锐角三角函数知识归纳与题型突破-2024-2025学年湘教版九年级数学上册单元速记（含答案）

第四章锐角三角函数知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

锐角三角函数在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形。

三边之间的关系

锐角之间的关系

之间的关系

已知斜边和一^^边

解直角三角形

已知两直角边

基本类型

已知斜边和一锐角

改0一直角边和一锐角

解与仰角、俯角有关的实际问题

解与坡角、坡度有关的实际问题

简单应用

^有领实际问题

解与生活有关的其他实际问题

02知识速记

1.三角函数的定义:在RM8C中，如990。,那么2卷*3/号=2必号=%

7」

对a

2.余角三角函数关系：“正余互化公式”如乙4+乙8=90。，那么:

shb4=cos5；cosZ=sir而taiL4=cot5；cot4=tan5.

3.同角三角函数关系:

sinA

sin224+cos2^4=1；taib4cot4=1.tanA=-------

cosA

4.函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余

试卷第1页，共23页

切函数随角的增大，函数值反而减小.

5.特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设公它可以推出特殊

角的直角三角函数值，要熟练记忆它们.

A

60°

K2K

30°

CV3KB

A

V2K

45°

CKB

Z-A30°45°60°

]_V2

sirU旦

2~T2

]_

cosA旦也

22

V3

tarU1G

~T

V3

cotAV31

3

6.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应

该有一个是边.

7.坡度：z=1：m=h/l=tana；坡角:a.

8.方位角:

北偏西30

南偏东71

9.仰角与俯角:

试卷第2页，共23页

03题型归纳

题型一正弦、余弦

例题1-1：（24-25九年级上•全国•单元测试）

1.如图，在RtZk/BC中，ZACB=90°,CE是斜边N3上的中线，过点£作跖_1_/5交NC

于点尸，若2C=4,昉的面积为5,则/CM的正弦值为.

2.如图，在△NBC中，ZC=90°,AC=24,45的垂直平分线Eb交ZC于点。，连接BD,

若cos/BOC=；,则8C的长是.

巩固训练

（2024九年级下•全国•专题练习）

3.在中，ZC=90°,若A/BC的三边都缩小5倍，则siM的值（）

A.放大5倍B.缩小5倍C.不变D.无法确定

（2024九年级下•全国•专题练习）

3

4.在中，ZC=90°,sin,则cosB的值为（）

（23-24九年级上•河南南阳・期末）

试卷第3页，共23页

5.在△/8C中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角//的正弦值、余弦值的变化

情况是（）

A.都缩小为原来的1

B.都扩大为原来的2倍

C.都没有变化D.不能确定

（23-24九年级上•山西临汾•期末）

6.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得

48=50。,8c=70cm,则点C到的距离为（）

7070

A.70cos50°B.70sin50°C.D.

cos50°sin50°

（24-25九年级上•云南•阶段练习）

7.在RtZX/BC中，ZC=90°,AB=3,AC=\,则sin4=()

A.迪

B.-C.VwD.Vio

33310

（23-24九年级上•河北石家庄•期中）

4

8.在RtZUBC中，ZC=90°,AC=6,sinN=1，则48的值为()

A.4.8B.9C.7.5D.10

（24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）

9.在△NBC中，ZC=90°,sinA=—,则cos5的值是（）

2

,1-V2nV3

A.1B.一C.—D.—

222

（2024・湖南长沙•模拟预测）

10.如图，在中，ZC=90°,AC=4,BC=3,则cosB的值为()

试卷第4页，共23页

4

D.

3

（24-25九年级上•山东聊城•阶段练习）

11.如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达5处，再向正北方向走到。处，已知

ABAC=a,则A,。两处相距（）

C.%一°sina米D./0cosa米

(2024九年级•全国•竞赛)

12.已知//为锐角，则J(l-cos/)2).

A.cosA-1B.1-cosAC.1+cosAD.sinA

（2024・贵州・模拟预测）

13.在RtZUBC中，48是斜边，AB=&,BC=6,则cosN=

（23-24九年级下•山东济宁•开学考试）

3

14.如图，在△4BC中，是边上的高，2c=17,AD=9,cosZBAD^-,则线段C£>

长为______

（23-24八年级下•江苏淮安•阶段练习）

4

15.RtZk/BC中，ZC=90°,/B=15,cosB=~,则5c的长为.

（24-25九年级上•山东聊城•阶段练习）

试卷第5页，共23页

3

16.在RtZk/CB中，ZC=90°,/C=8,sinA=~,贝l]BC=.

题型二正切

例题：（23-24九年级上•黑龙江大庆•期中）

17.构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算tan22.5。时，构

造出如图所示的图形：在RtzX48C中，ZC=90°,ZABC=45°,延长CB到。，BD=AB,

连接得4>=22.5。.根据此图可求得tan22.5。的结果.

巩固训练

（24-25九年级上•山东泰安•阶段练习）

18.如图，在△/BC中，NACB=9Q°,AB=5,4c=3,则tan/2的值为（）

A

4

C.D

3-1

（2024九年级上•山东济南•专题练习）

19.中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股

定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1,a为

直角三角形中的较大锐角，则tana=（）

A.1B.2C.|D.y/5

（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）

试卷第6页，共23页

20.如图，点/（2J）在第一象限，0/与x轴所夹锐角为a,tana=2,贝卜的值为（）

A.1B.2C.4D.V3

（2023・广东清远•二模）

21.季华路文华公园里的电视塔是佛山城市中轴线的标志性建筑物.如图，在地面上的点

A,C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为1度，且点/,C,。在同一直线上，若测得NC=140

米，则塔高8。是（）

tanatana

（2024•广东•模拟预测）

22.如图所示，已知正方形的边长为2,以点8为圆心，对角线AD的长为半径画

弧，交的延长线于点E,连接。E,贝Ijtan/5DE=.

（23-24九年级下•全国・单元测试）

3

23.在RtZ\48C中，ZC=90°,tanA=~,/2=10,则3c的长为

4

题型三特殊角三角函数值的混合运算

例题：（24-25九年级上•山东聊城•阶段练习）

24.（1）计算：2cos2450-6sin600+3tan450+4cos30°；

（2）计算:+J（l-tan60。）?

试卷第7页，共23页

巩固训练

（2024・上海浦东新•一模）

3tan3O0-tan6(F+」厂-2024°

25.计算:

V3-V2

（24-25九年级上•山东聊城•阶段练习）

26.计算:

102

(l)3tan300.+V8cos45°+^(l-tan60)

cos60°

(2)2sin300+4cos30°-tan60°-cos245°.

(24-25九年级上•吉林长春•阶段练习)

27.计算：

(1)tan30°-tan60°+sin245°+cos245°;

(2)2cos30°-sin60°-tan45°-sin30°.

(23-24九年级上•黑龙江大庆•期中)

28.计算下列各题：

(1)(-2)°-2cos30°+|V3-2|.

(2)V3sin60°-3tan300+cos245°.

(24-25九年级上•山东聊城•阶段练习)

29.(1)计算：2sin30°+tan45°+cos2300-sin245°.

(2)$也45。一|2一四+(万一1)。+]一£].

(24-25九年级上•山东荷泽•期中)

30.计算：V8-2sin450+2cos600+11-VI|-cos230°-tan45°.

(24-25九年级上•吉林长春•开学考试)

31.计算：

⑴2cos30。-2cos45°+tan60°+|1-四；

(2)2sin2450-tan45°.

(24-25九年级上•全国•单元测试)

32.计算：2cos60°+sin30°.tan450+4cos245°

题型四由特殊角三角函数值判断三角形形状

试卷第8页，共23页

例题：（九年级上•江苏盐城•期末）

33.在△4BC中，-都是锐角，且|2sin/-l|+（百-tanB）2=0,则△NBC的形状是

三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）.

巩固训练

（23-24九年级下•福建龙岩•阶段练习）

34.在△N8C中，若（2cos/—也『+|l-tana=0,则么△/8C一定是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

（23-24九年级下•湖南衡阳•期中）

35.在△4BC中，sin5=cos(90°-ZC)=|,那么△48C是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

（23-24九年级上•湖南株洲•期末）

36.如果△/8C中，siM=cos3=正，则下列结论正确的是（）

2

A.ZUBC是等边三角形B.△NBC是钝角三角形

C.△4BC是等腰直角三角形D.△4BC是锐角三角形

（23-24九年级上•山东青岛•阶段练习）

37.在△4BC中，NA,/C都是锐角，且sin/=cos（90。-。）=学，则△ABC的形状是

（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.直角三角形

（23-24九年级上•福建泉州•期中）

38.在△4BC中，若cosN-J+--一cosB=0,则△4BC的形状是（）

2S

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

（2023九年级下•全国•专题练习）

39.(A/3tanA—3)2+12cosS-1|=0,贝！J△NBC是()

A.直角三角形

B.等边三角形

C.含有60。的任意三角形

试卷第9页，共23页

D.顶角为钝角的等腰三角形

（四川自贡•一模）

40.在△NBC中，若乙4,25满足sin/-日2

+］；-cos8I=0,贝必/BC是____三角形.

题型五已知角度比较三角函数值大小

例题：（九年级下•全国•单元测试）

41.（1）试比较18。，34°,52°,65。，88。这些角的正弦值的大小和余弦值的大小.

（2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°,

cos30°,sin50°,cos70°.

巩固训练

（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）

42.sin55o、cos55\tan55。的大小关系是（）

A.tan55°<cos55°<sin55°B.cos55°<tan55°<sin55°

C.sin55°<cos55°<tan55°D.cos55°<sin55°<tan55°

（23-24九年级上•广东梅州•期末）

43.若。=cos20°,b=sin40°,c=cos80°,则（）

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

（23-24九年级上•山东东营•开学考试）

44.三角函数sin30。、cos16%sin43。之间的大小关系是（）

A.sin43°>cos16°>sin30°B.cos16°>sin30°>sin43°

C.cos16°>sin43°>sin30°D.sin43°>sin30°>cos16°

（23-24九年级下•湖北襄阳•开学考试）

45.sin77°,cos77°,tan77°的大小关系是（）

A.tan770<cos770<sin77°B.cos77°<tan770<sin77°

C.sin770<cos77o<tan77°D.cos770<sin770<tan77°

（2022九年级下•浙江•专题练习）

46.三角函数sin31。、cos16°,cos43。之间的大小关系是（）

A.sin310<cos160<cos43°B.cos43°<sin310<cos16°

C.sin310<cos430<cosl6°D.sin160<cos310<cos43°

（23-24九年级下•上海杨浦•阶段练习）

试卷第10页，共23页

47.sin37°—cos52°（选填或“〈”或“=”）

（23-24九年级上•浙江金华•阶段练习）

48.tan35°tan22°（填”＞或＜”）.

题型六解直角三角形

例题：（24-25九年级上•全国•单元测试）

49.在RtA48c中，ZC=90°,/4、NB、/C的对边分别为。、b、c,由下列条件解直

角三角形.

（1）已知°=4而，c=8V5；

（2）已知°，ZB=30°.

巩固训练

（2024•广东•模拟预测）

50.如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,AB=2,BC=\,延长C/到点。，使=连

接BD.利用此图，可算出tan75。的值是（）

二^4

DAC

D.皂

A.2+V3B.2C.

23

（24-25九年级上•重庆•阶段练习）

51.如图，点E在矩形48c。的边CD上，将△/£＞£■沿4E1翻折,点。恰好落在边8C的点尸

3

处，如果BC=10,sinZBAF=~,那么EC=______.

（24-25九年级上•全国•课后作业）

52.在△4BC中，ZC=90°.

（1）若4c=3,BC=4,贝iJcos/=,sinA=,tan5=

试卷第11页，共23页

（2）若48=15,sin,则/C的长为；

（3）若/B=3,44=60。，则8c的长为.

（24-25九年级上•山东泰安•阶段练习）

53.根据下列条件解直角三角形.

⑴在RtA48C中，ZC=90°,Z>=5,c=10；

⑵在RtZX/BC中，ZC=90°,N4=30°,SAABC=2073.

（24-25九年级上•山东威海•阶段练习）

4

54.在菱形/5C。中，DEJ.AB,sinN=1,BE=2,求cosNDBE.

（23-24九年级上•广东深圳•阶段练习）

3

55.如图，△NBC中，ADJ.BC于点、D,BC=14,AD=12,tanNBAD=—,求sinC,

4

AB,AC,sinfi,cosC的值.

题型七解非直角三角形

例题：（九年级上•山东烟台•期中）

56.如图，在△NBC中，ZB=30°,ZBCA=45°,AC=4,求的

试卷第12页，共23页

巩固训练

（2024•重庆九龙坡•模拟预测）

57.在边长相等的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在格点上，那么sin/NCB的值

为（）

（九年级上•江苏南通•期末）

58.如图，在△NBC中，44=30。，AC=2^,tan5=—,则48的长为（）

2

A.2+273B.3+V3C.4D.5

（九年级下•湖北省直辖县级单位•阶段练习）

59.如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路

10俏的A处，测得一辆汽车从B处行驶到。处所用的时间为0.9s.已知乙8=30。，ZC=45°,

那么这辆汽车速度是m/s.（参考数据：V3=1.7,V2=1.4）

（九年级下•广西桂林•阶段练习）

60.如图，△NBC的三个顶点都在边长是1的小正方形的顶点上，则

tanABAC=.

试卷第13页，共23页

（23-24九年级上•安徽六安•阶段练习）

61.如图，在△/BC中，ZTI=30°,AB=45°,BC=342.

C

⑴求/c的值.

（2）求A/BC的面积（结果保留根号）

（23-24九年级上•江苏泰州•期中）

]/?

62.如图，是△/BC的中线，lanB=-,cosC=—,AC=y/2

52

求：

（1）8C的长；

（2）//OC的正弦值.

题型八仰角、俯角问题

例题：（24-25九年级上•上海•期中）

63.如图，甲乙两幢楼之间的距离CD等于45米，现在要测乙楼的高8C,（5C1CD）,所

选观察点/在甲楼一窗口处，AD//BC.从/处测得乙楼顶端8的仰角为45。，底部C的

俯角为30。，求乙楼的高度（取百=1.7,结果精确到1米）.

试卷第14页，共23页

□□

□□

□□

□□

甲

一□□

口□□

口□□

口□□

巩固训练

（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）

64.如图，小明为了测量学校旗杆。的高度，在地面离旗杆底部C处22米的/处放置高

度为L5米的测角仪N8,测得旗杆顶端。的仰角为32。，求旗杆的高度CD.（结果精确到

0.1米）【参考数据：sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan320=0.62]

-----------------rE

A'-------------------------'C

（2024・湖南•模拟预测）

65.如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点/

处观测旗杆顶点K的仰角为45。，接着小明朝旗杆方向前进了7nl到达C点，此时，在观

测点。处观测旗杆顶点E的仰角为60。.假设小明的身高为1.68m,求旗杆E尸的高

度.（结果保留一位小数.参考数据：72=1.414,$1.732）

（2024•西藏•中考真题）

66.在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作

业.如图，次仁在/处测得山顶C的仰角为30。；格桑在2处测得山顶C的仰角为45。.已

试卷第15页，共23页

知两人所处位置的水平距离MN=210米，/处距地面的垂直高度/"=30米，8处距地面

的垂直高度BN=20米，点M,F,N在同一条直线上，求小山CF的高度.（结果保留根号）

（24-25九年级上•全国•课后作业）

67.研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席

东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的

相关数据.

数据采集：如图，点N是纪念碑顶部一点，4B的长表示点/到水平地面的距离.航模从纪

念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点/的仰角

ZACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角/NCO=37。，当到达

点/正上方的点E处时，测得/E=9米

数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E,A,8三点在同一直线上.请根据上述

数据,计算纪念碑顶部点/到地面的距离A8的长.（结果精确到1米.参考数据：sin37。a0.60,

cos37°»0.80,tan37°»0.75,sin18.4°~0.32,cos18.4°®0.95,tan18.4°®0.33）

//

Cr---D

MB

（2024•陕西•模拟预测）

68.小乐同学家住大楼甲中，某个周末，他站在阳台眺望远方，当看到正对面的大楼乙时,

陷入了思考:对面的大楼乙有多高？于是小乐做了一个简易的测角仪用来观测大楼乙的顶端

与底端.如图，小乐家在点尸处，当他抬头观察大楼乙的顶端A时，记其仰角为a,观测大

3

楼乙的底端8时，记其俯角为方，整理所测数据：«=60°,tan^=-.已知甲、乙两栋大

楼的间距为48m.请根据题目数据帮助小乐计算出大楼乙的高度.（图中所有点在同一个平

试卷第16页，共23页

面内，ABICG,EFICG,结果保留根号）

DA

CBFG

M（24-25九年级上•江苏淮安一阶段练习）

69.如图，一座古塔坐落在小山上（塔顶记作点4其正下方水平面上的点记作点8）,小李

站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于

某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点。出发

向右上方（与地面成45。，点B,C,O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中。点处,

再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，

NAOC=75°,求小李到古塔的水平距离即的长.

题型九方位角问题

例题：（2024・海南・中考真题）

70.木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部

最重要的航标.某天，一艘渔船自西向东（沿NC方向）以每小时10海里的速度在琼州海

峡航行，如图所示.

试卷第17页，共23页

航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔尸北偏西60。方向上的/处.

记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔尸北偏西45。方向上的3处.

记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C

点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15。方向.

请你根据以上信息解决下列问题：

⑴填空：ZPAB=°,NAPC=。，AB=海里；

（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明.

（参考数据:V2«1.41,73«1.73,76«2.45）

巩固训练

（24-25九年级上•山东泰安•阶段练习）

71.如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A,B,。分别为三个风景点.经测量，

A,B,C在同一直线上，且A,B在C的正北方向，48=240米，点。在点B的南偏东75°

方向，在点A的东南方向.（参考数据：72^1,414.V3-1,732）

（1）求8,。两地的距离；（结果精确到0.1米）

⑵大门C在风景点。的南偏西60。方向，景区管理部门决定重新翻修8之间的步道，求C。

间的距离.

（24-25九年级上•重庆九龙坡•开学考试）

试卷第18页，共23页

72.小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行

60米到一处小山B处，再沿着3c前往寺庙C处，在5处测得亭台。在北偏东15。方向上，

而寺庙C在B的北偏东30。方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台。处,

再步行至正东方向的寺庙C处.

⑴求小山8与亭台。之间的距离；（结果保留根号）

⑵若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙。处.（结果精确到个位，参考数据：0yl.41,

V3»1.73,&a2.45）

（2024•湖北武汉•模拟预测）

73.某市要在东西方向N两地之间修建一条道路.如图，C点周围180m范围内为文物

保护区，在上点/处测得C在/的北偏东60。方向上，从/向东走500m到达8处，测

得C在8的北偏西45。方向上，则是否穿过文物保护区？为什么？

（23-24九年级上•重庆荣昌•期末）

74.今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心/的正北方向的2处,

其中A8=2km,明明位于游客中心N的西北方向的C处.烈日当空，妈妈准备把包里的太

阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60。方向缓慢前

进.15分钟后，他们再游客中心/的北偏西37。方向的点。处相遇.

（1）求妈妈步行的速度;

试卷第19页，共23页

（2）求明明从C处到D处的距离.

（24-25九年级上•安徽宣城•开学考试）

75.如图，一艘船8:00从A处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔C在A处的西北

方向上；当天10:00到达8处，此时瞭望塔C在B处的北偏西60。方向上，已知该船的平均

速度是30海里/小时，问：A/BC的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1,参考数据：

1.414,V3«1.732）

（九年级上•重庆沙坪坝•期中）

76.随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔.某日，

在雷达塔A处侦测到东北方向上的点B处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以30

海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了1

小时10分到达点A南偏东53。方向的C处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不

计）与N、C在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船

位于与A相距100海里的。处.

⑴求4c的距离和点D到直线5c的距离；

（2）若海警船航行速度为40海里/时，可侦测半径为25海里，当海警船航行1小时时，是

434

否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据：sin53。*1,cos53°«f,tan53°«-）

553

题型十坡度、坡比问题

例题：（2024•山西长治•模拟预测）

77.“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边

试卷第20页，共23页

靖楼的高度，测量方案如图：在坡底。处测得塔顶/的仰角为45。，沿坡比为5:12的斜

坡CD前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶/的仰角为60。.

A

（1）求坡顶C到地面的距离;

⑵计算边靖楼的高度.

巩固训练

（24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）

78.如图，某山坡的坡面A8=200米，坡角Nb4c=35。,则该山坡的高度3c是（）米

C.200cos35°D.200sin35°

cos35°sin35°

（2024九年级下•河南驻马店•学业考试）

79.过街天桥的出现，解决了“过街”难题,也已成为一道独特的风景线，下图是某过街天

桥的截横面，桥顶力D平行于地面2C,天桥斜面CD的坡度为i=l：＞万，CD长10m,天

桥另一斜面AB的坡角NABC=45°.

AD

⑴求点。到地面的距离；

（2）为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面AB的坡角变为30。，改建后斜

面为/尸，则斜面NP的坡角/尸=30。，试计算此改建需占路面的宽度五8的长（结果精确到

0.1m）（参考数据百名1.73）

（24-25九年级上•山东聊城•阶段练习）

试卷第21页，共23页

80.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD,小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部。的

仰角为60。.沿坡面48向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45。，已知山坡的坡度

i=l：5/8=10米，NE=15米.

⑴求点B距水平面AE的高度即7；

（2）求广告牌CD的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据:

收。1.414,V3-1.732）

（九年级上•重庆•阶段练习）

81.某商场为方便顾客使用购物车，将滚动电梯的原坡面/C改造为坡面已知改动后

电梯的坡面长ND=13m,原坡面坡角//C3=30。，新坡面4D的坡度i=1:2.4.

（1）求斜坡底部增加的长度CD；（结果保留根号）

（2）电梯顶部水平线/E=7m,电梯上方点E处有悬挂广告牌EF,EF1BD,EF=\m.若

高度L9m的物品乘电梯上行，行进过程中是否会碰到广告牌的下端尸？请通过计算说明理

由.

（24-25九年级上•河北石家庄•开学考试）

82.如图，已知点C与某建筑物底端8相距306米（点C与点8在同一水平面上），某同学

从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶。处，斜坡。的坡度（或坡比）

i=1:2.4,在。处测得该建筑物顶端/的俯角为20。，则建筑物48的高度约为多少米？（精

确到0.1米，参考数据：sin20°«0.342,cos20°~0.940,tan20°»0.364）

试卷第22页，共23页

D

y1-^Tno—"

z=l：2.4

（23-24八年级下•全国•单元测试）

83.如图，扶梯48的坡比为4:3,滑梯C£）的坡比为1:2,3c平行于地面，BELAD

于点E,CFLAD于点尸.若NE=30dm,8c=40dm,一男孩从扶梯走到滑梯的顶部,

然后从滑梯滑下，他所经过的总路程是多少（结果保留根号）？

BC

（24-25九年级上•福建泉州•阶段练习）

84.风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保.如图1所示，是一种风

力发电装置；如图2为简化图，塔座建在山坡。厂上（坡比i=3:4,OE垂直于水平地

面砂，O,D,E三点共线），坡面。尸长10m,三个相同长度的风轮叶片。4,OB,OC

可绕点。转动，每两个叶片之间的夹角为120。；当叶片静止，。/与重合时，在坡底尸

处向前走25米至点M处，测得点。处的仰角为53。，又向前走23.5米至点N处，测得点A

处的仰角为30°（点£,F,M,N在同一水平线上）.

（1）求叶片0/的长；

⑵在图2状态下，当叶片绕点。顺时针转动90。时（如图3）,求叶片OC顶端C离水平地面

434

斯的距离.（参考数据：sin53°»-,cos53°»-,tan53°»j,小\.7,结果保留整数）

试卷第23页，共23页

【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE=4E=3E=；/8,进而得到

NBEC=2NA=NBFC,从而有NCEF=NC8尸，根据三角形的面积公式求出4尸，由勾股定理,

在Rt^FBC中，求出CF,再求出/8=/2+如2=45最后根据/C跖=/E8C结合

锐角三角函数的定义求解即可.

【详解】如图，连接B尸，

：.AA=AACE,

-EFLAB,

・•.EF是AB的垂直平分线，

・•・BF=AF,

**-S.AFE=S&BFE=5,AFBA=AA,

•••S”q=1°=；//BC，/A=NFBA=NACE,

•・•BC=4,

AF=5=BF,

在Rt△尸5C中，BC=4,BF=5,

•••CF7BF2-BC2=3,

y,-ZBCA=90°=ZBEFfZA=ZFBA=ZACE,

・•.ZCBF=90°-ZBFC=90°-2ZA,

ZCEF=90°-ABEC=90°-2AA,

・•・/CEF=/FBC,

CF3

sin/CEF=sinZFBC=-----=—.

BF5

答案第1页，共49页

3

故答案为：

【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质

以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键.

2.476

CD5

【分析】此题考查三角函数，勾股定理，根据cos/BOC=访=,设CD=5x,BD=7x,

求出x=2,再根据勾股定理求出5C.

【详解】在"△3C。中，ZC=90°,

CD5

・•・cos/BDC=——二—,

BD7

设CD=5x,BD=7x,

•••E尸垂直平分45,

*'.AD=BD=7x,

5x+7x=24,

角军得x=2,

...CD=5x=10,m=7x=14,

•••BC=^BD2-CD2=4>/6，

故答案为4卡.

3.C

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，ZC=90°.锐角工的对边。与

斜边c的比叫做//的正弦，记作siM.直接利用锐角的正弦的定义求解.

【详解】解:•.*"=90。,

•1.sirU=ZA的对边与斜边的比，

•••△4BC的三边都缩小5倍，

・・•一/的对边与斜边的比不变，

•1•sirk4的值不变.

故选：C.

4.B

【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正弦和余弦的定义.

答案第2页，共49页

【详解】解：-cos^-1sin.=-=?

cosB=sin4=—.

5

故选：B.

【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前

后的两个三角形相似.根据一个锐角△/BC的三边的长都扩大为原来的2倍，可知扩大后

//的度数没有发生变化，可以判断是否变化.

【详解】解：,•・一个△N8C的三边的长都扩大为原来的2倍，

•­•//的度数没有发生变化，

，锐角一/的正弦值、余弦值没有变化，

故选：C

6.B

【分析】本题主要考查了三角函数的应用、点到直线的距离等知识点，熟练掌握三角函数的

定义是解题的关键.

如图：过点C作CDLA8于点。，由三角函数定义可得CD=BCxsin8=70sin50。，即可解

答.

【详解】解：如图：过点C作CDLA8于点。

在RtA5C£>中，sinZS=—,

BC

CD=BCxsin8=70sin50°,

.•.点C到AB的距离为CD=BCxsinB=70sin50°,故B正确.

故选：B.

答案第3页，共49页

7.A

【分析】根据正弦：我们把锐角A的对边。与斜边c的比叫做//的正弦，记作sin/进行计

算即可.此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义.

【详解】解：,•,NC=90。，AB=3,AC=1,

•1•BC=siAB2-AC2=V9^1=2V2，

.,BC2V2

sinA-----=------,

AB3

故选：A.

8.D

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义即可直接求解，解题的关键

是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻

边.

【详解】解：如图,

・•.sm—4

AB5

,设5C=4x,AB=5x,

•••由勾股定理得：4c=LB?_BC?=&5x）2_（4x）2=3X=6,

解得：x=2,

AB=5x=10,

故选：D.

9.D