2023年中考数学一模试题分项汇编：一次函数与反比例函数

专题03一次函数与反比例函数

一、单选题

1.（2023•浙江宁波•统考一模）如图，一次函数>=办+6与反比例函数>=%左>0）的图象交于点力。，2）,

5（"?，-1）.则关于x的不等式ax+b>勺的解集是（）

X

A.xV—2或0cx<1B.%<-1或0<x<2

C.一2<%<0或次〉1D.一l<x<0或x>2

【答案】C

【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点5的坐标，然后直接利用图象法求解即可.

【详解】解：在反比例函数图象上,

左=1*2=2,

2

・・・反比例函数解析式为V=—,

V3（加,-1）在反比例函数图象上，

.2

,.m=—=—2,

-1

B（-2,-1）,

k

由题意得关于％的不等式如+6〉£的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围,

X

k

关于x的不等式ax-\-b>—的解集为—2<x<0或x〉l,

x

故选C.

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点8的坐标是解题的关键.

2.（2023•浙江台州・统考一模）若反比例函数>=三发片0）的图象经过点（2,后-〃2一2）,则左的取值范围为（

A.k<-2B.k<-4C.k>2D.k>4

【答案】D

【分析】将点（2,"/-2）代入y=：（左HO）,求出左的值，再根据犷川，即可求出发的取值范围.

【详解】反比例函数y=%左R0）的图象经过点（2,左-〃2一2）,

2（k-n2-2）=k

:.k=2〃~+4

•1-2nl>0

:.k>4

故选D.

【点睛】本题考查了反比例函数，熟知将点坐标代入解析式左右相等是解题的关键.

1

3.（2023•统考一模）反比例函数^二"1■图象上有三个点（外,乙），（x2,y2）,（x3,j^3）,其中王</。%,

则%，力，%的大小关系是（）

A.%<%<%B.%<乂<%C.%<乂<%D.%<%<必

【答案】B

【分析】根据反比例函数的性质当后>0时，在每一象限内y随x的增大而减小即可求得.

12

【详解】解：y=—,反比例函数图像位于第一、三象限，在每个象限内，y随着X的增大而减小，

*.*玉<<0，

%<必<0，

X3>0,

%>0,

%<%<%.

故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，根据左>0或后<0判断反比例函数的增减性是解题的关键.

4.（2023•浙江温州•模拟预测）一次函数〉=丘+6（左。0）的图象与反比例函数》=—（冽。0）的图象交

x

于/（-I,2）,8（2,〃）两点，则当丘时，x的取值的范围是（）

x

A.0<x<2或x<—lB.x>2或x<-l

C.一l<x<2或x>2D.一l<x<0或0<x<2

【答案】A

【分析】根据点A和点8的坐标，可求出加的值，画出函数图象.结合函数图象特征，即可得知当0<xV2

m

或xV-l时，kx+b>一，由此得出结论.

【详解】解：根据题意可画出函数图象，如下所示：

由图象可知，当0Vx<2或xV-l时，kx+b>—.

x

故选：A.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的图象，一次函数和反比例函数的交点问题的应用，数形结合是解

题的关键.

5.（2023•浙江温州•统考一模）已知乂=a（x+l『+《，y2=k2x+b,%三个函数图象都经过W（l,3）,

3

N（3,l）两点，当x=Q时，对应的函数值%，%，力，下列选项正确的是（）

A.%<为<%B.y3<y2<c.^<y2<y3D.%<%<%

【答案】B

3

【分析】分别计算得出三个函数的解析式，再求得、时，对应的函数值，比较即可得解.

【详解】解：将”（1，3）,N（3,l）两点代入必=a（x+iy+《，求得a=J,勺=日，

,1/11

.・%=一2（％+1）+7；

63

将河（1,3）,N（3,l）两点代入%=&x+6,求得质=-1,b=4,

y2=—x+4,

将M（l,3）,代入％=勺，求得质=3,

.3

为

x

2

.635、

——>->2,

242

%<%<必，

故选：B.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，求函数的值，准确计算是解题的关键.

6.（2023•浙江杭州•杭州育才中学校考一模）己知甲、乙两地相距30千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地,

则汽车行驶速度v（单位：千米/时）关于行驶时间单位：时）的函数图像为（）

v（千米/时）怔（千米/时）怔（千米/时）好（千米/时）

O\1/（时）1/（时）0\1〃时）O\1而）

【答案】D

【分析】直接根据题意得出函数关系式，进而得出函数图象.

30

【详解】解：由题意可得：v=—,

t

汽车行驶速度V是关于行驶时间/反比例函数，

:当/=1时，v=30,

二选项D符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键.

k

7.（2023•浙江宁波•校考一模）如图所示，满足函数〉=左z卜-1）和〉="4片0）的大致图象是（）

A.①②B.②③C.②④D.①④

【答案】B

【分析】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出发的符号，然后再根据左符号、一次函数的性质判断出

一次函数所在的象限，二者一致的即为正确答案.

【详解】解：一次函数>=4（x-1）=kx-k.

•反比例函数的图象经过第二、四象限，

：.k<0；

...一次函数了=依-/位于第一、二、四象限；

故图①错误，图②正确；

•反比例函数的图象经过第一、三象限，

.*">0；

・二—左〈0,

...一次函数了=依-左位于第一、三、四象限；

故图③正确，图④错误，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题.

8.（2023•浙江杭州•统考一模）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据

如下表.根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（）

近视眼镜的度数J（度）2002504005001000

镜片焦距X（米）0.500.400.250.200.10

x

D.y=-----

400

【答案】A

【分析】直接利用已知数据可得孙=100,进而得出答案.

【详解】解：由表格中数据可得：孙=100,

故y关于x的函数表达式为：y=~.

X

故选A.

【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键.

9.（2023•浙江温州•统考一模）在平面直角坐标系中，有四个点/（2,5）,8（1,3）,C（3,l）,。（-2,-3）,其

中不在同一个一次函数图象上的是（）

A.点AB.点3C.点CD.点。

【答案】C

【分析】在平面直角坐标系中描出各点，再根据一次函数图象是直线，即可进行解答.

【详解】解：如图，在平面直角坐标系中描出各点，

由图可知：点。和点/、8、。不在同一个一次函数图象上.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象是直线.

10.（2023•浙江温州•校联考模拟预测）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用

的时间，（分）之间的函数关系如图所示.根据图中信息，下列说法正确的是（）

S（千米）

甲

土2/

Z

乙

Z\

2./8

L

L

.26

.

8

.O410203040“分）

A.前10分钟，甲比乙的速度快

B.甲的平均速度为0.06千米/分钟

C.经过30分钟，甲比乙走过的路程少

D.经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米

【答案】D

【分析】结合函数关系图逐项判断即可.

【详解】解：A项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故本选项不符合题

~?r.

思；

B项，甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2+40=0.08千米/分钟，故本选项不符合题意；

C项，经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故本选项不符合题意；

D项，前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，，故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了一次函数的图象及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键.

II.（2023•浙江金华•校考一模）当6<0时，一次函数y=x+b的图象大致是（）

【答案】B

【分析】根据左=1>0可得图象的斜率，根据6<0可得直线与y轴的交点在x轴的下方，进行判断即可.

【详解】解：=

随x的增大而增大，

又：6<0,

...函数图象与y轴交于负半轴，

一次函数的图像经过一，三，四象限，故B正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查一次函数的图象性质，当/=h+6（h6为常数，k丰0）时：

当左>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二,三象限；

当左>0,。<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限；

当上<0,6>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限；

当上<0,b<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限.

12.（2023•浙江舟山•统考一模）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数〉=履+6（晨b

为常数，且左<0）的图象与直线y=gx都经过点N（3,1）,当时，X的取值范围是（）

【答案】A

【分析】根据不等式依+6<；x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围求解即

可

【详解】解：由函数图象可知不等式依的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的

取值范围，

二当质时，x的取值范围是x>3,

故选A.

【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键.

13.（2023•浙江金华•校考一模）函数y="7中自变量x的取值范围是（）

A.x>4B.x<4C.x>4D.x<4

【答案】D

【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以4xK）,可求x的范围.

【详解】解：4x>0,

解得x<4,

故选：D.

【点睛】此题考查函数自变量的取值，解题关键在于掌握当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数.

14.（2023•浙江温州•一模）在平面直角坐标系中，已知点4（小一1,〃），5（m2,n-1）,下列y关于x的函

数中，函数图象可能同时经过45两点的是（）

A.y=3x+cB.y=w0)

C.y—2x2+4x+cD.y-(x>0)

x

【答案】B

【分析】根据一次函数的性质，反比例函数以及二次函数的性质判断即可.

【详解】m2

二函数y随x的增大而减小，

A、y=3x+c中，y随x的增大而增大，故A不可能；

B、y=a(x-D中，a<Q,y随x的增大而减小，故B有可能；

4

—

C、>=2工2+4%+。中，开口向上，对称轴为直线x=--------—1J

2x2

・••当xV-1时，y随工的增大而减小，当x>-1时，y随x的增大而增大，而苏20，故C不可能；

D、y=-dl(x>0)中，-(r+l)<0,函数图象在第四象限，y随X的增大而增大，故D不可能，

X

故选B.

【点睛】本题考查一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数，熟练掌握它们的性质是解题的关键.

15.(2023•浙江杭州•模拟预测)已知在平面直角坐标系xQy中，过点。的直线交反比例函数片，的图象于

X

A,5两点(点/在第一象限)，过点/作轴于点C,连结BC并延长，交反比例函数图象于点。，

连结将△4C2沿线段/C所在的直线翻折，得到ANCB-/4与CD交于点E.若点。的横坐标为2,

V2

D.1

2

【分析】求出直线8C,工4的解析式，联立两个解析式，求出£点坐标，利用两点间距离公式，进行求解

即可.

【详解】解：设点/的坐标为1根,5］则点8的坐标为1

-m,-----

m

,//C_Lx轴,

/.C(m,O),

设直线5C的解析式为歹=履+6,

,(1)/八、，，-km+Z?—-----

把--加,-蔡bc(m,O)代入，得jm,

mk+b=0

解得：，

b=——

、2m

.x1

••y=—z--------,

2m2m

:点。的横坐标为2,

：.D

把点。上代入＞=白■一J得：Wj=l,m2=-2（舍），

VZ）2m2m

.-,^（1,1）,5（-1,-1）C（1,O）,直线3C的解析式为：j=

:将△工（力沿线段NC所在的直线翻折，得到A/C耳,

，点耳的坐标为（3,-1）,

设直线AB】的解析式为y=ax+nf

a+n=l

把4（3,-1）代入可得:

3a+n=一1'

a=-1

解得:

n=2

y——x+2,

5

y=-x+2x=—

3

联立11,解得：，

y=—x——1

22y=-

3

5£

：.E

393

2V2

故选：B.

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合应用，坐标系下的旋转.熟练掌握旋转的性质，正确的求出

一次函数的解析式，是解题的关键.

16.（2023•浙江湖州.统考一模）甲，乙两人同时从相距90千米的A地前往3地，甲乘汽车，乙骑电动车，

甲到达3地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离了（千米）与经过时间X（小时）之间的函

数关系图象.当甲与乙相遇时距离A地（）

A.16千米B.18千米C.72千米D.74千米

【答案】C

【分析】由题意可得：。（1.5,90）,（2.25,90）,G（3,0）,设ON为y=kx,设。G为了=小+〃，再分别求

解两个一次函数解析式，再联立两个解析式解方程组即可.

【详解】解：由题意可得：Q（L5,90）,N（2.25,90）,G（3,0）,

设ON为y=Ax,则2.25左二90,

解得：左二40,

ON为y=40x,

设0G为y=妙+〃,

[1.5m+n=90,[m=-60

「人八，解得：\,

\3m+n=0[〃=180

0G为y=-60x+180,

（y=40x[x=1.8

-A。口a。,解得：7"

[y=-60x+180[y=72

所以甲与乙相遇时距离A地72千米.

故选：C.

【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，利用一次函数的解析式解决行程问题是解本题的

关键.

17.（2023•浙江宁波・统考一模）如图，直线了=斤俨+6与双曲线^=匕交于N、8两点，其横坐标分别为1

C.-5<x<-l或x>0D.x<l或x>5

【答案】C

【分析】根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，相当于把直线向下平移26个单位，然后根据函数的对

称性可得交点坐标与原直线的交点坐标关于原点对称，再找出直线在双曲线下方的自变量x的取值范围即可.

【详解】解：解:由匕x<&+6,得，Kx-b<h,

XX

所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移2b个单位得到，

直线向下平移2b个单位的图象如图所示，交点/的横坐标为-1,交点"的横坐标为-5,

当或x>0时，双曲线图象在直线图象上方，

所以，不等式左x〈与+6的解是：或x>0.

X

故选C

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据不等式与函数解析式得出不等式的解集

与双曲线和向下平移2b个单位的直线的交点有关是解题的关键.

18.（2023•浙江宁波•统考一模）如图，一次函数必=x-l的图象与反比例函数为=人的图象交于点4（2必）,

3（%-2）,当%>为时，x的取值范围是（）

A.%<—1或x>2B.%<—1或0cx<2C.一l<x<0或0<x<2D.一l<x<0或x〉2

【答案】D

【分析】先把3（%-2）代入弘=x-l,求出〃值，再根据图象直接求解即可.

【详解】解：把3（”,-2）代入必=x-l,得

-2=n-1,解得：〃=—1,

・・•图象交于4（2,加）、8（-1,-2）两点,

，当%>夕2时，-1（尤<0或x>2.

故选：D.

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握利用图象法求自变量的取值范围是解题的关

键.

19.（2023•浙江温州•统考一模）如图，点A,8在x轴的正半轴上，以48为边向上作矩形48CD,过点。

的反比例函数>=勺的图象经过8C的中点£.若ACDE的面积为1,则上的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据题意设点E坐标为勺，则竺］,根据ACDE的面积为1,,得到：CDCE=:微方=1,

kyaJ222a

解得人=4.

【详解】解：：四边形/BCD是矩形，£为8C的中点，

：.4D=BC,ZC=90°,

设4凡勺，则c"竺］,CE^yc-yE^-,

<aJ<aJa

.2k._k_a

••>c=%=——，贝nt叱「;），

ayD

CD—xc—xD——,

：ACDE的面积为1,即：-CDCE^

222a

二・左二4,

故选：D

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据题意设点E坐标为然

后表示其他点坐标及线段长度是解题的关键.

20.（2023•浙江金华•校联考模拟预测）设双曲线y=—（k＞0）与直线y=x交于N,8两点（点/在第三

x

象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线四的方向平移，使其经过点/,将双曲线在第三象限的一支沿

射线的方向平移，使其经过点2,平移后的两条曲线相交于点P,。两点，此时我们称平移后的两条曲

线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，尸。为双曲线的“眸径当双曲线＞（左＞0）的眸径

【分析】以尸。为边，作矩形尸。O'P交双曲线于点p、Q',联立直线及双曲线解析式成方程组，通过

解方程组可求出点A、B的坐标，由尸。的长度可得出点尸的坐标（点P在直线＞=上找出点尸的坐标）,

由图形的对称性结合点A、3和尸的坐标可得出点P的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可

得出关于左的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】解：以PQ为边，作矩形尸。。'尸'交双曲线于点P、Q',如图所示.

y=x

联立直线及双曲线解析式成方程组，k,

尸一

二点A的坐标为（-〃，-y/k）,点5的坐标为（a,4k）.

•••尸。=4,

尸=2,点尸的坐标为（一正，V2）.

根据图形的对称性可知：PP'=AB=QQ',

•••点P的坐标为（-亚+2现,亚+2晚）.

k

又•.・点p在双曲线歹=生上,

X

（-亚++2限）=k,

2

解得：k=-.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以

及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点尸的坐标是解题的关键.

二、填空题

21.（2023•浙江杭州•统考一模）已知一次函数＞=x-3与"履"是常数，k手0）的图像的交点坐标是（2,-1）,

\x-y=3

则方程组，八的解是

口—y=0

（x=2

【答案】,

【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解.

【详解】解：•••一次函数＞=尤-3与、=丘（左是常数，左20）的图像的交点坐标是（2厂1）,

二x-y=:30解是Ix="2

方程组

[x=2

故答案为：,.

卜=-1

【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关

系是解题的关键.

22.（2023•浙江温州・统考一模）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”.如图所示，药物燃烧阶段,

教室内每立方米空气中的含药量”mg）与燃烧时间无（分）成正比例；燃烧后，y与X成反比例.若＞＞1.6,

【分析】由函数图象得出相应函数关系式，再根据题目要求求出X的取值范围即可；

【详解】解：函数图象可知，

燃烧时，了与x成正比例函数：7=勺尤，

将(10,8)代入了=先送得8=10尢，即左=(,

y-—x^)£x<10),

燃烧后，V与X成反比例函数：y=~,

X

将(10,8)代入夕=勺得8=刍，即左=80,

x10

y=—(x>10),

Vy>1.6,

,1.6=——x即x=2；1.6=—即x=50,

5x

••.X的取值范围是2<x<50.

故答案为：2<x<50.

【点睛】本题主要考查正比例函数、反比例函数的应用，正确理解题意并列出函数关系式是解题的关键.

23.(2023•浙江舟山•校联考一模)如图，在平面直角坐标系中，点/,8在反比例函数y=上图像上，BClx

x

轴于点C,轴于点D,连结若OD=3BC=3,4O=4B,则左的值为.

【答案】V15

【分析】作/W轴于“，BNLAM于N,即可求得OAf==OZ）,〃N=5C,BN=CAf,由

OD=3BC=3,得到OD=3,2C=1,4M=3,MN=1,进而NN=2,然后利用勾股定理得到

BpQj+32=22+^^2,解得左=岳（负数舍去）.

OM1+AM2=AN2+BN1,

【详解】作/W轴于跖BNLAM于N,

AM〃歹轴

•・・5。，》轴于点。，40，;；轴于点。，

OM=AD,AM=OD,MN=BC,BN=CM

•：OD=3BC=3,

OD=3,BC=1,

.・.AM=3,MN=1,

：.AN=2,

k

..•点48在反比例函数y=—图象上,

X

.•./（割网左』），

k2

BN=CM=k----=—k,

33

AO=AB,

：.OM2+AM2=AN2+BN2,

0+3+0

解得左=小（负数舍去）,

故答案为：V15.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，根据题意表示出线段的长度是解

题的关键.

24.（2023•浙江嘉兴・校考一模）已知点/（加+2,乂）,8（加-2,%）在反比例函数>=[±1的图象上，且

X

%<乂.则加的取值范围为.

【答案】-2<m<2

【分析】由题意易得/+1>0,则有反比例函数的图象在第一、三象限，故了随x的增大而减小，又由

/、/、Im+2>0

/伽+2,弘）,3（"-2,%）及%可得点/在第一象限，点8在第三象限，进而可得、,然后求解

m—2<0

即可.

斤2।1

【详解】解：由反比例函数了=人上可得：r+1>0,

...反比例函数的图象在第一、三象限，即y随x的增大而减小,

:/（加+2,必），8（加一2,%）,y2<yi>

...点N在第一象限，点3在第三象限，

m+2>0

，解得:-2<m<2；

m—2<0

故答案为-2</M<2.

【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及一元一次不等式组的解法，熟练掌握反比例函数的图象

与性质及一元一次不等式组的解法是解题的关键.

25.（2023•浙江杭州•校联考一模）已知函数丁=6，点/（2,4）在函数图象上.当尤=-2时，>=

【答案】-4

【分析】先根据点/（2,4）在函数图象上求出左=2,得到y=2x,把》=-2代入，即可得到答案.

【详解】解：•••函数了=6，点/2,4）在函数图象上.

/.4=2匕

:•k=2,

y=2x,

当％=—2时，歹=2x（—2）=-4.

故答案为：-4

【点睛】此题考查了待定系数法求解析式和求函数值，准确求出左的值是解题的关键.

26,（2023•浙江金华•统考一模）如图，正方形O4AG，G432c2，c2433G，…的顶点4,4,4，…在直

线y=h+b上，顶点G，C2,G，…在x轴上，已知耳(1,1),今(3,2),那么点4的坐标为

【答案】(27-1,27)/(127,128)

【分析】首先利用待定系数法求得直线44的解析式，然后分别求得4,4,4…的坐标，可以得到规律:

4(21-1,21),据此即可求解

【详解】V5X1,1),1(3,2),

正方形的边长为1,正方形C1482c2的边长为2,

4(0,1)40,2),

设直线44解析式为、=b+%，

将4(0,1),4(1,2)代入得=2，

二.直线44解析式为y=x+i,

•.•44=1,点层的坐标为(3,2),

4的纵坐标为1=2%4的横坐标为0=2°-1,

4的纵坐标为1+1=2】，4的横坐标为1=21-1，

4的纵坐标为2+2=4=204的横坐标为3=2,-1,

.­.4（27-1,27）,

故答案为：（27-1,27）.

【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律.此题难度较大，注意正确得到点的

坐标的规律是解题的关键.

27.（2023•浙江温州•统考一模）如图，直线>=-瓜+3分另I」交x轴，y轴于点/,B,将。05绕点。逆时

针旋转至△口?£>,使点C落在上，交y轴于点£.分别记ABCE,ADE。的面积为耳，邑，则要的

»2

【答案】I

【分析】根据直线解析式求出直线与坐标轴交点坐标，由勾股定理求出N8的长，由旋转可证得是等

边三角形，从而可求出/EOC=30。，根据直角三角形的性质可求出EC,的长，进而求出8E,的长,

最后代入面积公式即可求出结论.

【详解】解：对于直线>=-&+3,

令y=o,则x=5

/./(屈0),

令x=0,贝!Jy=3,

5(0,3),

又/BOA=90°,

二由勾股定理得，AB=JOT+032='网2+32=2m,

又=立,

AB2G2

/OAB=60°

又・・•ADOC为LBOA绕点。旋转得到,

・・・OA=OC

t^OCA是等边二角形，

/EOC=ZAOB-ZAOC=9(F-6(T=3(F,AOEC=180°-ZEOC-ZDCO=90°

C.OBLCD,

又OC=OA=6

:,EC=J0E=y]0C2-EC2=

2

BE=OB-OE=3--=-,DE=DC-EC=AB-EC=2G--=-V5

2222

c-BEEC

2

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了一次函数与几何图形的综合运用，直角三角形的性质，三角形面积公式，旋转的

性质等知识，求出/。42=60。是解答本题的关键.

28.（2023•浙江宁波•校考一模）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点/（x,回，我们把点

（2后

【详解】解：设/如-*

Im）

•点3是点N的“关爱点”,

当8点在即上时，贝lJ-W®=2,

3

解得"2=-,

2

5（-V6,2）,

2

OB='卜网2+2=A/10;

当8点在0。上时，

设。4的解析式为y=右，

mk=-巫

m

解得上=-坪，

m

•••04的解析式为y=-醇x,

m

,,mym2]3

解得m=±V3,

m<0,

m=—A/3,

:.B（-也,2亚）（舍去）;

综上所述：03的长为加,

故答案为：回.

【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，一次函数与几何综合，正确理解题意，利用

分类讨论的思想求解是解题的关键.

29.（2023•浙江衢州•统考一模）在平面直角坐标系中，反比例函数y=&（k>0）的图象如图所示，等边三

X

2k

角形的顶点Z在该反比例函数图象上，轴于点5,0B=\.若顶点。恰好落在歹（人>0）

X

【答案】26

【分析】由题意得，4（1，A）,则=左，如图，过。作CQ_Lx轴于。，ZBCD=ZABC=60°,则

、/3方）Qz-

CD=BCcos60°=-,BD=BCsm600=—k,C1+

22TSP将。点坐标代入了丁计算求解满足要求

的升值即可.

【详解】解：由题意得，力（1，4）,则=

如图，过C作CD_Lx轴于

轴,CD_Lx轴,

・・・AB//CD,

：./BCD=/ABC=60°,

：.CD=5Ccos60°=-，BD=BCsin600=—k,

22

[22j

（/Tk_2k

将01+当人尚代入片至2k得,5=i+凡，

x

2

解得人=2g,

经检验，笈=2。是原分式方程的根,

故答案为：2#）.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数与几何综合，正弦，余弦.解题的关键在于对知识的

熟练掌握与灵活运用.

14

30.（2023•浙江宁波•校考一模）如图，直线>与双曲线歹二一交于A、3两点,直线5C经过点8,与

3x

双曲线>=幺交于另一点C,44BC=45°,连接/C,若“3C的面积是50,贝|左=.

【分析】作出如解图的辅助线，设机,;他；由反比例函数的对称性以及等腰直角三角形的性质可知

OK=OB=OA,然后证明△KOT之△CM"（AAS）得至I］OT=AM=,KT=OM=m,则点K的坐标为

加比）,然后求出直线8c的解析式，得到J点坐标，设C点坐标为［，2〃+：机］,然后推出

SABO+SAOS=25得至IJ关于加、〃的方程组，由此求解即可.

【详解】解：如图所示，过点/作轴于过点。作OKL45交于K,过点轴于

由反比例函数的对称性可知8（-%-13刃），OB=OA,

VZABC=45°fOKVAB,

：.OK=OB=OA,

・・•ZOTK=ZAOK=/AMO=90°,

ZKOT+ZAOM=90°,ZAOM+ZOAM=90°,

：.ZKOT=ZOAM,

/\KOT^/\OAM(AAS),

OT=AM=—m,KT=OM=m,

3

・••点K的坐标为；加，加)，

设直线BC的解析式为y=kxx+b,

——mk[+b=m尢=2

31

,解得75，

b=­m

-mk+b=--m3

二直线BC的解析式为y=2x+^m,

'•QC^BOC-—aC^AOC-—J2_V44BC

ioj+S&OCJ=25,

1

—m-m=n2n+—m

33

=25

2V)3

...-1m-m=k,=——60,

37

故答案为：-

【点睛】本题主要考查了求反比例函数比例系数，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，一次函

数与反比例函数综合等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

31.（2023•浙江宁波•统考一模）如图，矩形O/8C的顶点4C分别在x轴和V轴上，反比例函数了=亚过

x

k

的中点。.交于点E,尸为上的一点，BF=2AF,过点尸的双曲线y=—交。D于点P,交于

点0,连结加，则上的值为,若尸（1,2网，。2,网，则△OP0的面积为.

【分析】（1）根据反比例函数的性质及矩形的性质设2（。，方），进而得到湖的值即可解答;

（2）根据反比例函数的性质得到面积之间的关系，再根据坐标尸、。点的坐标即可求得△。尸。的面积.

【详解】解：①・・・5尸=24尸，点。是的中点,

CD=2BC,AF=-AB

3y

设b),

b

a,一D

3'74

...反比例函数y=或过的中点。,

X

—'b=—ab=3^/6,

22

ab=6V6,

k

..•双曲线歹=人过点尸，

X

177

••ab=k,

3

-x6V6=276,

3

②过点P作尸G，OA于点G,过点。作。H，ON于点a,

二•点尸、。都在抛物线双曲线y=型，

X

••S^OPG-S4OHQ，

•S^OPG~S&OGM+S40PM，S"OHQ-S4（）GM+'四边形MGHQ，

•*•S&OPM~S四边形MGHQ，

,:S^OPQ=S^OPM+SpMQ,S四边形尸GHQ-SAPMQ+S四边形，

S&OPQ-S四边形尸G"0，

・.・QHPG,

・・・四边形PG〃Q是梯形，

•；网1,2网，Q（2,网，

HQ=V6,PG=2\J'6»GH=2-1=1,

S四边形PGE。=gX（2V6+痛）X1='

故答案为：2屈，远.

2

【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与三角形的面积，掌握反比例函数的性质是解题

的关键.

32.（2023•浙江宁波・统考一模）定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数〉=公

的图像上，则称这个矩形为“奇特矩形”.如图，在直角坐标系中，矩形/BCD是第一象限内的一个“奇特矩

形且点/（4,1）,5（7,1）,则矩形/BCD的面积为.

DC

AB

----------------------------------------------------►

Ox

【答案】0.6或27

【分析】根据题意分两种情况：设3C=〃，当反比例函数＞=&的图像经过48、CD上的点时，则点（5,"+1）、

X

（6,1）在反比例函数y=£的图像上，根据反比例函数系数左=盯得到5x（〃+l）=6,求出〃=：,即可求出矩

x5

形的面积；当反比例函数y="的图像经过3C上的点时，点（5,〃+1）、（6,1）在反比例函数y=&的图

XX

像上，则4x[+g〃]=7（l+I）,求得〃=9,即可求出矩形的面积.

【详解】解：当反比例函数了=勺的图像经过N3、。上的点时，

X

设BC=n，

•.•点/(4,1),5(7,1),

:.AB=3,

.♦.点（5,〃+1）、（6,1）在反比例函数了=勺的图像上，

X

左=6x1=6,

「.5x（〃+l）=6,

解得“=（,

13

,e•$矩形ass=1x3=1=0.6，

当反比例函数y=工的图像经过BC上的点时，

X

设BC=〃，

•.•点2（4,1）,5（7,1）,

.•.点[4,1+gj和点（7,1+gj在反比例函数了=£的图像上,

，4%+27"〃），

解得〃=9,

'''S矩