\=4t,

由椭圆的定义得|A五2|=2a-3t,\BF2\=2a-t,

(3t)2+(2a—3t)2-(2c)2_9产+(2a—3t)2-2a2

在△AA/?2中，由余弦定理得COS/=

2x3tx(2a—3t)2x3tx(2a—3t)

(4t)2+(2a-3^)2—(2a—_16t^+(2ci-3t—(2a—t)

在中，由余弦定理得cos/=

2x4tx(2a—3t)2x4tx(2a—3t)

9t24-(2a-3t)2-2a216t2+(2a-3t)2-(2a-t)2

历以------------------=------------------------,

2x3tx(2a-3t)2x4tx(2a-3t)

整理得3at=a2,即a=3t,

所以以尸2|=3/=八尸1|,\BF2\=5t,

又|A3|=43

所以|A尸2『+|A5|2=|3/2『，即A=90。,

所以cosZAF2B=!

故选：D.

【点评】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，属于中档题.

7.(2024秋•安徽月考)已知椭圆C：手+4=1(入>0且入W4),则“C的离心率e=?”是“入=8”的

A4,Z

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】由椭圆的离心率求解方程或参数；必要不充分条件的判断.

【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】B

【分析】根据椭圆离心率定义，对参数人的取值进行分类讨论，分别判断充分性和必要性即可.

【解答】解：已知椭圆C；1（入＞0且入W4）,

当C的离心率e=乎时，

若0＜入＜4,有e=^^=孚，

解得入=2,即充分性不成立；

当人=8时，得椭圆C：

此时离心率为e=早=轰=*,

即必要性成立.

所以“C的离心率e=孝“是"入=8”的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考查了椭圆离心率的定义，重点考查了充分性和必要性，属中档题.

x2

8.（2023秋•浦东新区校级期末）已知椭圆一+/=1,作垂直于无轴的直线交椭圆于A,B两点，作垂

4

直于y轴的直线交椭圆于C,D两点，且|4均=|。|,两垂线相交于点尸，若点尸的轨迹是某种曲线（或

其一部分），则该曲线是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【考点】椭圆的几何特征.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】C

【分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线，并利用条件求解轨迹方程，推出结果即可.

【解答】解：•••ABW2,...COW2,判断轨迹为上下两支，即选双曲线，

设A(m,/),DQt,〃)，

所以P(m,n),

,,m2「12n2m2

因为:-+P=1,-+n2=l,消去/可得z：-3----=1.

4412

4

故选：C.

【点评】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题.

二.填空题(共8小题)

9.(2024秋•大庆月考)已知F是椭圆C：*l(a>b>0)的左焦点，直线尸质(20)交椭圆C

于M,N两点.若|FM|=3|FN|,/MFN=等则椭圆C的离心率为f.

【考点】求椭圆的离心率.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】v-

【分析】设/2是椭圆C的右焦点，分析可知FA加2N为平行四边形，根据椭圆定义可得|M4|=筵以

|FM|=|a,利用余弦定理运算求解.

【解答】解：设尸2是椭圆C的右焦点，连接MR,NF2,

由对称性可知：\OM\=\ON\,\OF\=\OF2\,则FMF2N为平行四边形,

则|MF2l=|FN|,AFMF2=9H\FM\=3\MF2\,

因为日M+|MQI=4|MF2|=2a,贝！］四尸21=方口，\PM\=|a,

22

在△■Wf'2中，由余弦定理可得|尸产2『=\MF2\+\FM\-2\MF2\-\FM\-COS^.FMF2,

19131c2

即222

-a+-a-----

4C44222a2

所以椭圆C的离心率为e=$=居=¥.

a\az4

故答案为：一V7.

4

【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，考查计算能力，属于中档题.

10.(2024秋•江西月考)已知椭圆C；「+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为B，F1,经过点入且垂

1

直于无轴的直线与椭圆C交于A,B两点，且［4乃|=10,|4为=12,则椭圆C的离心率为万.

【考点】求椭圆的离心率.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】

【分析】根据题意利用勾股定理求出2c,再由椭圆定义求出2a即可得解.

【解答】解：由题意知AB1F®\AFr\=10,\AF2\==6,

2222

所以向&|=7IXFJ-\AF2\=V10-6=8=2c,即c=4,

又|AFi|+|AF2|=16=2a,即a=8,

所以e=5。

uoZ

故答案为：j.

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题.

11.(2024秋•开福区校级月考)己知椭圆C；各，=l(a>6>0)的左、右焦点分别为四，尸2,点尸是

叵

椭圆C上的一点，延长「放交椭圆C于点M,且为等边三角形，则椭圆C的离心率为—.

【考点】求椭圆的离心率.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

V3

【答案】y.

4

-a

【分析】根据椭圆的定义可得下1PI+IF1M+/2川+氏2M=4a,则|&P|=\FrM\=\PM\3求得IPF2I=

竽，结合余弦定理计算可得c2岩a2,即可求解.

【解答】解：由椭圆的定义知,

△BPM的周长为旧iP|+|乃M+IPM=|PIP|+|F2P|+|F2M+|PIM+|=4〃,

因为△尸为等边三角形，所以|「尸|=|F1M=|PM1，

4

-Q

所以|&P|=IRMI=\PM\3

又或1P|+|尸92|=2a,所以%|=竽，

42

在△PF1F2中，由余弦定理得(2c)2=4a)2+(ja)2-2--7-T

333

整理得，c2=1a2,所以e='=*.

V3

故答案为：y.

【点评】本题考查椭圆的定义的应用，余弦定理的应用，属于中档题.

y2冗

12.(2024•重庆模拟)已知点尸为椭圆/+记=l(a>6>0)的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为的

—>—>—>—>

直线交椭圆于P，Q两点，\FP+FQ\=\FP-FQ\,则该椭圆的离心率为—1_.

【考点】椭圆与平面向量.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】V3-1.

【分析】设椭圆的左焦点为宜，尸为第一象限的点，则根据题意易得四边形尸尸。尸为矩形，且/尸尸

F=l，从而可得|尸尸|=奶,尸尸c,吐'|=郛'F\=V3c,再根据离心率的定义，即可求解.

【解答】解：设椭圆的左焦点为尸'，尸为第一象限的点，

,：\FP+FQ\=\FP-FQ\,两边平方可得FP•FQ=0,

：.FPLFQ,

四边形尸〃QB为矩形，又/尸。尸=等

ZPF'F=Z

O

：.\PF\=^F'F]=c,\PF'\=^\F'F\=V3c,

该椭圆的离心率-笄=鬲褊=薪=百一L

故答案为：V3—1.

【点评】本题考查椭圆离心率的求解，椭圆的几何性质，属中档题.

第2

13.（2024春•沙市区校级月考）尸是椭圆C：—+/=1上除长轴端点外的任一点，连接尸为，PF2,设/

4'

a3

F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（/",0）,则m的取值范围（—9；）.

22

【考点】椭圆的几何特征.

【专题】计算题；对应思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【答案】见试题解答内容

【分析】设|PF1|=3\PF2\=n,由角平分线的性质可得三=学?=若刍利用椭圆的定义可得什〃

n\F2M\V3-m

=2a=4,消去f得到〃=如管辿，再根据。-c<w<a+c,即可得到机的取值范围.

V3

第2

【解答】解：—+y2=l,则。=2,c=V3

4

如图所示，^\PFi\=t,\PF2\=n,

由角平分线的性质可得工=禺=若回，

n\F2M\V3-m

又汁w=2a=4,消去t得到，化为上3=*3〃=2（之一）

nV3-mV3

*.*a~cV〃V〃+c,即2——y/3<Oi<C2+V3>也即2——<2（4^厂TH）<^2-1-^/3

V3

解得<m<!

23

・•・加的取值范围（一会-）,

/2

故答案为：（-卷（）

/2

【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，试题在平面几何中的三角形内角平分线性质定理，考查

运算能力，属于中档题.

X2V2

14.（2023秋•浦东新区校级期末）方程——+——=1表示焦点在无轴上的椭圆，则元的取值范围是（1,

3-mm-1

2）.

【考点】椭圆的几何特征.

【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】（1,2）.

【分析】方程H+二=1表示焦点在无轴上的椭圆，则「一小’小一I然后求解.

3-mm-11m-1>0

x2y2

【解答】解：方程;一+上二=1表示焦点在x轴上的椭圆，

3-mm-1

„,f3—m>m—1

贝Ij,

Im-l>0

即1<根<2.

故答案为：（1,2）.

【点评】本题考查了椭圆的性质，属基础题.

x2y2

15.（2023秋•普陀区校级期末）已知椭圆一+2=1的左、右焦点分别为为、尸2.若尸为椭圆上一点，

167

且|PA|・|Pb2|=14,则△为Pf2的面积为」

【考点】椭圆的几何特征.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【答案】7.

【分析】根据椭圆的定义和已知条件求解cos/为PR,进而求解/乃PR,即可求解结论.

久2V2

【解答】解：・・•椭圆7+—=1,

167

.•・〃=4,b=近,c—Va2—b2=3,

・・・|尸尸|1十|尸「2|=2。=8,\FIF2\=2C=6,

•,CQ/由PF.-「相+」显一％婿_（仍%|+俨41）2—2仍％卜仍尸21一尸1尸2|2_82_2X14-62_

-U,

•・c°sN'irr2——2PFrPF2--2|PF1|-|PF2|-2x14

可得/为尸尸2=号

sinNHP尸2=1.

11

故△为尸尸2的面积为：一X|PFI|-|PF|=5X14=7.

22/

故答案为：7.

【点评】本题考查椭圆的性质，涉及椭圆中三角形的面积和余弦定理的应用，属于中档题.

XV

16.（2023秋•北海期末）如图，已知椭圆C：—+—=l（a>b>0）的左、右焦点分别为尸1,尸2,过椭

1_

圆左焦点尸1的直线与椭圆C相交于P,。两点，\QF2\=2\PF2\,COSZPF22=J,则椭圆C的禺心率为

Vio

【考点】椭圆的几何特征.

.林金、Vio

【答案】—.

【分析】设吐2|=〃7,由题意可得各线段的值,ZV3。B中，由余弦定理可得机的值，进而可得。打=|。人|,

即/。尸尸2=/尸尸2。，△尸尸1政中，由余弦定理可得。，C的关系，进而求出该椭圆的离心率的大小.

【解答】解：设|尸尸2|=加，由椭圆的定义及题意可得|PFi|=2a-"z,|QF2|=2〃Z,

\QFi\=2a-2m,\PQ\=\QFi\+\PFi\=4a-3m,

1

在APQF2中，cosZPF2Q=4，

由余弦定理可得：cos/P3=把±0其需尸上另，

4//€•乙〃I1

解得m=1牛,

\PF1\=\PF2\=

所以|尸。|=等，|。尸2|=第，则/。尸尸2=/弘2。，

,1

可得cosZQPFi=cosZPFiQ=彳，

含）2+（勖2_（2C）

在△PF1F2中，由余弦定理可得：COSZFIPF2=^~~:

2-^a-|a

整理可得：2次=5已可得6=标=等.

故答案为：

【点评】本题考查椭圆的性质的应用及余弦定理的应用，属于中档题.

三.解答题(共4小题)

17.(2024•江西开学)已知椭圆C：鸟+4=l(a>6>0)的离心率为乌右焦点为R点(一孝印)在C

dI)2乙乙

上.

(1)求C的方程；

(2)已知。为坐标原点，点A在直线/：y^kx+m(20)上，若直线/与C相切，且曲，/,求|。4|

的值.

【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数；根据abc及其关系式求椭圆的标准方程.

【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

x2

【答案】(1)万+y2=1；

(2)\OA\=V2.

【分析】(1)根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及。，6,c的关系式列出方程组，解之即得；

(2)将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由A=0推得疡=2启+i,又由项，/,写出直线朋

的方程，与直线/联立，求得点A坐标，计算|。4『，将前式代入化简即得.

'c=V2

a~2

【解答】解：(1)设/(c,0),依题意，O,3_

Ia2=h2+c2

解得。2=2,廿=1,

比2

故C的方程为一+y2=1.

2

(2)如图，依题意尸(1,0),

y=kx+m

联立X2,

G+y2=i

消去y,可得(2烂+1)/+4上加x+2加之-2=0,

依题意，需使A=16必加2-4(2户+1)(2m2-2)=0,

整理得毋=29+1(*).

因为孙，/,

则直线砌的斜率为-2

则其方程为y=—%(%—1)，

1

联立y=—1QT),

y=kx+m

1—km

x—1+fc2

解得

m+k

即片

(1—fcm)2+(fc+m)2_k2m2+k2+m2+l_(fc2+l)(m2+l)_m2+l

故|。川2=

222272

(1+上)(1+k)(1+k)*

…,m2+l2k2+2

将⑴代入得,====2,

故=V2.

【点评】本题考查了椭圆离心率的定义和椭圆的性质，重点考查了直线与椭圆的位置关系，属中档题.

y2

18.（2023秋•西固区校级期末）已知椭圆=+77=1（口〉6>0）的焦点是八,F1,且尸1放|=2,离心率

（1）求椭圆C的方程;

（2）若椭圆C与直线交于N两点，且|“可|=等与，求实数机的值.

【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的几何特征.

【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算.

22

【答案】⑴x丁+y一1;

(2)±2.

【分析】（1）由题意求出c=l,a=2,进而得到户，求出椭圆方程;

（2）联立直线与椭圆方程，根据根的判别式得到-77Vm〈⑺，得到两根之和，两根之积，利用弦长

公式表达出弦长，得到方程，检验后即可得到实数机的值.

【解答】解：⑴因为尸1尸2|=2C=2,

所以C=l,

因为椭圆的离心率e=T=4，

解得4=2,

则b2=a2-(?=4-1=3,

x2y2

故椭圆C的方程为了+—=1；

43

y=x+m

(2)联立%2y2,消去y并整理得7?+8必+4加2-12=0,

(T+T=1

止匕时A=64m2-28(4加2-12)>0,

解得-近

不妨设M(xi,yi),N(%2,”)，

由韦达定理得+%2=一学，X1X2=4-712,

2xx2

则|MN|=Vl+lV(i+2)-4%1%2=V2-J(一竽)2—4•细

B164m2~16m2-48/336-48m2

=72-7-=72-J—49—，

因为|MN|=耍，

所以鱼•烂浮=竿，

解得加=±2,满足一夕

故实数机的值为±2.

【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础

题.

19.(2024秋•湖南月考)已知椭圆C；今+，=l(a>b>0)的焦距为2a，且C的离心率为日.

(1)求C的标准方程；

(2)若A(-3,0),直线/：x=ty+l(t>0)交椭圆C于E,尸两点，且的面积为旧，求r

的值.

【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数；根据椭圆的几何特征求标准方程.

【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

X2V2

【答案】(1)—+—=1;

42

(2)t=V2.

【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解；

（2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解.

【解答】解：（1）由题意得：2c=e=^=即c=/，a-2,则房=°2一。2=2,

X2V2

所以C的标准方程为：—+v=1-

42

（2）由题意设E（xi,F（尤2,J2）,

X=ty+1

联立yi,消去X得：（尸+2）尸+2。-3=0,

E+2=1

则人=4尸+12（?+2）=16?+24>0,%+火=一含，、，2=一目

LI乙vI乙

_________________4/_2I?

可得M—%I=，（为+乃）2-4%光=—---2+

1（产+2）t+2

设直线/与x轴的交点为。（1,0）,且A（-3,0）,则|AD|=1-（-3）=4,

12/4t2+6

故SAAEF=2恒叫,一=2X7t2+2=解得=6

【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线与椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中

档题.

x2y2

20.（2024•开封模拟）已知椭圆C：£+瓦=l（a〉b〉0）的左，右焦点分别为g，F1,上顶点为A,且

AFr-AF2=0.

（1）求C的离心率；

8

-

（2）射线&乃与C交于点2,S.\AB\3求△ABE?的周长.

【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征.

【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

V2

【答案】（1）y；

（2）8.

-»―）

【分析】（1）由椭圆可得力=0,可得。，C的关系，进而求出椭圆的离心率；

（2）由（1）可得a与c,。与c的关系，设直线A门的方程，与椭圆的方程联立，可得点B的坐标，

求出IABI的表达式，由题意可得c,。的值，由椭圆的性质可得△ABEz的周长为4”，即求出三角形的周

长.

【解答】解：（1）上顶点为A,且4%S%2=0，

可得（-c,-b）*（c,-b）=0,

即b2=c2,即a2-c2=c2,

所以离心率e=（=¥；

（2）由（1）可得Z?=c,a=y/2c,

h

射线AF\的方程为k-x+b=x+c,

y=x+c

x2y2_整理可得：3/+4c%=0,

I2?+72=1

41

--

解得I=0或1=33

4

即3-c

3

48

所以四|=J(_gc)2+(c+翔2--

33

解得c=V2,

则a=2,

所以△ABR的周长为4a=8.

【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用及椭圆的性质的应用，属于中档题.