辽宁省联盟2025届高三年级上册10月联考数学试卷（含答案解析）

辽宁省名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={1,2},3={2,3},C={2,4},则(/c8)uC=()

A.{1,2}B.{2}

C.{2,4}D.{1,2,3,4}

2.已知1+i是关于x的方程％2一"+6=0的一个根，aR,贝！］〃+/?=()

A.0B.2C.1D.4

3.已知向量葡不共线，AB=Aa+b,AC=a+^ib,其中丸〉0,〃〉0,若4民。三点共线,

则；1+4〃的最小值为()

A.5B.4C.3D.2

4.“sina=3"是"sin4-cos4=L'的()

4222

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.设函数/(x)=|x-l|+|x—2|+|x-3|+…+|x-40|,则/(x)的最小值为()

A.780B.390C.400D.200

6.已知sin(a—0=2cos(a+，),tan(a—，)=g,则tana—tan/?=()

47-74

A.—B.—C.—D.一

7465

7.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的

具体内容是：已知M是VN8C内一点，ABMC,AAMC,A/八四的面积分别为,邑，/，

且邑•&3+邑•荻+品・标=°•若”为V4BC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，贝U

cos/4MB=()

试卷第1页，共4页

A

A.--B.--C.—D.—

3663

8.VxeR,用M(x)表示用x),g(x)中的较小者,记为M(x)=min{/(x),g(x)},设函数

f(x)=e1,-1+x-2,g(x)=-x2+(a-l)x-a,若VxeR,M(x)40,则a的取值范围为()

A.(-oo,3+2A/2]B.(-℃,6]

C.[3-2仓3+2伪D.[3-2V2,+oo)

二、多选题

9.已知函数/(x)=2sin(3x-T，则()

A.

B.f^-^-x^=f(x)

2兀

C.〃x)在y,7T上为增函数

3it

D.函数y=〃x)+；在-于。上有且只有2个零点

10.下列关于平面向量的说法中正确的是()

A.已知点4瓦C是直线/上三个不同的点，。为直线/外一点，且反尤方+0.4历,

贝!Jx=0.6

B.已知向量力=(1,2)3=(1,1),且&与)+4的夹角为锐角，则彳的取值范围是

C.已知点G为V/8C三条边的中线的交点，则有+方+品=6

D.已知万=(2石,2),就=(-1,-6),则万在％上的投影的坐标为(6,3)

11.设函数/(x)=/,g(x)=logd，a>0且awl,贝I]()

A.函数/⑺和g(x)的图像关于直线kx对称

试卷第2页，共4页

B.函数f(x)和g(x)的图像的交点均在直线y=x上

C.若。=6,方程/(x)+x=8的根为芯，方程g(x)+x=8的根为/,贝!JX|+Xz=8

(1、

D.已知a>l,若/(/(尤))>x>g(g(x))恒成立，则。的取值范围为ee,ee

\7

三、填空题

12.已知函数〃》)=$“3-曾(0>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为1,若“X)在

(-见⑼上是增函数，则正数m的取值范围是.

13.设函数/(x)=&77-冰，若〃X)在(-8,+8)上是减函数，则。的取值范围为.

14./=｛zeC|z=a+6i,aeN,6eN,|z|=1｝,B=｛zwC|z=x+yi,xeZ,ywZ,|x|V1,|引V1｝,

若定义Ne>8=｛zeC|z=Z]+z2,ZjEA,Z2e,则工㊉8中的元素有个.

四、解答题

15.已知公差d不为0的等差数列｛an｝的前〃项和为=6言=.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)令，=2%+12,记(为数列｛6n｝的前〃项和，若7；22024,求〃的最小值.

16.已知函数/■(无)=x2e“\aeR.

(1)当。=1时，若x41,求/(x)的极值点和极值、最值点和最值；

⑵讨论/(x)在[0,1]上的单调性.

17.已知函数/'(x)=sinx-cosx.

⑴求方程/(a)=cos2a在[0,2可上的解集；

⑵设函数尸(x)=/(x)+51nx；

5兀

(i)证明：>=产(、)在(0,二)有且只有一个零点；

4

211

(ii)在⑴的条件下，记函数丁=厂(%)的零点为％,证明：-]<lnxo+]sin2/<].

试卷第3页，共4页

18.已知函数/'(x)=2sin120x+《J+l.

7171

(1)若0>O,1(x)在上为增函数，求切的值范围；

(2)已知0<。<5J(x)的图像向右平移2个单位长度后得到函数g(x)的图像.且x=g是

63

g(x)的一个零点，若g(x)在[0,〃)(〃>0)上恰好有6个零点，求〃的最大值；

⑶已知函数〃(x)=qcos(2x-1]-2a+3(a>0),在第(2)问的条件下，若对任意罚e0,6,

存在0,；,使得MxJ=g(xj成立，求°的取值范围.

19.已知函数f(x)=xef.

ln(1+X)

(1)若0<x<l,证明：</(x)<ln(l+x);

X+1

⑵记数列｛6｝的前〃项和为S,.

e

(i)若。"=/(〃)，证明：S,<小_产.

(ii)已知函数g(x)=3x-l+ln(/(x)),若a”1==3,%>1,证明：Sn<3"+n-l.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CDBBCDBAABDACD

题号11

答案AC

1.C

【分析】根据集合的交集、并集运算求解.

【详解】因为工={1,2},8={2,3},C={2,4},

所以(418)UC={2,4},

故选：C

2.D

【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即

可.

【详解】因为1+i是关于x的方程--冰+6=0的一个根，。海*R,

所以l-i是关于x的方程/一办+6=0的一个根，

1+i+l—i=〃=2

于是有.、,=>1,=^a+b=4,

故选：D

3.B

【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.

【详解】因为48,C三点共线，

所以存在实数左，使刀=上二，即热+3=左(@+〃3),

_一{A.=k

又向量6不共线，所以<=

[1=〃左

由2>0,〃>0,所以彳+4〃22=4,

当且仅当彳=4〃时，取“=”号，

故选：B

4.B

(yn1

【分析】先利用二倍角公式对题中已知条件进行变形，对sin胃-cos?=:进行平方化简变

222

答案第1页，共14页

形，然后再判断两个条件的逻辑关系即可得解.

【详解】必要性：由sin"-cosq=',可得sin24—2sin4cos4+cos?幺=’,

22222224

aa33

贝!J2sin—cos—=—,即sincr=—.

2244

3aa]

所以“sina=-"是“sin——cos—=-的必要条件；

4222

充分性；由sina=±3,可得2sina4cosa巴=三3，

4224

.2«.aa2a1

即Bnsm----20sin—cos-I-cos—=—,

22224

rm/.a。丫1汨.a«laa1

则sm——cos—二一，得sm——cos—=_或sm——cos—=——.

(22J4222222

所以，!1£=3，不是，3吟-31=1的充分条件；

4222

故选：B

5.C

【分析】根据绝对值不等式的性质，累加并注意等号成立的条件即可得解.

【详解】因为|尤-1+|尤-40以(x-l)-(x-40)|=39,当且仅当1W40时取等号;

|x-2|+|x-39|>|(x-2)-(x-39)|=37,当且仅当2VxV39时取等号；

|x-3|+|x-38|>|(x-3)-(x-38)|=35,当且仅当3Vx438时取等号;

以此类推，直到|尤-20|+x-21闫(尤-20)-(x-21)|=l,当且仅当204x421取等号,

所以/(力21+3+5+…+37+39=也与叫=400,当且仅当204x421时取等号.

故选：C.

6.D

【分析】由两角差的正弦公式、两角和的余弦公式，结合同角的三角函数关系式中的商关系、

两角差的正切公式进行求解即可.

【详解】由sin(a—，)=2cos(a+y0)=>sinacosP-cosasin/3=2cosacos/?-2sincrsin/

sinacosB-cosasinB2cosacosB-2sinasinB__

=>------------------------------=----------------------------------otana-tan2-2tanatanp,

cos<7cosPcosacos/?

,,c、1tana-tan61-”为

由tan(a一/)=—n-----------=——tanatanp=2tana-tanB,

21+tan。tan/?2

,4

于是有tana-tanp=2-2|_r2(tana-tan尸)一1」ntana-tanp,

答案第2页，共14页

故选：D

7.B

【分析】根据、•而+%-MB+品•MC=0和3&3+4筱+5就=0得邑：：Sc=3:4:5,

ADAT

从而可以得出——=4,—上=3,设〃。=x,MF=y,得4M=3x,BM=2y,再结合垂心

MDBF

和直角三角形余弦值即可求解.

【详解】

如图，延长交BC于点。，延长8M交NC于点F，延长CM交48于点E.

由W为VA8C的垂心，3MA+4MB+5MC=0-S.SA-MA+SB-MB+SC-MC=Q,

45

得邑：SR:5°=3：4:5,所以邑=§S〃,Sc=，

又S“BC=SJ%+SC，则/=4,同理可得丁=3,所以黑=4,整=3,

、SBMDMF

设=MF=y,则/M=3x,BM=2y,

22

所以(：05/皿0=二=＜；0$//〃^=x，gp3x=2y,-=

2y3xy3

所以cos/8MD=^="

2y6

V6

所以cosZAMB=cos(7i-ZBMD)=-cos^BMD=-

6

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到与：%：斗=3:4:5,从而利

用对顶角相等得到±=逅，由此得解.

y3

8.A

【分析】根据函数的单调性的性质判断函数y(x)的单调性，结合题中函数w(x)的定义，利

答案第3页，共14页

用基本不等式进行求解即可.

【详解】因为函数〉=/7/=彳-2都是实数集上的增函数，所以/(X)在R上为增函数，

所以当xWl时，/(%)</(1)=0,所以当xWl时，M(x)40成立.

同时因为当x>l时，/(x)>/(l)=O,所以当x>l时，g(x)40恒成立，

2

即当x>l时，«(x-l)<x2+x,即aV”设，=%-1>0,

x—1

mA%2+x+3Z+22I2-rr

则-----=--------=?+-+3>3+2.r-=3+2A/2,

x-1ttVt

当且仅当/时取等号，即当/=血时取等号，所以.43+2VL

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数/(X)的性质，运用基本不等式进行求解.

9.ABD

【分析】根据函数的周期判断A,根据函数的对称轴判断B,根据正弦型函数的单调性判断

C,根据数形结合判断D.

【详解】由题意得函数〃x)=2sin13x-：|的最小正周期为午，所以/［-］卜〃》)成

立，A项正确；

因为/(一11)=2$山,2=-2,所以是“X)的最小值，

所以直线》=-展是/(x)图象的一条对称轴，所以，-/［=小)成立，B项正确；

当时，4号］当3尤_9鸟,字］时，仆)为减函数，C项错误;

由题意知sin(3x-』=-。在［-Ro］有两个不等实根，

I4J4L2J

设f=-二，一:，由函数y=siw,fe-7,一：的图象，如图，

44444

3

易知与直线>=-:有两个不同的交点，D项正确.

4

故选：ABD

答案第4页，共14页

10.ACD

【分析】根据平面向量共线的性质，结合平面向量夹角坐标公式、三角形重心的性质、投影

的定义逐一判断即可.

【详解】A：因为点4民C是直线I上三个不同的点,O为直线/外一点，且双=xOA+0,405，

所以有x+0.4=1=>x=0.6,正确；

B：2+花=（1+九2+彳），当&与篇共线且同向时，早=等=彳=0,

此时万与）+25的夹角为零，而不正确；

C：设8C边上的中线为4D,

于是房+济+岳=房+伊+式）=M+痂，

因为点G为VN3C三条边的中线的交点，

所以点G是三角形的重心，因此有G/=2G。，

于是有由+荏+数=由+俾+沅）=由+痂=6,正确;

D：因为刀=(26,2),就=(-1,-6),

所以方在就上的投影的坐标为:

AB-AC

所以本选项正确,

故选：ACD

11.AC

【分析】对于A：根据反函数的性质分析判断；对于B：举反例说明即可；对于C：整理可

得9+西=8,心小+8-％=8,同构函数Mx）=e'+x,结合函数单调性分析证明；对于D：

根据题意分析可得Ina>妈，构建函数d（x）=典,x>0,利用导数分析其最值，结合恒成

xx

立问题即可得结果.

答案第5页，共14页

【详解】对于选项A：因为/(X)和g(x)互为反函数，可知其图象关于直线y=x对称，故A

正确；

对于选项B：例如。=二，则=,g(x)=log[X,

16U6J而

可知〃X)和g(x)的图像有交点和均不在直线〉=x上，故B错误;

对于选项C：由题意可得：e~+再=8,ln%2+工2=8，

g|^jliix2=S-x2,可得g一“2=工2，即e"巧+8—%2=8，

设函数〃(x)=e"+x,

因为歹=e",y=x在R上单调递增，可知>=〃(%)在R上单调递增，

又因为〃(项)=〃(8-％2)，则芭=8-％2，即再+%=8,故C正确；

对于选项D：当Q>1时，/(x)为增函数，

若〃x)4x,则/(/⑺b/⑺"，与/(/(x))>x矛盾，舍去，所以〃x)>x,

x

若/(/卜))>尤>8缶(尤))恒成立，则x>0,BPa>x>0,

lr>y

两边取对数可得Ina'Alnx,即ln〃>——，

x

同理可得：x〉g(g(x))等价于x>g(x),即lno>当，

令d(x)=蛔,x>0,则d，(x)=l

当0<x<e时，d'^x)>0；当x>e时，d'^x)<0；

则〃x)W"(e)=L可得lna>L解得〃>£，

ee

所以。的取值范围为ee,+co；

例如q=e3>e©>1，可得优>x>log«x,

BP/(x)>x>g(x),且〃x),g(x)为增函数，

符合题意，故D错误.

故选：AC.

答案第6页，共14页

【点睛】关键点点睛：对于C：根据题意整理可得e~+再=8,产%2+8—%=8,进而可同构

函数M%)=e"+%;

对于D：根据题意分析可知：1曲＞蚂，解得。的取值范围为ee,.进而取反例说明.

x

12.

【分析】根据正弦型函数对称轴与周期的关系，结合正弦型函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为函数〃吁出(5-外0＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为

所以=[解得0=2,即/(x)=sin[2x_g],

co22\3J

因为/(x)在(一"M上是增函数，贝冽＞0,

所以函数"X)=sin(2xT的增区间包含0,

人兀，c兀,兀/口715兀

令——<2x——<—,得---<%<—,

2321212

m落

兀5兀12

所以(-加,加)口，所以故加的取值范围为0,二

12512

12

故答案为：

13.[1,+®)

【分析】利用导数的正负性与原函数的单调性的关系，结合构造函数法进行求解即可.

【详解】由/(x)=J1+X2-GO/'(X)=,

Vl+x

因为/(x)在(-°o,+°o)上是减函数,

xX

所以/'(X)VO在(-8,+8)上恒成立，即/,

\1++Xx41+x

设g("=”

当x=0时，g(0)=0,

(、X\x21

当%>0时,g(x)=7w=^7=

答案第7页，共14页

3>0n二+1>1=>

因为x>0,所以XX

因此当x〉0时，o<g(x)<l,

3>0n二+1>1=>

因为x<0,所以XX

因此当x<0时，一l<g(x)<0,

因止匕有T<g(x)<l,于是有a»l,

故答案为：［1,+°°)

14.14

【分析】根据复数模的运算公式，结合题中定义进行求解即可.

【详解】因为4={订},5={-1,01,-1+覃，1+>1——,1-4,

所以/㊉3={-l+i,i,l+i,-l+2i,2i,l+2i,-l,0,l,2,2+i,-i,l-i,2-i},

/㊉3共14个元素.

故答案为：14

【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题中定义.

15.(l)a„=2n

⑵6

【分析】(1)利用等差数列前〃项和及通项公式求基本量，即可写出通项公式；

4〃+14

(2)由(1)及题设。=2即+12,应用等比数列前〃项和公式、分组求和得北=三-+12〃-

结合不等式能成立及(单调性求正整数〃的最小值.

6(4+4)

【详解】⑴由题设土嬴=%,

2

所以13q+50d=74+56d而〃3=%+24=6=%=4=2,

答案第8页，共14页

所以%=2n

(2)由题设£=2"”+12=4"+12,

4(l-4")4"+14

则7；=(4+不+43+…+4")+12〃=:4，+12〃=亍+12〃一§，

4〃+144〃+14

所以q=亍+12〃-]22024,又1=亍+12〃-§在〃eN*上单调递增，

464

当〃=5时，7：=—+12x5一一=1424<2024,

533

474

当〃=6时，北=一+12x6--=5532>2024,

所以7；22024,求〃的最小值6.

16.(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)利用导数的性质，结合极值点、极值、最值点、最值的定义进行求解即可；

(2)利用导数，并分类讨论参数。研究函数单调性.

【详解】(1)当°=1时，fix)=x2exf(x)=2xex+x2ex=x(x+2)e\

令/''(>)〉0，解得x>0，或x<-2,而xVl,所以0<xWl,或x<-2,

令f(x)<0>解得-2<x<0,

所以函数〃x)在(-*-2)上单调递增，在(-2,0)上单调递减，在(0』上单调递增，

因此x=-2是函数/(无)的极大值点，极大值为4e\

x=0是函数/(x)的极小值点，极小值为0；

因为/'(l)=e>4e<,当x->-8时，y-0,

所以函数在时，x=l是函数/(x)的最大值点，最大值为e,没有最小值点，无最小值;

(2)由f(x)=x2e"nf'[x)=2xQax+ax1e,m=(ox+2)xeaA,

当。20时，在[0,1]上，­(久)>0,因此函数/(x)单调递增；

当°<0时，令r(x)=0,解得x=_W,或x=0,

a

2

若一一<1时，即〃<—2时，

a

答案第9页，共14页

在［0'一5］上’因此函数/（X）单调递增，

在卜上，r（x）＜o,因此函数〃x）单调递减;

2

若一一时，即一2Va＜0时，

a

在［OH上，r（x）＞o,因此函数〃x）单调递增,

综上所述：

当。2-2时，在［0,1］上函数/（X）单调递增，

当aV-2时，在［。,二］上函数/（x）单调递增，在（二,1］上函数〃x）单调递减;

17.⑴匕f7i，兀，干5兀了3兀〕1

（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可;

（2）（i）根据三角函数的性质分区间研究函数的性质，利用零点存在定理可证明；（ii）然

后利用换元法求值域即可证明.

【详解1(1)sina—cosa-cos2a=cos2a-sin2a

所以(cosa-sina)(sina+cosa+1)=0.

所以cosa-sina=0或sina+cosa=-\

当sina—cosa=0时,cosawO,则tana=l,又a«0,2兀］,所以。=：或。=T,

.(兀、V2d「八c1兀「兀9兀

当sina+cosa=-l,n则itsmaH—=----,又a£[0,2可,a+1£—

v4J24_44

所以a+^=学或?，所以兀或a=^,

4442

所以方程/⑻=cos2a在［0,2月上的解集为［“jr无,7Si,r了37r卜

（2）⑴设尸（x）=sinx—cosx+glnx=+£（0,+功.

、r,（八3万］e兀/兀兀

当工£0,丁,则X-丁w-■,

I4」4142」

此时j；=V2sinL-在区间（0,二上单调递增，

又y=|lnx在区间，，个上也单调递增，所以"x）在区间（0,与上单调递增,

答案第10页，共14页

71兀兀

又FV2sin5响=匕咱（

4哈了~2~~4

（3%

所以尸（X）在xe[o,不时有唯一零点,

713

,V2sinX-->0,—Inx>0,所以T7。）〉。，

当n

3兀5兀

所以尸（X）在xe

T'T上没有零点,

综上，F(x)=sinx-cosx+gInx在10,571

有唯一零点x0.

（ii）记函数V=b（x）的零点为%,

32

,所以。

所以sinxQ-cosx0+—Inx0=0,且/E14,2Inx=y(cosx0-sinx0)

12

1.2x0=^-(cosx0-sinx0)+sinx0cosx0,

所以In/+§sin2x0=y(cosx0-sinx0)+-—sin

3

7171

令％=cosx-sinx=c:ios,因为天£，所以

00k+:452

[-2

又r=l-2sinx0cosx0,贝|sin/cos/,

匚匚[、][].c22]—/122

所以lnxo+,sm2xo=./+.•—^—=一,«_1)+—e14•

【点睛】

18.(l)0<^<|；

⑵兀;

⑶年•

兀<兀

【分析】（1）由正弦函数的单调性结合条件可列3°2,从而解得。的值范围.

兀兀

晶一万

（2）由g1）=0,0<。<5,可得。=3,从而知g（x）的解析式，再由正弦函数的零点,

分析即可;

（3）原问题可转化为〃（占）的值域是g（£）值域的子集，再根据正余弦函数的图象与性质,

分别求得〃（占）与g（%）在对应定义域内的值域，列出关于。的不等式组，解之即可.

答案第11页，共14页

jrjr

【详解】(1)因〉=sinx在区间2k7i--,2k7i+-9cZ)上单调递增,

故/(x)=2sin|2cox+—j+1,6y>0在区间—F”+春(丘Z)上单调递增,

v6/o360(Dhco

.,.,7T7TklL7LkjL7L_.

故由题意知一个彳U———+—，贝！U=o,

_22J\_(t)3①①6G

兀<兀

3口2

于是<解得。W],故。的值范围为0<。.

兀〉兀

6CD2

C.(c兀兀)3

(2)由题意知g(x)=/2sin2+——CD|+1

I63J

因为x=:是g(x)的一个零点，所以8(：]=25出口0+(-：0)+1=0,

.।7T71।1.-j-./口兀717兀_j__d7T7T1171_

BnrPisin—coH—=,斛传——/~1—=----1-2E,或——coH—=------\~2左T兀，keZ

v36J2366366

解得①=3+6左，或。=5+6左，keZ,

又0<G<5,所以。=3,

所以g(x)=2sin[6x-7]+l,

若g(x)在[(),〃)(〃>0)上恰好有6个零点等价于y=sin(6x-与y=-g恰好有6个交点,

令/=6x-型，xe[0,n)(n>0),贝心€[一决,6〃一包)，

666

冗

即尸sin/,”?57r,6"-5?)与歹=-19合好有6个交点，

662

所以4兀一=7T<6〃一5与7r45兀+7=T=7:7r<〃"兀，故几的最大值为兀.

6669

(3)由(2)知g(x)=2sin16x--—+1,

若对任意再€0,；,存在0,；,使得〃(xj=g(尤2)成立，

则〃(为)的值域是g(%)值域的子集,

、[,八兀r>，3兀5712兀ll,..।,J71j「1ii

当马£时，6x——G-,所以sm6工/c[—1,1],

4663I6)

即g(%)£[T3],

、r,^71,兀7171G口，

当马£0,一时，2x----G---,一所以

4663

即力(演)£--a+3,-a+3

2

答案第12页，共14页

。>0

因为MxJ的值域是g(z)值域的子集，所以一

—u+3W3

所以实数。的取值范围为，,|.

19.(1)证明见解析

⑵(i)证明见解析(ii)证明见解析

【分析】(1)先构造函数证明e、>x+l,ln(x+l)>]匚，再由〃x)的单调性得出