2024-2025学年广东省广州市越秀区某中学九年级（上）限时训练数学试卷（9月份）

2024-2025学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）限时训练数学

试卷（9月份）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（3分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度不可能是

（）

A.120°B.180°C.240°D.360°

2.（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

B.

3.（3分）如图，△ZBC与夕C关于点C（0,-1）成中心对称（3,1）,则点H的坐标为（）

A.（-3,-1）B.（-3,-2）C.（-3,-3）D.（-3,-4）

4.（3分）若的直径为4cm,点/到圆心。的距离为2c则点/与O。的位置关系为（）

A.点/在圆内B.点/在圆上C.点/在圆外D.不能确定

5.（3分）如图，已知点/（1,3）,B（4,1）,将线段N2绕点M逆时针旋转到卬B',点B与B'是

第1页（共30页）

对应点，则点M的坐标是（)

B.(1,0)C.(-1,1)D.(1,-3)

6.（3分）如图，4。为。。的切线，Z为切点，点5在。。上，连接则NQ的度数是（）

C.34°D.36°

7.（3分）如图，将半径为4c加的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心（）

A.272B.4C.6D.473

8.（3分）如图，△/BC是。。的内接三角形，N4C8=67.5°.点。是/。延长线上一点，若。。的半

A.1+V2B.I-K/3C.14^/3D.3

9.（3分）如图，在平面直角坐标系xQy中，直线48经过点/（6,0）（0,6）,。。的半径为2（。为坐

标原点），点P是直线43上的一动点，。为切点，则切线长尸0的最小值为（）

第2页（共30页）

C.3&D.A/14

10.（3分）如图，。是正△4BC内一点，04=3,0C=5,将线段20以点2为旋转中心逆时针旋转30°

得到线段3。'，①△30%可以由△BOC绕点8逆时针旋转60。得到；②点。与。，的距离为5；④四

边形N08O面积=6+4«；⑤SaAoc+SAAOBW'**1^，其中正确的结论是（)

A.①④⑤B.①③④C.①③④⑤D.①③⑤

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11.（3分）如图，是。。的半径，弦3C_LCM于点。，若。。的半径为5c〃z,3c的长为8c加cm.

12.（3分）如图，是。。的直径，点。在的延长线上，若/。=34°,则//的度数为

13.（3分）若点P（x+1,y-1）关于原点的对称的点。的坐标为（3,-2）,则x+y=.

14.（3分）直角三角形的两条边长分别为5和12,那么这个三角形的外接圆半径等于.

15.（3分）如图，48是。。的直径，弦4D平分/G43,过点。作O。的切线交/C于点E,若/C4D=

第3页（共30页）

22.5°，AB=2A/2

16.(3分)如图，将线段3c绕点3逆时针旋转120°得到线段A4,点。是平面内一动点，连接。/、OC,

则DA+DC的最小值为.

三、解答题(本大题共9小题，满分0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.如图，AD,8C是。。的两条弦，求证：AD=CB.

18.如图，已知的三个顶点的坐标分别为N(-6,0),B(-2,3),C(-1,0),将△/8C绕坐

标原点。逆时针旋转90°,直接写出点/的对应点H的坐标.

第4页(共30页)

y

19.如图，是△，(?£)的外接圆，。是。。的直径，且/氏4D=/C.求证：N3是。。的切线.

求证：AABC义"DC.

(1)作N/CB的平分线交边于点O,再以点。为圆心，的长为半径作O。；(要求：不写作法,

保留作图痕迹)

(2)判断(1)中/C与。。的位置关系，直接写出结果.

22.在等边三角形N8C的内部有一点D,连接8。，CD,把8。逆时针旋转60°得到/TO',连接，

把CD顺时针旋转60°得到CD",连接4D”

第5页(共30页)

(1)判断ND'民4和4D8C的大小关系，并说明理由;

(2)求证:D'A=DC；

(3)求证:四边形/)£>£>〃是平行四边形.

23.如图，。。的两条弦/B_LCD,垂足为E,DB平分/CDF,连接NRCD于H.

(1)求证：DF=DH；

(2)连接EG,若/CDF=45°,。。的半径为2

24.问题发现：

如图1,在△/8C中，AB=AC,。为2C边上一点(不与点2,C重合)，将线段ND绕点/逆时针旋

转60°得到ZE,则:

(1)①//CE的度数是；②线段NC,CD,CE之间的数量关系是.

拓展探究：

(2)如图2,在△/8C中，AB=AC,。为2。边上一点(不与点2,C重合)，将线段4D绕点/逆时

针旋转90°得到请写出//CE的度数及线段NO,BD,并说明理由；

解决问题：

(3)如图3,在RtZ^DBC中，DB=3,/BDC=90：若点/满足/8=/C,请直接写出线段/。的

长度.

第6页(共30页)

ED

图1图2图3

(1)如图1,求证：CB平分/PCD；

(2)在。。上取点£,使得//C£=2/尸C8；

①如图2,E为48下方。。上一点，连接3E,若3。=1,EB=4；

②如图3,E为正上一点，且々=金，若半径为2,则/C的长为

第7页（共30页）

2024-2025学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）限时训练数学

试卷（9月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（3分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度不可能是

（）

A.120°B.180°C.240°D.360°

【解答】解：由图形知，该图形是旋转对称图形，

则旋转120°,240。，

故选：B.

【解答】解：/、可以找到一点旋转180。后与原图重合，也可以找到对称轴，也是轴对称图形；

8、不是轴对称图形，是中心对称图形；

C、可以找到对称轴，是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D,可以找到对称轴，是轴对称图形，故本选项符合题意.

故选：A.

3.（3分）如图，ZX/BC与皮C关于点C（0,-1）成中心对称（3,1）,则点H的坐标为（）

第8页（共30页）

【解答】解：•••△45C与△4'B'。关于点。（0,-1）成中心对称，4）,

设4,（加，n）,

粤=8

依题意，，

应=-5

23

解得：m--3,n--3,

...点N'的坐标为（-7,-3）,

故选：C.

4.（3分）若。。的直径为4c%,点/到圆心。的距离为2cm,则点N与。。的位置关系为（）

A.点/在圆内B.点/在圆上C.点/在圆外D.不能确定

【解答】解：:。。的半径为2c加，点/到圆心。的距离为2c%,

­♦<7=r，

，点/与。。的位置关系是：点/在圆上，

故选：B.

5.（3分）如图，已知点N（1,3）,B（4,1）,将线段绕点M逆时针旋转到B',点B与B'是

【解答】解：因为线段HB'由线段绕点M逆时针旋转得到,

所以44,和8夕的垂直平分线经过旋转中心

如图所示，画出线段44'和23’的垂直平分线，

第9页（共30页）

所以点〃■的坐标为（-1,1）.

故选：C.

6.（3分）如图，4。为。。的切线，Z为切点，点5在。。上，连接则NQ的度数是（）

【解答】解：连接04如图所示:

VAC=AC

ZAOC=2AABC=2X28°=56°,

・・••为。。的切线，

：.OA.LAD,

：.ZOAD=90°,

AZD=90°-56°=34°,

故。正确，

故选：C.

7.（3分）如图，将半径为4c加的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心（）

第10页（共30页）

A.2>/2B.4C.6D.473

【解答】解：作。。的半径于。，连接。/,如图，

•••圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，

：.AB垂直平分0C,

：.AC=AO,

而OA=OC,

：.OA=AC=OC,

：./\AOC为等边三角形，

AZAOC=60°,ZOAD=30°,

OD-|OA=7CW>

AD=Jo/-OD2=遍0口=2百,如

\'OD±AB,

.".AD=BD,

AB—1AD—cm.

故选：C.

8.（3分）如图，△/BC是O。的内接三角形，N/C2=67.5°.点。是/。延长线上一点，若。。的半

径为1,则AD长为（）

第11页（共30页）

B

A.1W2B.1+V3C.1D.3

【解答】解：连接。分

VZACB=67.5°.

ZAOB=2ZC=135°,

AZBOD=45°，

・・・瓦）与。。相切于点5,

；・NOBD=90°，

・・・△05。是等腰直角三角形,

：・OB=BD=OA=2,

•■OD=VOB2+BD2=Vs，

：.AD=AO+OD=1+近,

故选：A.

9.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线N3经过点/（6,0）（0,6）,。。的半径为2（。为坐

标原点），点P是直线A3上的一动点，。为切点，则切线长尸。的最小值为（）

第12页（共30页）

C.3我D.^/14

【解答】解：连接。P、0Q.

：夕。是。。的切线，

：.OQ±PQ；

根据勾股定理知PQ2=OP2-0Q2,

:当P0L4B时，线段P。最短；

又：/（-6,0）,6）,

.\OA=OB=6,

：.AB=6-/3

：.0P=^AB=4、叵,

：。0=2,

••PQ=V0P5-Q02=Vl4，

10.（3分）如图,。是正△ABC内一点，。/=3,OC=5,将线段2。以点2为旋转中心逆时针旋转30°

得到线段BO',①△30%可以由△BOC绕点8逆时针旋转60°得到；②点。与。，的距离为5；④四

边形面积=6+4«；⑤S2kAOc+SAAOB=6SF'其中正确的结论是（)

第13页（共30页）

A

o'

\//OX.\

B"---------0c

A.①④⑤B.①③④C.①③④⑤D.①③⑤

【解答】解：连接。。'，过点。作，

•••△45C是等边三角形，

；・AB=BC=AC,NABC=NBAC=60°,

ZOBO'-/ABO=ZABC-ZABO,

：.ZO'BA=ZCOB,

A0,BA当AOBC⑸S),

...△8。%可以由△80C绕点B逆时针旋转60°得至lj,

故①正确；

由旋转得：

ZOBO'=60°,BO=BO',

:.△BOO'是等边三角形，

：.OO'=03=4,

...点。与O'的距离为4；

故②错误；

■:△BOO,是等边三角形，

ZBOO'=60°,

•.•△O'BA乌△OBC,

：.AO'=OC=7,

第14页（共30页）

：.AO2+OO'2=40,5,

：.AAOO'是直角三角形，

/.ZAOO'=90°,

：.ZAOB^ZBOO'+ZAOO'=150°,

故③正确；

将△/OB绕点/逆时针旋转60°,使得48与/C重合，连接OE,垂足为尸

：.AO=AE,ZOAE=60°,

...△/OE是等边三角形，

^.OE=AO=3,

・・•OC=5,

C.OE^+EC^^OC2,

...△OEC是直角三角形,

在RtZWO尸中，4F=/Osin60°=4义

22_

ii,

SAAOC+S^AOB—S^AOC-SAACE—S^AOir-S^OCE——OEAF+^Lx6X,入写+]5V,

252724

故⑤正确;

在RtZ\30D中，OD=5Osin60°=6X叵万，

2

•OD+21X4X2+—V5+6，

'•S四边形/OBO~S^BOO,~^S/^AOO'=—BO

2272

故④正确;

故选：c.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11.（3分）如图，0/是。。的半径，弦3CJ_。/于点。，若。。的半径为5c%,8C的长为8。加2cm.

第15页（共30页）

【解答】解：：CU是。。的半径，弦3CLCM于点。，

・13

••BD^-BC^-X8=4cm'

OD=VOB2-BD2=7S2-42=3(cm>

C.AD^OA-0D=5-6=2(cm)；

故答案为：2.

12.(3分)如图，是O。的直径，点。在48的延长线上，若ND=34°,则//的度数为28°

切。。于点C,

：.OC±DC,

：.ZOCD=90°,

VZZ)=34°,

ZDOC^9Q°-34°=56°,

ZA^-ZD0C=28°，

故答案为：28°.

13.(3分)若点P(x+1,y-1)关于原点的对称的点。的坐标为(3,-2),则x+v=-1

【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，

点尸(x+1,y-1)关于原点的对称的点。的坐标为(7,

第16页(共30页)

，x+l=-3,y-5=2,

解得：x=-4,y=8,

.\x+y=-4+3=-5.

故答案为：-1.

14.（3分）直角三角形的两条边长分别为5和12,那么这个三角形的外接圆半径等于6或6.5.

【解答】解：由勾股定理可知：

①当直角三角形的斜边长为：12；

因此这个三角形的外接圆半径为6,

②当两条直角边长分别为5和12,则直角三角形的斜边长为：732+122-

因此这个三角形的外接圆半径为3.5.

综上所述：这个三角形的外接圆半径等于6或2.5.

故答案为：6或7.5.

15.（3分）如图，48是的直径，弦40平分/G43,过点。作O。的切线交/C于点E,若NC4D=

22.5°,AR=9.V2I.

【解答】解：过点。作。F，/C于点尸,

:弦平分ZCAD=22.5

；.NB4D=NCAD=22.5°,

：.ZCAB=45°,

AZFOA=45°,

：.FO=FA,

第17页（共30页）

•・・AB=8&，

・・・AO;加，

AF0=FA=A0sin45°K区X与=4；

U：AO=DO,

：.ZBAD=ZODA,

过点D作。。的切线交AC于点E,

；・NODE=90°,

：.ZCAD=ZODAf

：.AE//OD,

：.ZAED=ZODE=90°,

・・・四边形。斯。是矩形，

:・DE=FO=\,

故答案为：1.

16.（3分）如图，将线段绕点8逆时针旋转120。得到线段A4,点。是平面内一动点，连接D4、OC,

则94+。。的最小值为_.

【解答】解：如图，把8。绕点3顺时针旋转120。得到瓦7,CD',

则,DB=D'B=5,

,：ZABD+ZDBC=ZDBC+CBD'=120°,

ZABD=ZCBD',

第18页（共30页）

5L'：AB=CB,DB=D'B,

：./\ABD^/\CBD'(&4S),

：.AD=CD',

C.AD+CD的最小值为CD+CD的最小值，即00的值，

'：BELDD',

•■•ZDBE=yZDBDz=60°，DE蒋DD，，

:./BDE=30°,

,:BD=2,

・•.DEF^P*

•'-DD7=2义8牛~=5限，

故答案为：

三、解答题(本大题共9小题，满分0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.如图，AD,5c是。。的两条弦，求证：合=合.

•••AB=CD，

；•第-砺母-前

.1.AD=CB-

18.如图，已知△NBC的三个顶点的坐标分别为/(-6,0),B(-2,3),C(-1,0),将△/BC绕坐

标原点。逆时针旋转90。，直接写出点/的对应点H的坐标.

第19页(共30页)

y

【解答】解：将△/BC绕坐标原点。逆时针旋转90°后△⑷B'C如下.

点/的对应点H的坐标为（0,-6）.

19.如图，是△NCD的外接圆，CD是。。的直径，且=求证：N3是。。的切线.

【解答】证明：如图，连接。4,

第20页（共30页）

,「CD是。。的直径，

：.ZCAD=90°,

：.ZC+ZD=90°,

U：OA=OD,

：.ZOAD=ZD,

,/NBAD=NC,

：.ZOAB=ZOAD+ZBAD=ZD+ZC=90°,

・・・cu是。。的半径，

・・・45是。。的切线.

20.如图，在平面内，绕点4逆时针旋转60°后得△4DE,连接QC.求证：AABC义AADC.

【解答】证明：•・,由旋转可得445。丝△4QE,

：.AB=AD./DAE=/BAC,

;旋转角为60°,

AZBAD=ZCAE=60°.

u：ABLAE,

：.ZBAE=90°,

：.ZEAD=30°,

AZDAC=90°-ZDAE-ZBAC=30°,

・•・ZDAC=ZBAC.

在△45。和△4DC中，

第21页（共30页）

AB=AD

-ZBAC=ZDAC>

,AC=AC

:.AABC冬4ADC(SAS\

21.如图，在△48C中，ZABC^90°.

(1)作N/CB的平分线交48边于点。，再以点。为圆心，。8的长为半径作。。；(要求：不写作法,

保留作图痕迹)

(2)判断(1)中/C与。。的位置关系，直接写出结果.

【解答】解：(1)如图所不:

(2)相切；过。点作OOL/C于。点，

・"。平分//。8,

：.OB=OD,即d=r,

,。。与直线/C相切，

22.在等边三角形A8C的内部有一点。，连接AD,CD,把AD逆时针旋转60°得到HD',连接40,，

把CD顺时针旋转60°得到CD",连接

(1)判断ND'A4和/D2C的大小关系，并说明理由；

(2)求证：D'A=DC；

(3)求证：四边形/ZXDZT是平行四边形.

BC

第22页(共30页)

【解答】(1)解：ND'BA=ZDBC.

理由如下：:AD逆时针旋转60°得到AD',

/.ZDBD'=60°,BD=BD',

：.^BDD'为等边三角形，

：.DD'=BD,ZDBD'=60°,

：为等边三角形，

/.ZABC=60°,BA=BC,

VZD'BA+/ABD=6Q°,ZABD+ZDBC=60°,

：.ZD'BA=NDBC；

(2)证明：在△48。'和△CBD中，

'BA=BC

-NABD'=ZCBD>

.BD'=BD

.♦.△ABD'g△C5D(&4S),

：.D'A=DC；

(3)证明：：CD顺时针旋转60°得到CD”,

ZDCD"=60°,CD=CD",

:ADCD"为等边三角形，

：.DD"=DC,ZDCD"=60°,

：△NBC为等边三角形，

AZACB=60°,CA=CB,

VZD"CA+ZACD=60°,ZACD+ZDCB=60°,

AZD"CA=/DCB；

在△NCD〃和△BCD中，

'CA=CB

<NACD"=NBCD，

CD"=CD

：./\ACD"^RtABCD(SAS),

：.AD"=BD,

：.DD'=AD",

'：DD"=DC=AD',

四边形4D7）D〃是平行四边形.

第23页（共30页）

23.如图，的两条弦/B_LCD,垂足为£,DB平分NCDF,连接NF,CD于H.

(1)求证：DF=DH；

(2)连接EG,若/CDF=45°,的半径为2

【解答】(1)证明：

:.NAED=90°,

；DB平分NCDF,

：.ZBDE=ZBDF,

又/BAG=NBDF,

：.ZBAG=ZBDE,

又：ZAHE^ZDHG,

：.ZDGH=ZAED=90°,

ZB+ZBDE=9Q°=ZBED+ZDHG,

：.ZDHG=ZB=ZF,

:.DF=DH；

(2)解：如图，连接NC,OF,

第24页(共30页)

D

VZACD=ZAFD=ADHG,/DHG=/AHC,

：.ZACH=ZAHC,

；・AC=AH,

又,・Z5J_CQ,

・・・£为的中点.

由（1）知DF=DH,ZDGH=90°,

・・・G为FH的中点，

：.EG是△CHF的中位线，

.1

••EG^-CF-

VZC£>F=45°,

ZCOF=3ZCDF=90°,

・・・AOCF是等腰直角三角形，

：.CF=42OC.

•・•0c=2,

•••CF=3&，

EG=V2.

24.问题发现：

如图1,在A/BC中，AB=AC,。为8C边上一点（不与点瓦。重合），将线段/D绕点N逆时针旋

转60。得到ZE,则:

（1）①//CE的度数是60°；②线段/C,CD,CE之间的数量关系是AC=DC+EC.

拓展探究：

（2）如图2,在△NBC中，AB=AC,。为8c边上一点（不与点8,。重合），将线段绕点/逆时

针旋转90°得到请写出//CE的度数及线段AD,BD,并说明理由；

解决问题：

第25页（共30页）

（3）如图3,在RtZXDBC中，DB=3,NBDC=90°,若点/满足4B=/C,请直接写出线段/。的

长度.

图3

【解答】解：（1）:在△N3C中，AB=AC,

BAC=/DAE=60°,

ZBAC-ZDAC=/DAE-ADAC,即NBAD=ZCAE,

，AB=AC

在△24D和中，，/BAD=NCAE，

,AD=AE

:.△BADqLCAE(&4S),

?.ZACE=ZB=60°,BD=CE,

：.BC=BD+CD=EC+CD,

：.AC=BC=EC+CD；

故答案为：60°,AC=DC+EC；

(2BD2+CD21AD2-

图3

理由如下：

由(1)得，ABAD/LCAE,

:.BD=CE,ZACE^ZB=45°,

:./DCE=90°,

：.CE2+CD5=ED2,

在RtZUDE中，AD2+AEy=ED2,又4D=4E,

第26页（共30页）

：.BD2+CD7^2AD2；

(3)作/E_LCD于E,连接4D,

:在中，DB=2,ZBDC=90°,

•••3C=、9+25=病,

VZBAC=90°,AB=AC,

：.AB=AC^^fu，ZABC^ZACB=45°,

VZBDC=ZBAC=90°,

...点2,C,A,。四点共圆，

/ADE=45°

^ADE是等腰直角三角形，

：.AE=DE,

:.CE=5-DE,

'：AES+CE2^AC2,

：.AE^+(5-NE)2=17,

.\AE=6,AE=4,

••.AD=&或5-./2，

方法二；由题意得，点/在8c的垂直平分线上,

将△/D2逆时针旋转90°得到△NEC,

AADB冬AAEC,

：.N4BD=ZACE,

VZABD+ZABC+ZBCD=90°,ZABC=45°,

ZABD+ZBCD=45°,

：.ZACE+ZBCD=45°=ZACB,

.•.点E在CD上，

•••△