人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案2：1 1 1 空间向量及其线性运算

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE11.1.1空间向量及其线性运算素养目标·定方向课程标准学法解读1．了解空间向量的概念．2．掌握空间向量的线性运算．1．了解空间向量的概念．(数学抽象)2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．(逻辑推理)3．掌握空间向量线性运算的法则和运算律．(数学运算)4．掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．(数学抽象)必备知识·探新知知识点1空间向量的概念1．定义：在空间，具有和的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的．3．表示方法：(1)几何表示法：空间向量用表示；(2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|．4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量的向量叫做零向量．记为0单位向量的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度而方向的向量，叫做a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向且模的向量叫做相等向量思考1：单位向量都相等吗？知识点2空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ＞0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ＜0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb思考2：怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？思考3：由数乘λa＝0，可否得出λ＝0?知识点3共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得．2．直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把称为直线l的方向向量．思考4：对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c，是否可以得到a∥c?思考5：怎样利用向量共线证明A，B，C三点共线？知识点4共面向量1．共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l．如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使．思考6：空间中的两个向量是不是共面向量？关键能力·攻重难题型探究题型一空间向量及相关概念的理解典例1给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(BC1,\s\up6(→))是相等向量；④在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是相反向量；⑤在三棱柱ABC－A1B1C1中，与eq\o(AA1,\s\up6(→))的模一定相等的向量一共有4个．其中正确命题的序号为．〖规律方法〗空间向量概念的辨析(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；(2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；(3)两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．〖对点训练〗❶给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4题型二空间向量的线性运算典例2如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：eq\o(AC1,\s\up6(→))；②eq\o(AP,\s\up6(→))；③eq\o(A1N,\s\up6(→))．〖规律方法〗空间向量线性运算的技巧和思路(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧①巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算．②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．(2)化简空间向量的常用思路①分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简．②多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．③走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．〖对点训练〗❷已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，设eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(PD,\s\up6(→))＝()A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．－a＋b＋c题型三空间共线向量定理及其应用典例3如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，点F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))．求证：E，F，B三点共线．〖规律方法〗1．判断向量共线的策略(1)熟记共线向量充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b．(2)判断向量共线的关键是找到实数λ．2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))成立．(2)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)．(3)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．〖对点训练〗❸如图所示，ABCD－ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))是否共线？题型四空间向量共面定理及其应用典例4已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→))．(1)判断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．〖规律方法〗1．证明点P在平面ABC内，可以用eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，也可以用eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，若用eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则必须满足x＋y＋z＝1．2．判定三个向量共面一般用p＝xa＋yb，证明三线共面常用eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，证明四点共面常用eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)．〖对点训练〗❹正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，用向量方法证明M、N、P、Q四点共面．易错警示混淆平面向量与空间向量致错典例5已知非零空间向量e1，e2不共线，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，那么下列结论正确的是()A．A，B，C，D四点共线B．A，B，C，D四点共面C．A，B，C，D四点不共面D．无法确定

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁必备知识·探新知知识点1空间向量的概念1．大小 方向2．大小3．(1)有向线段4．长度为0模为1相等 相反相同 相同思考1：〖提示〗：不一定．单位向量的模虽然都为1，但是方向各异．知识点2空间向量的线性运算思考2：〖提示〗：可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．思考3：〖提示〗：不能．λa＝0⇔λ＝0或a＝0．知识点3共线向量1．a＝λb2．与向量a平行的非零向量思考4：〖提示〗：不能．若b＝0，则对任意向量a，c都有a∥b且b∥c．思考5：〖提示〗：只需证明向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))(不唯一)共线即可．知识点4共面向量2．p＝xa＋yb思考6：〖提示〗：是．空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．关键能力·攻重难题型探究题型一空间向量及相关概念的理解典例1〖〖答案〗〗②③〖〖解析〗〗①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正确，eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(BC1,\s\up6(→))的模相等，方向相同；④错误，空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的模不一定相等，方向也不一定相反；⑤错误，在三棱柱ABC－A1B1C1中，与eq\o(AA1,\s\up6(→))的模一定相等的向量是eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，一共有5个．〖对点训练〗❶〖〖答案〗〗C〖〖解析〗〗当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，它们的起点和终点均不一定相同，故①错；根据向量相等的定义知不仅需要模相等，而且需要方向相同，故②错；根据正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，故③正确；命题④显然正确；空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．题型二空间向量的线性运算典例2〖解〗①eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b＋c．②eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b．③eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c．〖对点训练〗❷〖〖答案〗〗B〖〖解析〗〗如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝a－b＋c．故选B．题型三空间共线向量定理及其应用典例3〖证明〗设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c．因为eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up6(→))，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c．所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(A1F,\s\up6(→))－eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c))．又eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up6(→))，又∵eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(EB,\s\up6(→))有公共点E，∴E，F，B三点共线．〖对点训练〗❸〖解〗M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))．又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))．∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝2(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→)))．∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))共线．题型四空间向量共面定理及其应用典例4〖解〗(1)因为eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以6eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以3eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(OM,\s\up6(→))＝(2eq\o(OM,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，因此3eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))．故向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，三个向量又有公共点M，故M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．〖对点训练〗❹〖证明〗令eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝a，eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝b，eq\o(D1D,\s\up6(→))＝c，∵M、N、P、Q均为棱的中点，∴eq\o(MN,\s\up6(→))