2023-2024学年辽宁省锦州市高一年级下册期末考试数学试卷+答案解析

2023-2024学年辽宁省锦州市高一下学期期末考试数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.cos870°=（）

2.已知7•为虚数单位，复数Z满足z（l+，）=3K贝！］闫=（）

B.V2D.2y2

34

3.已知sina=—百，cosa=三，则a的终边与以原点为圆心，5为半径的圆的交点的坐标为（）

55

A.(-4,3)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(4,—3)

4.已知/,加为两条不同的直线，Q,户为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若。〃0,l//a,l_Lm,则

B.若/_Lm,,m_La，则/〃a

C.若/ua,mGa,1///3,m〃/3,贝〃/?

D.若/〃a,m_La，则/_Lm

5.如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2,且

7T

圆台的母线与底面所成的角为Q,圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的

0

体积为（）

7片

B.2岳D.4通不

3

6.已知在△48。中，NBA。的角平分线/。与边3c相交于点。，且47=2,48=3，ABAC=60°，

则/。的长为（）

3\/313\/3

10

7T

7.将函数=sin/的图象先向左平移1个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来

的工（3〉0）倍，纵坐标不变，得到函数g（乃的图象，若函数g（乃在（-『0）上单调递增，则”的取值范围

是（）

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BC.(0,|D.(0,1]

A(T(。，1

AC=6,前=；加+；就，则△ARC的面积为()

8.已知。为△ABC的外心，AB=4,

A.5B.3MC.6D.673

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设复数z=l+，漱，则下列命题中正确的是()

A.z的虚部是V3i

B.z+z=\z\

C.z在复平面内对应的点在第四象限

D.若z是关于x的实系数方程/+近+c=0的一个根，则b=—2,c=4

10.关于函数/(①)=sin|W+|sin©有下述四个结论，其中正确的是()

A.f⑺是偶函数

B./⑶在区间(看公)上单调递增

C./(2)的最大值为2

D./(2)在［-20247T,2024TT］有4047个零点

11.棱长为2的正方体—出场。山1中，点E,F,G分别是棱AiBi，CG的中点.则下列说

法正确的有()

A.CDJ平面ABiD

B.小。与AG所成的角为60°

C.点尸在平面BBiGC内运动，且CP〃平面凡则3尸的最小值为

D.平面EFG截正方体ABCD-的截面形状是五边形

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量为=(3,5),不=(2,力)，若万,小则f的值为.

13.己知tana+tan。=4,tan(a+0)=/,则随/士4；的值为________.

3cos(a-p)

14.在锐角三角形48c中，角的对边分别为出仇以已知acosB-bcos4=b,则一^一的取值范围

a+c

是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

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已知向量1,3的夹角为屋同=W=3.

(1)求方在8上的投影的数量；

⑵求谈(万一行)的值；

⑶求悭―q的值.

16.(本小题15分)

如图，在正三棱柱ABC—4bBic1中，D,£分别是BC,的中点，若AB=2,ACxLArB.

(2)求为到平面AG。的距离：

(3)求二面角Ci-DA-E的大小.

17.(本小题15分)

已知函数f(x)=2sinipsinxcosx+2cos(flsirrx—cos,且f(----1z)+/(—z)=0.

26

⑴求函数/(2)的解析式；

(2)求函数/(乃的最小正周期和单调递增区间；

7T1ITT

⑶若函数g⑸=2/(2乃+a在区间—©—上恰有3个零点如物的(为<於<的)，求。的取值范围和

o24

sin(/i+a；2)的值.

18.(本小题17分)

如图，在三棱锥V—ABC中，和△48。均是边长为4的等边三角形，yc=2\/5.

V

(1)证明：AB1VC；

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(2)已知平面。满足VA〃a,40〃a,且平面aC平面=/，求直线/与平面/8C所成角的正弦值.

19.(本小题17分)

如图，在平面四边形/BCD中，已知4D=1,CD=2,△48。为等边三角形.记/ADC=a.

7T人，

(1)若。=可，求△/口。的面积；

O

7F

(2)若aeq”)，求△AB。的面积的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】直接使用诱导公式求解.

【详解】cos8700=cos(-30°+180°+360°+360°)=-cos(-30°)=-cos30°=—

故选：A.

2.【答案】C

【解析】【分析】利用复数的除法求出复数z,即可计算出闿.

%3z(l-i)3E+33,3E

【详解】•••2(1+〃)=&,「.2=.(1+z)(l-?)=2=2+7

1+2

所以⑶=虐)2+百=发，

故选：C.

3.【答案】D

【解析】【分析】设交点为侬,沙)，根据三角函数的定义得到方程组，解得即可.

.y3

sma=­/=--

Vx2+y25

【详解】设交点为(工用)，则|…―”—4,解得(y=~3,

x=4

coba—‘,力2+"2=--5II

2+g2-5

所以交点坐标为(4,-3).

故选：D

4.【答案】D

【解析】【分析】由线面平行、垂直的判定、性质定理与面面平行的关系依次判断各选项即可得出结果.

【详解】对/：若a〃/3,〃/a,Um,则加工依m//(3,或mu(3,则/错误；

对8：若l_Lm，mVa则，〃a或Zua，则3错误；

对C：若/Ua,mca,〃/0,m//(3,若2,m相交时，则a〃必

若〃/m时，a〃0不一定成立，故C错误；

对D：若/〃a,?7iJ_a，贝U/Ln，故。正确.

故选：D

5.【答案】B

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7T

【解析】【分析】由题知该圆台的轴截面为等腰梯形，进而得圆台、圆锥的高均为

再计算体积即可.

【详解】根据题意，该圆台的轴截面/BCD为等腰梯形，如图，

7T

所以即为圆台母线与底面所成角，即乙043=市

分别过点C、。在平面内作OELAB，CFLAB，垂足分别为点£、F,

因为。则四边形CD所为矩形，且EF=CD=2,

7T

因为40=3。，NDAE=NCBF,^AED=ABFC=-,

所以△ADEgABCF,所以4E=BF，且4E=BF=",=一=1,

因为N_DAE=—,则。E=AEtan—=v^,

33

所以圆台、圆锥的高均为OE=，W，

所以该工业部件的体积为

V=V|g台一嗡锥=；X\/3X(17T+\/1nX47r+4元)—X7FXI2X通=2V^开.

故选：B.

6.【答案】C

【解析】【分析】利用等面积列出方程求解即得.

【详解】依题意，设AD=x,ZBAD=ACAD=j^BAC=30°,

由S/\BAD+S/\CAD-S^BAC，可得工x3①sin30°+-x2xsin30°=-x2x3sin60°，

222

解得c=

5

7.【答案】B

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【解析】【分析】先根据三角函数变换规律求出g(乃，然后求出gQ)的单调递增区间，再由函数g(/)在

>0

27r2fc?r

(―7T,0)上单调递增，得｛—五+丁<一”,从而可求出3的取值范围.

7T2k穴c

?-+——20

【详解】将函数/(，)=sinx的图象先向左平移,个单位长度，得片sin(2+,

再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的工(3>0)倍，纵坐标不变，得

V=sin(3Z+，)，

6

7T

所以g(x)=sin(s;+-)(w>0),

6

7T7T7T

由----\~2卜欢Wg力—<—2k?r,keZ,

262

27r7T

得———F2/c7r4<jjx(万+2k?r,k£Z,

oo

27r2k7rTT2kzr「

所以———I----w/—I-----,7kez,

MCJMUJ

因为函数gQ)在(-7F,0)上单调递增，

a;>0

27r2/CTT

7r

所以《—五+丁〈—(keZ),

7T2A；7T八

—+—2o

MCL)

s〉0

2-6k

即｛“W飞一(卜eZ),

k》——

6

解得—:(k

63

2

因为kez,所以k=o,所以o〈s〈示

o

故选：B

8.【答案】D

【解析】【分析】根据外心求出血.前，利用条件得出sin/BACug，结合面积公式可得答案.

【详解】设/C的中点为。，由。为的外心可得，ODLAC，

Ad-Ad=(9+虎).前=口.就=3x6=18,

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又就•=（虫+押）.AS=-A5+软2=./+16,

所以池•就=12，

又-A（^=|A^|•卜4'cosABAC=4x6xcosABAC=12,可得cosZ.BAC=

/o

故sinZBAC=J，

2

则△ABC的面积为||4B|.\AC\sinABAC=|x4x6x^=6y3.

9.【答案】BD

【解析】【分析】利用复数的概念及运算就可以作出判断.

【详解】由z=l+，^，可知所以z的虚部为，3,即N是错误的；

由2=1+，京，可知2=1—四〃，则z+Z=2，⑶=0+3=2,所以z+Z=|z|,即3是正确的；

由z=1可知在复平面内对应的点(1,通)在第一象限，即。是错误的；

由已知可得方程;T2+6/+C=0的根为1士，所以6=1+通1+1-，^=2,

c=(l+V3i](1-V^i}=1+3=4,即D是正确的；

故选：BD.

10.【答案】AC

【解析】【分析】用定义法判断奇偶性处理/,在给定区间内得到具体函数解析式，利用三角函数的性质求

解单调性判断3,利用不等式的性质判断C,举反例判断。即可.

【详解】由题意得/(一/)=sin|—剑+|—sin/|=sin|/|+卜in©=f(x),

所以/([)是偶函数，故/正确，当/e(：vr)时，/(x)=2sin^,

此时/(z)在区间(看不)上单调递减，故8错误，

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因为sin|/|W1，|sinz|W1，所以sin|a?|+卜也引W2,且

所以/(①)的最大值为2,故C正确，

当zC阮2对时，f(x)=sina;-sinrc=0,所以此区间上/(，)有无数个零点，

故f⑸在［-20247T,20247T］不可能只有4047个零点，故D错误.

故选：AC

11.【答案】AD

【解析】【分析】对于/,利用。。1〃4山再证4口，平面4场。即可；

对于8,首先要利用平行线作出异面所成的角，再进行求解即可；

对于C,首先利用CT〃平面B即，确定点P位置在线段上，再作出垂线S,根据相似三角形定理即可求

得.

对于。，通过增补两个正方体，根据正方体的性质，可以作出截面图；

【详解】对于/，如下图，连接4/,易得又4。口/吕1=4「.416，平面481。，

又CDi〃小平面43。，故/正确.

对于3,如下图，取BQLCG*。的中点N，M°，连接ON,OM,MN,

则OMIIAG、MN//BiC,又B1C//A1D,MN//A^D,

则/NNO或其补角为41。与4Q所成的角.又正方体棱长为2,

易求得MN=V2,OM=V3,ON=v^,ON2=MN2+OM2,，

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对于C,如下图，连接RD,E。,取得中点T,连接CT,过8作

•.・CT〃DE,CTC平面BEF,所以CT〃平面BEF,则点尸在线段CT上，AP最小值即为

又dCCiTz△BCH,所以黑=寿=2,又吕。=2,二88="1。错误；

ric515

对于。，如下图，增补两个正方体，取的中点z,y,

连接zy,则G为zy的中点，KEF//ZY

连接厂y交8场于“，连接£Z交DD1于N,连接NG,AfG,

则得到截面为五边行EK0GN,故。正确.

12.【答案】―2或—1.2

5

【解析】【分析】根据平面向量的数量积坐标运算，由万工3,得数量积为0,即可求得实数1的值

【详解】因为超_3，所以向量有.3=3x2+5力=0,

所以力=一，

5

口田士生6

故答案为：—二.

5

13.【答案】1或0.5

【解析】【分析】由两角和的三角函数公式化简即可求得结果.

■、“e■八，/小tana+tanB2,八

【详解】tana+tan/?=4,tan(a+0)=-------------=——,贝!Jtanatan07,

1—tanatanp3

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sin(a+0)sinacos(3+cosasin(3tana+tan041

WT,----------------------------------------------一.

COS(Q—/?)cosacos/3+sinasin(31+tanatan(31+72

故答案为：I

14.【答案】(2-A\/2-1)

【解析】【分析】由正弦定理边化角得到A=23,由锐角三角形求出然后将上的取值范

64a+c

围转化为函数的值域问题求解即可.

【详解】因为QCOS_B—bcos4=b,所以由正弦定理得：sinAcosB—sinBcosA=sinB,

即sin(4—B)=sinB,所以A—6=8,即4=26,又4+石+。=”，所以。=7r—3A

7T

0<A<|0<2B<-

7T7T7T

因为锐角三角形/3C,所以《0<B<^,即<。<6<W,解得2<B<

264

7T

0<C<|0<7T-3B<-

、2

bsinBsinBsinB

a+csinA+sinCsin2B+sin(7r—3B)sin2B+sin3B

sinB1

2sinBcosB+sin2BcosB+cos2BsinB2cosB+2cos2B+2cos2B—14cos2B+2cosB—1

令cosB=t,因为、＜3＜彳，所以1e（避,差），

64v227

贝!|上=^~^在te（迎，递）单调递减，所以一^e(2-\/3,\/2—]).

a+c4i2+2i-1k227a+c

故答案为：（2-\/3,V2-l）.

15.【答案】解：（1）1在加上的投影的数量为：回xcos；=■/2x=1;

2

⑵因为向量万，3的夹角为:，且同=血，q=3，

所以方•芯=|同乂忖乂cos:=A/2x3x-3.

所以逢（3-6）=a2-a-6=2-3=-1.

（3）2a-,=（2a-5）2=4a2-4a-*+庐=4x（松7一

4义3+9=5,

所以2万一q=西.

【解析】（1）根据投影的数量公式求解即可；

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(2)根据平面向量的运算结合数量积公式求解即可；

(3)根据忸—j=(2a-4求解即可.

16.【答案】解：(1)连接41C,交ACi于点。，连接OD,

因为四边形ACG4为平行四边形，所以。为4。中点，

又D为BC中点,所以。。〃从山，

又4汨u平面4GO,00c平面4G。，

所以45〃平面4。1。；

⑵设41到平面ACXD的距离为d,

因为D0//AxB,所以4C1L0O,

又。为&G中点，所以40=06，

因为△4BC为等边三角形，

所以AD=y/AB2-BD2=/22_D=73，

所以。G=VCCi2+I2=V3>所以CCi=瓜

S/^ADCi=|xODxACi=|x噂xA/6=|>

因为VDT41G==^x|xix2xv/2xv/3=萼,

乙ZD/0

所以VAX-ACXD=VD-AAXCX=乎'所以^S^ACrD•d=造，即=乎，

Oo

解得d=变，

3

即4到平面ACrD的距离为遗；

3

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(3)由已知正三棱柱ABC-中，D,E分别是BC,8/中点，

所以CCU面NBC,A0Q平面N2C,

所以CCJAD,又ADJ_B。，BCcCC\=C,RC,。。1C平面BBi。,

所以4。，面881。，G_D,EDu面BBQ,

所以AD1ED，

所以/。。石为二面角CX-DA-E的平面角，

连接CiE,在LBDE中,DE=^BD2+BE2=J1+；=，，

在△BQiE中，&E=+B®=/+；=呼，

由(2)知。a=通，所以+

所以GZUOE,

所以二面角Ci-DA-E的大小为90°.

【解析】(1)连接小。，交ACi于点。，根据四边形ACG4为平行四边形得。。〃小口，再由线面平行的

判定定理可得答案；

(2)利用等体积转化可得答案；

(3)利用线面垂直的性质定理得/COE为二面角Ci-DA-E的平面角，求出三角形边长由勾股定理可得

答案.

17.【答案】解：(l)f(x)=2sin<psinxcosx+2cos^sin?x—cos(p

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=sin2xsincp+cosqQsi/x—1)

=sin2xsin3—cos2xcos3

=—cos(2J:+9)

由《4+7+以-x)=0知，/⑺的图像关于点(―看。)对称，

7T、7T27r

所以75)+8=5+k汗，k£Z,得3=可+卜不，keZ.

JLZ//J

117r7T

因为阿＜5，所以8=一司,

即函数/(力)=—cos(2力-g

—cos(21——J,所以7=学=开

(2)因为〃/)=

7TTT27r

由2kllW2力——2kir+7T,kGZ得k7r+/(kvrH——,kGZ

o63

7T27r

所以函数/(/)的单调递增区间是k7T+-,k7r+—,kez.

0o

(3)g(力)=2/(2力)+Q=—2cos卜力一力+Q=—2sin(4力+3)+Q，

F7T117T-|,7TI-7T

当一露方1时'—Q，27r.

o0O

(7r\「7r

函数gQ)=—2sin4力+9+Q在区间—Q▽上恰有3个零点，

7T「7T

令1=4①+左则2sint—Q=0在—下27r上有3个不相等的根.

63

7F

即9=。与4=2sin力在力e2TT的图像上恰有3个交点,

O

作出沙=2sint与沙=a的图像，如图所示,

由图可知，\Q<a<0，

且12+11=7，

1/7T7f\7T1

所以sinQi+a7)=sin-ti--+i2-7=sin-=

24\66)02

故a的取值范围为[-73,o],sinRi+22)的值为；.

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【解析】⑴利用三角恒等变换化简求得/(工)=—cos(2/+g),由已知可得了⑶的图像关于点卜卷0)对

7T

称得出？=—即得函数解析式；

O

(2)由公式可求得/(乃的最小正周期，利用正弦函数的单调性，列出不等式求解，即可得出单调递增区间;

7T117r-l「7T

(3)在区间一石,石T上恰有3个零点转化为U=a与9=2输1力在力€-不2亓的图像上恰有3个交点求参

d6

数即可，再数形结合根据函数的对称轴即可计算求值.

18.【答案】解：(1)如图，设N8的中点为D,连结。匕

因为和AABC均为等边三角形，所以VD1AB,CDLAB,

又因为VDHCD=D,VDU平面VCD,CDc平面VCD,

所以48,平面VCD,

又因为VCU平面FCD,所以

V

出因为/4〃。,丫。〃％匕40/。=口且匕4,4。U平面VAC,

所以平面a〃平面VAC,

又平面an平面MB。=/,VBC=VC»所以

所以直线/与平面48C所成角等于直线W与平面/8C所成的角.

在平面VCD内作V。，。。于点O,则由⑴知，48,平面VCD,

又V。U平面VCD,所以VOL4R

又因为48nCD=D,ABC平面ABC,CDC平面ABC,

所以VO,平面/8C,所以NUCD是直线FC与平面/8C所成的角.

因为△VAB和△ABC均是边长为4的等边三角形，所以V。=CD=2，9,

又因为厂。=2遥，在等腰△UCD中，方—严—通

cosZl/c/