填空压轴题-2023年广东中考数学复习分类汇编（原卷版+解析）

专题04填空压轴题

1.（2022•广东）扇形的半径为2,圆心角为90。，则该扇形的面积（结果保留为为—.

2.（2021•广东）在AABC中，ZABC^90°,AB=2,BC=3.点。为平面上一个动点，ZADB=45。,

则线段8长度的最小值为.—.

3.（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待

与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，NABC=90。，

点N分别在射线54,3c上，长度始终保持不变，MN=4,E为MN的中点，点。到BA,BC

的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为一.

4.（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所

示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长

度是—（结果用含“，6代数式表示）.

图1图2

5.（2018•广东）如图，已知等边△。4片，顶点4在双曲线y=X（尤＞0）上，点用的坐标为（2,0）.过用作

X

44//OA交双曲线于点4，过a作4坊//44交X轴于点斗，得到第二个等边△44与；过层作

82A//月4交双曲线于点A3,过&作A3B.//人与交x轴于点B3,得到第三个等边^星3耳；以此类推，…，

则点B6的坐标为.

6.（2022•东莞市一模）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为3c边上的任意一点，把APBE沿PE

折叠，得到APEE,连接CF.若AB=10,BC=12,则CF的最小值为.

ID"pV

7.（2022•东莞市校级一模）如图，动点M在边长为4的正方形ABCD内，且P是CD边上的

一个动点，E是边的中点，则线段PE+PM的最小值为.

8.（2022•东莞市一模）如图，正方形ABCE（中，AB=6,。是3c边的中点，点E是正方形内一动点，OE=1,

连接CE,将线段DE绕点。逆时针旋转90。得上，连接AE、CF.则线段O尸长的最小值为.

A__________________D

BOC

9.（2022•东莞市一模）在正方形ABCD中，点。、点G分别是瓦），防形的中点，DE=2AE,有下列

结论：

®AEOD=AFOB；②S^Fc=SgoE；③BE。=BOBD；④4sAs国=45As；其中正确的结论是.（填

写序号）

10.（2022•东莞市校级一模）如图，正方形ABCD的边长为1,点E是边3C上一动点（不与点5,C重

合），过点石作即_1隹交正方形外角的平分线CF于点尸，交CD于点G,连接AF.有下列结论：①

AE=EF②CFgBE；③NDAF=NCEF;④ACEF面积的最大值为L.其中正确的是（把正

确结论的序号都填上）

BE

11.（2022•东莞市一模）如图，在正方形A3CD中，AB=2,E为边AB上一点，尸为边3C上一点.连

接DE和AF交于点G,连接3G.若AE=BF,则3G的最小值为.

12.（2022•东莞市校级一模）如图，函数y=62+bx+c（a,b,c为常数，且a。0）经过点市1,0）、（m,0）,

且1<相<2,下列结论：

①abc<0；

®0<-—<-；

2a2

③若点A（—2,%）,8（2,必）在抛物线上，则/<%;

@ax2+bx+c=0,必有两个不相等的实数根.

其中结论正确的有.（填序号）

13.（2022•东莞市一模）如图，在扇形AOB中，NAOS=90。，点C为。4的中点，CELCM交弧回于点

E,以点。为圆心，OC的长为半径作弧CD交03于点。，若。4=4,则阴影部分的面积为.

14.（2022•东莞市一模）如图，在RtAABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,BC=2,AADC与AABC关

于AC对称，点E、尸分别是边DC、3c上的任意一点，且DE=CF,BE、止相交于点尸，则CP的

最小值为.

15.（2022•中山市一模）如图，在RtAABC中，AB=AC=1Q,ZBAC=9Q°,等腰直角AADE1绕点A旋转,

ZDAE=90°,AD=AE=4,连接DC,点/、P、N分别为DE、DC、3c的中点，连接MP、PN、

MN,则APMN面积的最小值是.

16.（2022•中山市二模）如图，菱形ABCD的对角线AC=3,NADC=120。，点E为对角线AC上的一动

点，则E4+£B+ED的最小值为.

17.（2022•中山市模拟）如图，矩形ABCO边AD=3,O。的半径为1,过边3c上的一点尸作射线尸。与

00相切于点Q,连接"，当NAPB=NQPC,AP+PQ=26时，则NQPC的最小值约为度

1Q

分.（参考数据：sinn°32'=—,tan36°52'=—

18.（2022•中山市一模）如图，在AABC中，ZABC=45°,AB=3,AD_L3C于点。，鹿_LAC于点E,

AE=1.连接DE,过点。作DbLDE交班;于点B，则DF长度为.

19.（2022•中山市校级一模）如图，正方形ABCD的边长为8,M是9的中点，P是3c边上的动点,

连接尸M,以点P为圆心，尸M长为半径作0P.当QP与正方形ABCD的边相切时，5尸的长为.

20.（2022•中山市三模）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD,连接AC,

探究tanNACD的值为.

21.（2022•中山市三模）如图，的半径为4,圆心M的坐标为（6,8）,点尸是。河上的任意一点,

PA±PB,且24、P8与x轴分别交于A、B两点,若点A、点3关于原点O对称，则AB的最小值为

22.（2022•珠海二模）如图所示，设G是AABC的重心，过G的直线分别交回，AC于点P,Q两点,

23.（2022•香洲区校级一模）如图，在AABC中，ZBAC=30°,ZACB=45°,AB=4,动点P在边至上,

连接CP将AACP沿直线CP翻折后得到△ACP，点4到直线AB距离的最大值是

24.（2022•香洲区校级一模）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,BC=4,4c=10,点。是AC上的一

个动点，以CD为直径作圆O,连接班＞交圆。于点E,则/1E的最小值为.

25.（2022•珠海一模）如图，直线/为丁=瓜，过点4（1，。）作44轴，与直线/交于点用，以原点。为

圆心，O与长为半径画圆弧交x轴于点4；再作4星，x轴，交直线/于点与，以原点。为圆心，。当长

为半径画圆弧交X轴于点&；……，按此作法进行下去，则点4的坐标为（—）.

26.（2022•香洲区校级一模）如图，在标有刻度的直线/上，从点A开始以AB=1为直径画半圆，记为第

一个半圆，以3c=2为直径画半圆，记为第二个半圆，以CD=4为直径画半圆，记为第三个半圆，以£）E=8

为直径画半圆，记为第四个半圆，…，按此规律继续画半圆，则第2022个半圆的面积为—（结果保留

71）.

27.（2022•香洲区校级一模）在RtAABC中，NABC=90。，AB=6,BC=4,点尸是AABC外一点，且

ZAPB^90°,则CP的最大值为

28.（2。22・香洲区一模）已知函数广；工：篇k8）的图象如图所示,若直线尸…与该图象有公

29.（2022•香洲区校级一模）如图，正方形ABCD中，AB=12,AE=工43,点p在3c上运动（不与3、

4

C重合），过点尸作尸。，石尸，交CD于点Q,则C。的最大值为.

30.（2022•香洲区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形Q4BC的边OC、Q4分另1J在x轴和

y轴上，04=10,点。是边AB上靠近点A的三等分点，将AQ4D沿直线OD折叠后得到△040,若反

比例函数＞=£依#0）的图象经过A，点，则％的值为—.

31.（2022•澄海区模拟）如图，在RtAABC中，NC=90。，点P在AC边上.将NA沿直线3P翻折，点A

7ArP

落在点A处，连接A2,交AC于点O.若APLAP,tanA=-,则——的值为

3BP

A

32.（2022•潮南区模拟）如图，在AABC中，AB=20,AC=16,BC=12,以边AB的中点。为圆心,

作半圆与AC相切，点P,。分别是边BC和半圆上的动点，连接P。，则PQ长的最小值是

C

33.（2022•潮南区模拟）如图，在矩形MCD中，AB=2,BC=3,E是矩形内部的一个动点，且,

则线段CE的最小值为.

34.（2022•龙湖区一模）如图，正方形ABCD的边长为2j5c%,动点E、F分别从点A、C同时出发，都

以0.5cm/s的速度分别沿AB、CD向终点3、。移动，当点E到达点3时，运动停止，过点3作直线EF

的垂线8G,垂足为点G,连接AG,则AG长的最小值为cm.

35.（2022•金平区一模）如图，ZACB=90°,AC=2,AB=4,点P为AB上一点，连接尸C,则尸C+

2

的最小值为—.

36.（2022•南海区一模）在平面直角坐标系中，已知点4（0,1）,2（0,-5）,若在x轴正半轴上有一点C,使

ZACB=30°,则点C的横坐标是.

37.（2022•佛山二模）如图，在AABC中，AB=CB=9,ZB=90°,点。是A4BC内一点，过点O分别作

边AS、3c的垂线，垂足分别为点。、E,5.OD2+OE2=36,连接。4、OC,则AAOC面积的最小值

为—,

38.（2022•禅城区校级一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.例：如图1,

四边形内接于OO,AB^AD.则四边形ABCD是等补四边形.

探究与运用：如图2,在等补四边形ABCD中，AB=AD,其外角NE4D的平分线交CD的延长线于点厂,

若CD=10,AF=5,则DF的长为-

39.（2022•南海区二模）如图，矩形。4BC的面积为40,它的对角线03与双曲线y=幺相交于点O,且

OD.DB=3:1,则一二

EA

40.（2022•禅城区二模）如图，点A在直线y=x上，ABLx轴于点3,点C在线段至上，以AC为边作

正方形ACDE,点。恰好在反比例函数丁=或（左为常数，左片0）第一象限的图象上，连接4）.若

41.（2022•顺德区一模）二次函数、=加-2ox+c（a＜0）的图象过A（-3，x）,2（-1,%），C（2,y3）,4（4,%）

四个点.（1）%=—（用关于。或c的代数式表示）；（2）若"•力＜。时，则为•%—0.（填＜”

或“=”）

42.(2022•三水区一模)如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-4,0),B(-2,-l),C(3,O),0(0,3),

当过点3的直线/将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，则直线/的函数表达式为—.

43.(2022•南海区校级一模)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5,BC=CDS.BC>AB,BD=8.给

出以下判断：

①AC垂直平分BD；

②四边形ABCD的面积S=ACND；

③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；

④将AABD沿直线对折，点A落在点E处，连接BE■并延长交CD于点歹，当斯_LCD时，四边形ABCD

的内切圆半径为乌.其中正确的是.(写出所有正确判断的序号)

7------

44.(2022•雷州市模拟)已知点尸(2,3)、2(6,1),点A(〃z,")为线段尸。上的一个动点.在点A从点。运动

至点P的过程中，当mn取最大值时，则点A的坐标为—.

45.(2022•湛江二模)如图，NAOB=30。，点/、N分别在边。4、OB.L,且OM=1,ON=3,点、P、

。分别在边OB、上，则A1P+PQ+QN的最小值是.

46.(2022•徐闻县模拟)如图，在RtAABC中，NC=90。，分别以钻、BC、AC边为直径作半圆，图中

阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当AB=8,3C=4时，则阴影部分的面积为一.

47.(2022•开平市模拟)如图，E,b是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足=连接CF交

BD于点G,连接班交AG于点若正方形的边长为4,则线段D"长度的最小值是,

48.（2022•新会区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A、5在函数、='（左＞0,无＞0）的图象上，过点A

X

作X轴的垂线，与函数y=-一（左＞0,x＞0）的图象交于点C,连结3c交尤轴于点。，若点A的横坐标为1,

尤

且BC=3BD,则点3的横坐标是.

49.（2022•蓬江区校级二模）大家都知道，八点五十五可以说成九点差五分，有时这样表达更清楚.这启

发人们设计了一种新的加减记数法：

比如:9写成1T,11=10-1；

198写成203202=200-2；

7683写成12323,12323=10000-2320+3.

总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算5231-3/1=—.

50.（2022•蓬江区校级二模）如图，AABC和AADE1都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90）°,

AB=AC=4,。为AC中点，若点。在直线3c上运动，连接OE,则在点。运动过程中，线段OE的最

小值是—.

■E

BD

专题04填空压轴题

1.（2022•广东）扇形的半径为2,圆心角为90。，则该扇形的面积（结果保留万）为

【答案】兀

故答案为：71.

2.（2021•广东）在AABC中，ZABC=9Q°,AB=2,3C=3.点。为平面上一个动点，

ZADB=45°,则线段CD长度的最小值为.

【答案】后-夜

【详解】如图所示.

-,■ZADJB=45°,AB=2,作AABD的外接圆O（因求CD最小值，故圆心O在AB的右侧）,

连接OC,

当。、D、C三点共线时，CD的值最小.

•.•ZAD3=45。，

:.ZAOB=90°,

.•.AAOB为等腰直角三角形，

AO=BO=sin45°xAB=42.

:NOBA=45。,ZABC=90°,

NOBE=45。,作OE_L3c于点E,

」.AOBE为等腰直角三角形.

OE=BE=sin45°OB=1,

:.CE=BC-BE=3-1=2,

在RtAOEC中，

oc=-JOE2+CE2=^/T+4=6.

当（9、D、C三点共线时，

CD最小为CD=OC-OD=sB-血.

故答案为：A/5-5/2.

D

3.（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中

间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内

的线或点，模型如图，NABC=90。，点N分别在射线54,上，长度始终保

持不变，MN=4,E为MN的中点，点。到54,3c的距离分别为4和2.在此滑动过

程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为一.

C

【答案】2如-2

【详解】如图，连接BE,BD.

由题意BD=722+42=2加,

ZMBN=90°,MN=4,EM=NE,

:.BE=-MN=2,

2

.•.点E的运动轨迹是以3为圆心，2为半径的弧，

当点E落在线段上时，DE的值最小，

.一.。日的最小值为2如-2.（也可以用。£..3。-3£,即DE..2逐-2确定最小值）

故答案为2#-2.

4.（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示,

小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图

形（图1）拼出来的图形的总长度是—（结果用含.，6代数式表示）.

……

1

I—0―I-------------------总长--------------------1

图1图2

【答案】a+8b

【详解】方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度=5a+4［。-2（°-力］=。+86

故答案为：a+8b.

方法2、•.•小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形

，口朝上的有5个，口朝下的有四个，

而口朝上的有5个，长度之和是5a,口朝下的有四个，长度为4[6-(a-6)]=86-4。,

即：总长度为5o+86-4a=a+86,

故答案为a+8%.

J3

5.(2018•广东)如图，已知等边△。41瓦，顶点A在双曲线>=^(x>0)上，点用的坐标

x

为(2,0).过用作44//OA交双曲线于点4，过4作4生//4与交x轴于点打，得到第

二个等边△瓦人生；过当作打人//44交双曲线于点A，过&作AB3//4B2交x轴于点

OC=OB{+B1C=2+a,A,（2+a,#>a）.

•.•点4在双曲线>=*（x>0）上，

X

（2+a）♦也a=A/3,

解得a=^/^'-1,或。=-1（舍去），

:.OB[=OB\+2B\C=2+2叵-2=2应,

点纥的坐标为（20,0）；

作轴于点D,设B?D=b,则4。=折，

OD=OB2+B2D=2-^2+b,4（20+6,病）.

J3

・・•点4在双曲线y=?（x〉o）上，

X

:.Q垃+b）.出b=^,

解得b=—y/2+A/3，或/?=——y/3（舍去），

OB3=OB2+2B2D=2V2-2V2+2A/3=2A/3,

点名的坐标为（2百，0）；

同理可得点凡的坐标为（2J?,0）即（4,0）；

以此类推…，

，点4的坐标为（2册，0）,

点线的坐标为（2面，0）.

故答案为（2n，0）.

6.（2022•东莞市一模）如图，在矩形ABCD中，E为他的中点，P为BC边上的任意一

点，把APBE1沿PE折叠，得到APFE,连接CF.若AB=10,BC=12,则CF的最小值

【详解】如图所示，点尸在以E为圆心E4为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时,

此时CF的值最小，

根据折叠的性质，AEBP^AEFP,

:.EF±PF,EB=EF,

・.・E是至边的中点，AB=W,

：.AE=EF=5,

AD^BC=12,

:.CE=^BE2+BC2=A/52+122=13,

:.CF=CE-EF=13-5=8.

故答案为：8.

7.（2022•东莞市校级一模）如图，动点M在边长为4的正方形ABCD内，且

P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为.

【答案】2A/10-2

【详解】作点E关于DC的对称点£,设的中点为点O,连接OE',交DC于点尸,

连接PE,如图：

•.•动点M在边长为4的正方形ABC。内，且

.•.点M在以AB为直径的圆上，OM=^AB=2,

2

正方形ABCD的边长为4,

：.AD^AB=2,ZDAB=90°,

•••E是AD的中点，

DE=—AD=—x4=2,

22

•.•点E与点E关于DC对称，

:.DE'=DE=2,PE=PE',

:.AE'=AD+DE'=4+2=6,

在RtAAOE,中，OE'=VAE,2+OA2=^62+22=2回,

线段PE+PM的最小值为：PE+PM=PE'+PM=ME'=OE'-OM=2M-2.

故答案为2&U-2.

8.（2022•东莞市一模）如图，正方形ABCD中，AB=6,。是3c边的中点，点E是正方

形内一动点，OE=2,连接DE,将线段DE绕点。逆时针旋转90。得DR,连接AE、CF.则

线段O尸长的最小值为

【答案】3M-2

【详解】如图，连接。O,将线段OO绕点。逆时针旋转90。得。连接Ob，FM,OM,

・・・ZEDF=ZODM=90°,

.\ZEDO=ZFDMf

在AEZX?与中，

DE=DF

<ZEDO=ZFDM,

DO=DM

:.AEDO=AFDM(SAS)f

:.FM=OE=2,

・・•正方形ABCD中，AB=6,O是5。边的中点,

/.OC=3,

:.OD=yj0C2+CD2=79+36=36,

OM=y]DO2+DM2=,45+45=3A/10,

■.■OF+MF..OM,

.­.OF..3A/W-2,

线段OF长的最小值为3加-2,

故答案为：3M—2.

9.（2022•东莞市一模）在正方形ABCD中，点。、点G分别是斯形的中点,

DE=2AE,有下列结论:

1

①AEOD三AFOB；@5^=5^；©BE=BOBD；④4sAs叱=45As0G；其中正确的结

论是—.（填写序号）

【答案】①②

【详解】①•.•四边形ABCD是正方形，

:.AD//BC,

:.ZEDO=ZFBO.

又ZEOD=/FOB,OB=OD,

AEOD=\FOB（ASA）.

故①正确，符合题意.

②如图，过点O作0H_L3C交于点〃，

,点（9是皮）中点，

:.OH=-AB.

2

由①可知AE0D=AFOB,

:.DE=BF,

:.AE^CF,

:.CF^-BF.

2

••,SAEFC=^ABCF=^-2OHCF=OHCF,

5AB°F=^BFOH=^-2CFOH=OHCF.

•・S郎FC~SABOF'

故②正确，符合题意.

③设AE=a,则DE=2a,AB=3a,

根据勾股定理可得BE2=AB2+AE2=10a2,BD=7AB2+AD2=3垃a,

则BO-BD=K^-3&a=9a2,

2

BE2^BOBD,

故③错误，不符合题意.

④之刃=；AB•DESg=；OHBG,

.-.SABDE^SABOG,

丰

••45ABzJE4sAsg,

故④错误，不符合题意.

故答案为：①②.

10.（2022•东莞市校级一模）如图，正方形ABCD的边长为1,点E是边3c上一动点（不

与点5,。重合），过点石作交正方形外角的平分线CF于点尸，交CD于点G,

连接AF.有下列结论：®AE=EF；®CF=42BE；®ZDAF=ZCEF；④ACEF面积

（把正确结论的序号都填上）

【答案】①②

【详解】在A5上取点〃，使AH=£C,连接EH,

・・・ZHAE+ZAEB=90°,Z.CEF+ZAEB=9G0,

:.ZHAE=ZCEF,

又・・・AH=CE,

:.BH=BE,

ZAHE=135°,

・.・CF是正方形外角的平分线，

.,.ZECF=135。，

:.ZAHE=ZECF,

在AA//E和AECF中，

NHAE=ZCEF

<AH=EC,

NAHE=NECF

:.\AHE=\ECF{ASA),

:.AE=EF,EH=CF,故①正确；

:.EH=^2BE,

:.CF=42BE,故②正确；

vZAHE=135°,

.•.NHAE+NAEH=45。,

又,；AE=EF,

.\ZEAF=45°,

ZHAE-}-ZDAF=45°,

:.ZAEH=ZDAFf

\ZAEH=ZEFC,

:.ZDAF=ZEFC,

而NFEC不一定等于ZEFC,

.•.ND4F不一定等于NFEC,故③错误；

\-MHE=AECF,

,,SbAHE~SMEF，

设AH=x,贝1J5MH后=gx・（l-x）=一（/,

当X=!时，5AA班取最大值为工，

28

.•.△CEF面积的最大值为工，故④错误，

8

故答案为①②.

11.（2022•东莞市一模）如图，在正方形ABCD中，AB=2,E为边的上一点，F为边BC

上一点.连接DE和AF交于点G,连接BG.若AE=BF,则3G的最小值为.

【答案】75-1

【详解】如图，取AD的中点T,连接3T,GT,

・.♦四边形ABCD是正方形，

：.AD=AB=2,ZDAE=ZABF=90。，

在AIM石和AAB厂中，

DA=AB

</DAE=ZABF,

AE=BF

:.ADAE=AABF(SAS)f

:.ZADE=ZBAF,

・・・Z^AF+ZZMF=90。，

/.ZEZM+ZZKF=90°,

:.ZAGD=90°,

\DT=AT,

GT=-AD=1,BT=ylAT2+AB2=^l2+22=^,

2

:.BG..BT-GT,

BG..>J5—1,

.•.3G的最小值为6-1.

故答案为：51.

12.（2022•东莞市校级一模）如图，函数y=62+笈+或〃，5，c为常数，且QWO）经过

点（一1,0）、（m,0）,_&l<m<2,下列结论：

①abc<0；

®0<-—<-；

2a2

③若点A（-2,%）,3（2,%）在抛物线上，则“<%;

@ax2+bx+c=O,必有两个不相等的实数根.

其中结论正确的有—.（填序号）

【答案】②④

【详解】•.•抛物线的开口方向向上,

:.a>0,

♦.•抛物线的对称轴在y轴的右侧，

/.--—>0,

2a

:.b<G,

•.,抛物线与y轴交于负半轴，

「.cvO,

:.abc>Q.

.•.①的结论不正确；

•.•函数y=/+far+c(a,b,c为常数,且〃w0)经过点(一1,0)、(m,0),

抛物线的对称轴为直线X=士'，

2

•.,抛物线的对称轴为直线尤=-2,

2a

八b1

/.0<-----<—.

2a2

.•.②的结论正确；

•.•点A(-2，K),8(2,%)在抛物线上，

A(-2,%)到抛物线的对称轴的距离大于2(2,%)到抛物线的对称轴的距离，

；・%>%，

，③的结论不正确；

,抛物线>=办2+6x+c与无轴有两个交点，

，方程/+/«+。=(),必有两个不相等的实数根，

.•.④的结论正确，

结论正确的有：②④，

故答案为：②④.

13.(2022•东莞市一模)如图，在扇形AQB中，NA06=90。，点C为。4的中点，CE±OA

交弧AB于点E,以点。为圆心，OC的长为半径作弧CD交QB于点D,若。4=4,则

阴影部分的面积为.

【答案】。+26

3

【详解】连接OE、AE,

/点。为。4的中点，

.-.ZCEO=30°,ZEOC=60°,

「.AAEO为等边三角形，

._60TTX42_8

一扇形AOL360一『

•*,S阴影—S扇形AO8-S扇形co。一(S扇形AOE—^COE

907rx42907rx2?

360360

=37r——+2^/^

3

=—7T+2^3.

3

14.（2022•东莞市一模）如图，在RtAABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,BC=2,AADC

与AABC关于AC对称，点石、尸分别是边DC、5C上的任意一点，且。E=CF,BE、

DF相交于点P,则CP的最小值为.

【答案】竿

【详解】如图1,连接班＞,

RtAABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,BC=2,

，加述，*=迪

33

・・・AAZ)C与AABC关于AC对称，

:,BC=DC,ZACD=ZACB=30°,

.\ZBCD=60°,

ABDC是等边三角形，

:.BD=CD,ZBDC=ZBCD=60。,

・.・DE=CF,

・•.ABDE二ADCF(SAS),

:.ZBED=ZDFC,

・・・ZBED+ZPEC=180。，

/.ZPEC+ZDFC=180°,

ZDCF+ZEPF=ZDCF+ZBPD=180°,

•/ZDCF=60°,

.-.ZBPD=120°,

由于点F在运动中保持ZBPD=120°,

如图2,.•.点P的运动路径为：以A为圆心，AB为半径的120。的弧,

连接AC与圆弧的交点即为点此时CP的长度最小，

:.CP=AC-AP=处一巫=空,

333

则线段CP的最小值为空；

3

故答案为：巫.

3

15.（2022•中山市一模）如图，在RtAABC中，AB=AC=10,4AC=90。，等腰直角AADE

绕点A旋转，ZDAE=90°,AD=AE=4,连接DC,点〃、P、N分别为DE、DC、BC

的中点，连接八仍、PN、MN,则APAW面积的最小值是

E

【答案】-

2

【详解】vAABC,AADE是等腰直角三角形，

:.AD=AE,AB=AC,ZBAC=ZDAE=90°,

.\ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即44D=NC4E,

在AAZM和AAEC中，

AB=AC

<ABAD=/CAE,

AD=AE

:.\ADB=\AEC{SAS）,

:.DB=EC,ZABD=ZACE,

vM,N,尸分别是DE,DC,的中点，

:.MP//EC,MP=-EC,NP=-DB,NPUBD,

22

,\MP=NP,ZDPM=/DCE,ZPNC=ZDBC,

设NACE=x。，ZACD=y0,

.\ZABD=x°,NDBC=45。—x。=NPNC,ZDCB=45°-y°f

...ZDPM=x0+y°,ZDPN=ZDCB+/PNC=90°-x°-j°,

:.NMPN=90°且PN=PM,

/."MN是等腰直角三角形，

.­.S^=\PN2={BD2,

Zo

当班）最小时，APMN的面积最小，

•.•点D在线段AB上时，BD最小，最小值为10-4=6,

1Q

/.APMN的面积最小值为-x62=?,

82

故答案为：

2

16.（2022•中山市二模）如图，菱形ABCD的对角线AC=3,NADC=120。，点E为对角

线AC上的一动点，则上4+£8+即的最小值为

【答案】3

【详解】以点A为旋转中心，将AAED旋转60。到△M'D,连接EE',作37/_LZX4于H.

则DE'=DE,OA=DA,AE=AE',

.•.AME'为等边三角形，

:.AE=EE',

:.EA+EB+ED=EE'+EB+E'D'..BD',

即EA+EB+ED的最小值为BD'.

ZADC=120°,四边形ABCD为菱形，

ZDAB=60°,ZDAC=30°,

ZD'AE'=30°,

.•."'=30°,

ADAC=90°,

:.ZHAB=6O°,

■.■AC=3,

AD=AC=A/3=AB=BC,

.-.AH=-AB=-j3,

22

:.HB=43AH-s/3xy/3=-,

22

3

:.BD'=2HB=2x-=3,

2

即EA+EB+ED的最小值为3.

17.（2022•中山市模拟）如图，矩形ABCD边A£>=3,的半径为1,过边3c上的一点

尸作射线PQ与。。相切于点Q,连接AP,当ZAPB=ZQPC,AP+PQ=246时,则NQPC

的最小值约为一度

13

分.（参考数据：sinll°32'=—,tan36°52'=-）

【答案】41,36

【详解】如图，设PQ与71D交于

延长和交于点N,连接DN、DQ,

・・・射线PQ与。。相切于点Q，

:.DQINQ,DQ=T,

・；ZAPB=NQPC,ZQPC=ZBPN,

:.ZAPB=ZBPN,

\-BP±AN,

:.AP=PN,

:.NQ=AP+PQ=2y/6,

由勾股定理得：DN=g府=5,AN=^52-32=4,

An3

在RtAAND中，tanZA7VD=—=-,

AN4

3

,.・tan36°52'=—,

4

r

ZAND=36°52f

在RtANQD中，sinZDNQ=箓=(,

vsinll°32r=-,

5

ZDNQ=llo32f,

/.ZBNP=36°5Z-ll°32r=25°20r,

/.ZQPC=ZBPN=90°-25。20'=64°40r.

如图2,如图，设PQ与人。交于M,

延长MP和AB交于点N,连接DN、DQ,

•・・射线PQ与OD相切于点Q,

:.DQINQ,DQ=1,

•.・ZAPB=NQPC,ZQPC=ZBPN,

:.ZAPB=ZBPN,

\-BP±AN.

:.AP=PN,

:.NQ=AP+PQ=2^/6,

由勾股定理得：DN=Q(2府=5,AN=^52-32=4,

ATJQ

在RtAAND中，tanNAM)=——二—,

AN4

3

•・•tan36°52'=—,

4

...ZA7VD=36052',

在RtANQD中，sinNDNQ=^=g,

•/sinll°32r=-,

5

:.ZDNQ=ir3T,

ZBNP=36。52'+ll°32r=48。24、

z.ZQPC=ZBPN=90°-48。24'=41°36r.

18.（2022•中山市一模）如图，在AABC中，NABC=45。，45=3,AD_L5C于点。，

AC于点石，AE=1.连接DE,过点。作。方，交5石于点尸，则上长度为

【答案】2一交

2

【详解】\AD^BC,

,\ZABD=90°,

・.Z/WC=45。,

:.ZABD=ZBAD,

AD=BD,

•,又DELDF,

.\ZFDE=90°,

:.ZBDF=ZADE,

又・・・5£_LAC,

.\ZEBC+ZC=90°,

vZC+ZZMC=90°,

.\ZEBC=ZDAC，

在ABED和中，

ZBDF=/ADE

<BD=AD9

ZFBD=ZDAE

:.ABFD=AAED(ASA),

:.DE=DF,BF=AE=1,

・・・AB=3,

BE=>jAB2-AE2==2A/2,

:.EF=BE-BF=2y/2-l,

:.DF=—EF=—(2^2-V)=2-—

222

故答案为：2一彳

19.（2022•中山市校级一模）如图，正方形ABCD的边长为8,M是他的中点，P是BC

边上的动点，连接以点P为圆心，长为半径作QP.当O尸与正方形ABCD的边

相切时，3尸的长为.

【答案】3或4拓

【详解】如图1中，当。尸与直线CD相切时，设PC=PM=x.

在RtAPBM中，PM2=BM2+PB2,

：.X2=4?+(8—尤了，

.\x=59

:.PC=5,BP=BC-PC=8-5=3.

如图2中当。尸与直线4）相切时.设切点为K,连接PK,则尸KLAD,四边形PKDC是

矩形.

:.PM=PK=CD=2BM,

:.BM=4,PM=8,

在RtAPBM中，PB=jG-4。=4』.

综上所述，BP的长为3或4班.

20.（2022•中山市三模）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD,

连接AC,探究tanNACD的值为.

【答案】73+1

【详解】过点A作AHLCB,交CB的延长线于点

•.•ZABD=90°,NDBC=45。,

ZABH=180°-ZABD-ZDBC=45°,

-.•ZAHB=90°,

.〔AAHB是等腰直角三角形，

:.设AH=BH=a,则AB=0AH=0a,

在RtAABD中，ZZMB=60°,

DB=\/3AB=y/6a,

在RtADBC中，ZDBC=45°,

BC=BD-cos45°=痘•正=吗，

2

:.CH=BH+BC=a+j3a,

在RtACAH中，tan/C4H=^="岛=1+退,

AHa

ZAHB=ZBCD=90°,

ZAHB+ZBCD=180°,

:.AH//DC,

:.ZACD=ZCAH,

tanZACD=tanACAH=也+1,

故答案为：A/3+1.

21.(2022•中山市三模)如图，O"的半径为4,圆心”的坐标为(6,8),点P是QVf上

的任意一点，PALPB,且24、形与龙轴分别交于A、B两点,若点A、点3关于原点

O对称，则AB的最小值为.

【详解】连接OP,

-.■PA±PB,

:.ZAPB=90°,

AO=BO,

:.AB=2PO,

若要使AB取得最小值，则尸。需取得最小值，

连接OM,交于点P,当点P位于P位置时，OP取得最小值,

过点M作MQ_Lx轴于点Q,

则OQ=6,MQ=8,

:.OM=10,

又；MP=4,

.-.OP=6,

.\AB=2OP=12,

故答案是：12.

22.（2022•珠海二模）如图所示，设G是AABC的重心，过G的直线分别交AB,AC于点

P,。两点，则堂+耍=

PAQA------

【详解】过点5、C忤BEIIAD,CF//AD,交直线尸。于点石、F,

.•.四边形班FC是梯形，

・.・G是AABC的重心，

「.AG=2OG,点。是5C的中点，

:.BE+CF=2DG,

.BE//GD,

.PB_BE

"PA-AG?

•.GDIICF,

.QCCF

'~QA~~AG'

.PB]QCBE]CFBE+CF2DG、

"PAQA~AGAG~AG~GA~'

故答案为：1.

23.（2022•香洲区校级一模）如图，在AABC中，44C=30。，ZACB=45°,AB=4,

动点P在边AB上，连接CP将AACP沿直线CP翻折后得到△ACP,点A到直线AB距离

的最大值是.

【答案】1+6

【详解】如图，过点3作出/_LAC于H,

在R