2025年高考数学专项复习训练：平面向量的数量积及其应用【八大题型】原卷版+解析版

专题5.3平面向量的数量积及其应用【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1平面向量数量积的运算】..................................................................4

【题型2平面向量的夹角问题】....................................................................5

【题型3平面向量的模长】........................................................................5

【题型4平面向量的垂直问题】....................................................................5

【题型5平面向量的投影】........................................................................6

【题型6坐标法解决向量问题】....................................................................6

【题型7平面向量的实际应用】....................................................................7

【题型8向量数量积与解三角形综合】.............................................................8

►考情分析

1、平面向量的数量积及其应用

考点要求真题统计考情分析

⑴理解平面向量数量积

的含义及其几何意义2022年新高考全国II卷：第4

⑵了解平面向量的数量题，5分平面向量的数量积是高考的热点内

积与投影向量的关系2023年新高考I卷：第3题，容.从近几年的高考情况来看，试题往往

⑶掌握数量积的坐标表5分以选择题、填空题的形式呈现，主要考

达式，会进行平面向量数2023年新高考H卷:第13题，查向量的数量积、夹角、模与垂直条件

量积的运算5分等知识，难度中等，有时会与三角函数、

(4)能运用数量积表示两2023年北京卷：第3题，5分平面几何等相结合命题.学生在高考一

个向量的夹角，会用数量2024年新高考I卷：第3题，轮复习中应注意加强训练，要能灵活运

积判断两个平面向量的垂5分用定义法、坐标法和基底法解决常见的

直关系2024年新高考H卷：第3题，数量积有关问题.

⑸会用向量的方法解决5分

某些简单的平面几何问题

►知识梳理

【知识点1向量数量积的性质和常用结论】

1.向量数量积的性质和运算律

(1)向量数量积的性质

设。，b是非零向量，它们的夹角是e是与b方向相同的单位向量，则

①a'e=e-a=同cos0.

②QJ_ba-6=0.

-»->|->I]—I->-»->->I-»I[—1

③当a与l同向时，。口=同同；当〃与务反向时，a-b=-|Z)|.

特别地,Q-Q=Q2=|Q|之或同=JQ.q

④|a-"《同当且仅当向量a,6共线，即a〃b时，等号成立.

@0086>=-^^7

(2)向量数量积的运算律

由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：

对于向量"b,1和实数，有

①交换律：a-b=b-a；

■->->->->->->

②数乘结合律：(A<2)-b=X(a-b)=a-(26)；

③分酉己律：(a+b)~c=a•c+b'c.

2.向量数量积的常用结论

/->-»\2［今->|2|4|2->一|4|2->?->今->7

⑴±=,土.=|。|±2a•方+问=a^2a-b+b；

(2)蓝一/=6+1)伞_刀=向2_阿

⑶6+犷+(1犷=2(问2+叶)；

-2~2今->

(4)a+b=0a=b=0；

⑸।向—阿归口+司+同+网,当且仅当】与」同向共线时右边等号成立,:与I反向共线时左边等

号成立.

以上结论可作为公式使用.

【知识点2平面向量数量积的解题方法】

1.平面向量数量积的两种运算方法

(1)基底法：当已知向量的模和夹角。时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关

计算问题；

(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.

【知识点3数量积的两大应用】

1.夹角与垂直

-»->

a•b->->->->

根据平面向量数量积的性质：若4,6为非零向量，则cos，=(夹角公式),alb-a-b=0等,

可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.

2.向量的模的求解思路：

(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；

(2)公式法：利用同=H及G±与2=同2±2〉5+网2,把向量的模的运算转化为数量积运算;

(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利

用余弦定理等方法求解.

【知识点4向量数量积综合应用的方法和思想】

1.向量数量积综合应用的三大解题方法

(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应

的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来

进行求解.

(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以

向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.

【知识点5极化恒等式】

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

|a+S|2+|a-S|2=2(|a|2+|S|2).

证明：不妨设方=2,而=加贝!)工=2+几DB=a-b,

阿=ER+H=@+2鼠1+配①》

网2=加=R_.@_27B+卑②,

①②两式相加得:

⑵极化恒等式:

上面两式相减，得：之二=；］(a+q2_R_q〔-------极化恒等式

平行四边形模式：a-b=^AC^-\DB^.

(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的

4

【方法技巧与总结】

I.平面向量数量积运算的常用公式

(l)(a+6)・(a—6)=/一片；

->2-»->->2

(2)p±犷=Q±2q•6+b.

2.有关向量夹角的两个结论

->->->->->—>->->

（1）若a与6的夹角为锐角，则a-6>0；若。•6>0,则a与6的夹角为锐角或0.

->->->->->->->->

（2）若。与6的夹角为钝角，则a-6<0；若。-bO,则a与6的夹角为钝角或兀

__>__>a•bb

3.向量a在向量6上的投影向量为

►举一反三

【题型1平面向量数量积的运算】

【例1】（2024♦江西宜春•模拟预测）在中，已知AB=AC=2,BD=2DC,若小•丽=2,则荏•无

=()

A.-1B.1C.2D.-2

【变式1・1】（2024•陕西安康•模拟预测）已知向量五=81,2）了=（71,-1）（几>0）,〈标）=与，a-b=0,且

|c|=V3,若石则（五+B）•工=（）

A3口-2机B_在c302灰口地

•2•T•2•-2-

【变式1・2】（2023•山东日照•一模）已知正六边形45CZ）跖的边长为2,尸是正六边形45cQEF边上任意

一点，则同•丽的最大值为（）

A.13B.12C.8D.2V3

【变式1-3］（2024・北京•三模）已知点N在边长为2的正八边形414,…4的边上，点M在边4遇2上，贝U

乖•布的取值范围是（）

A.[-4-2V2,2V2]B.[-4,4+2V2]

C.[-272,4+2V2]D.[-272,4]

【题型2平面向量的夹角问题】

【例2】（2024•江苏扬州•模拟预测）已知单位向量落加满足力（22+励=2,贝皈与茄勺夹角等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【变式2-1］（2024•江西新余•二模）已知2=（但2遍），h=（-V3,A）,若2+1与书的夹角为与，则1=

（）

A.-1B.1C.±1D.±2

【变式2-2】（2024・湖北•二模）已知平面向量五=（1一%,—%—3）,6=（1+%,2）,a-b=-4,则五+2石与石的

夹角为（）

TI71-2n—3n

A.弓B.4c-TD-T

【变式2-3］（2024•河北•模拟预测）平面四边形28CD中，点E、F分别为4D,BC的中点，|CD|=2|4B|=8,|EF|

=5,则cos（屈，反）=（）

A.令B.C.—萼D.—金

1664840

【题型3平面向量的模长】

【例3】（2024・河北•三模）已知非零向量附夹角为去a=\a-b\=l,则|五+引=（）

A.1B.C.V2D.V3

【变式3-1］（2024•山东烟台•三模）已知向量-B满足同=4,右在方方向上的投影向量为浜，且

（2五一励，则|花+目的值为（）

A.4B.4V3C.16D.48

【变式3-2］（2024・湖南长沙•三模）在平行四边形A8CD中，AC=2BO=4,点P为该平行四边形所在平面

内的任意一点，贝»刀，+|而『+|玩『+|而『的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

【变式3-3］（2024•湖南永州•三模）在△ABC中，乙4cB=120。，|而|=3,|而|=4,DC-DB=0,则|方+而|

的最小值为（）

A.6V^—2B.2,19—4C.3v1D.719—2

【题型4平面向量的垂直问题】

【例4】（2024•西藏林芝•模拟预测）已知向量五=（居3）石=（2,久+5）,若五10—3）,则久=（）

A.2或3B.-2或一3C.1或一6D.一1或6

a+kb}1(a—kb卜的

【变式4-1]（2024•辽宁沈阳•二模）已知向量1=（2,4）%=（3-1），则浓=鱼"是f

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【变式4-2]（2024・陕西・模拟预测）已知两个向量五=（2,-1）%=（点m）,且。+石），0-母,则血的值为

)

A.±1B.±V2C.±2D.±2V3

【变式4-3]（2023・全国・高考真题）已知向量3=（1,1）3=（1,—1）,若（五+需），（五+〃石）,则（）

A.a+〃=1B.a+〃=—1

C.A/i=1D.A/i=-1

【题型5平面向量的投影】

【例5】（2024•浙江绍兴•三模）若非零向量出石满足同=国=|2+同，贝皈+23在后方向上的投影向量为

)

A.2bB.C.bD.我

【变式5-11（2024•山东青岛•二模）已知向量方=（—1,2）,3=（—3,1）,贝收在3上的投影向量为（）

A.（一为B.（4，1）C（一卷等）D.（—富，黑）

【变式5-2]（2024•江苏•模拟预测）已知两个非零向量蜃石满足忖+同=忖—川，贝皈—3在办上的投影向量

为（）

A.bB.—bC.—bD.一5b

【变式5-3]（2024・湖北武汉•二模）已知xCR,向量2=（%,2）3=（2,—1）,且方1几则d+3在2上的投影

向量为（）

A.V5B.5C.（1,2）D.（2,-1）

【题型6坐标法解决向量问题】

【例6】（2024•江苏扬州•模拟预测）已知菱形4BCD的边长为2,乙4BC=60。，动点尸在BC边上（包括端

点），则而•而的取值范围是（）

A.[0,1]B.[—1,2]C.[—2,2]D.[—1,1]

【变式6-1]（2024・四川绵阳•模拟预测）如下图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,

边83c3上有1。个不同的点Pi，。2,…’Pio，记弧=A%,/匕(i=1,2,…,10),则Mi+时2+…+Mio=

C.-18D.-180

【变式6-2]（2024•陕西安康•模拟预测）如图，已知45是圆。的直径，C是圆。上一点，元=而，点「是

线段上的动点，且△248的面积记为品，圆。的面积记为S2，当丽•丽取得最大值时，（）

【变式6-3]（2024・贵州贵阳•一模）如图，在边长为2的正方形2BCD中.以C为圆心，1为半径的圆分别

交CD,BC于点、E,F.当点P在劣弧EF上运动时，丽•丽的取值范围为（）

A.[1—2V2,—i]B.[1-2vx—1]

C.[―1,1—V2]D.[1-2V2.1-V2]

【题型7平面向量的实际应用】

【例7】（2024・吉林长春•一模）长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度也

的大小|也|=10km/h,水流的速度。2的大小W2I=4km/h,设3和也所成角为火0<9<兀）,若游船要从4

航行到正北方向上位于北岸的码头8处，则cos8等于（）

B

A

河流两岸示意图

a-Tb--tc--1d-T

【变式7-1］（2024•浙江温州•二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段

位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W=F-S（其中”是功，F是力，3是位移）一物体

在力K=（2,4）和豆=（-5,3）的作用下，由点2（1,0）移动到点B（2,4）,在这个过程中这两个力的合力对物体

所作的功等于（）

A.25B.5C.-5D.-25

【变式7-2］（2024•山东潍坊•二模）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条

绳上的拉力分别是瓦，无，且瓦，瓦与水平夹角均为45。，两=两=10鱼此则物体的重力大小为N,

【变式7-3］（2024•全国•模拟预测）如图，某物体作用于同一点。的三个力Fi，F2,F3使物体处于平衡状

态，已知Fi=lN,尸2=2N,%与F2的夹角为120°,则B的大小为.（牛顿N是物理的力学单位）

【题型8向量数量积与解三角形综合】

【例8】（2024•江西•三模）已知钝角△ABC的面积为3,48=4,AC=2,则布•前的值是（）

A.-6B.-2V7C.2J7或一2bD.-6或6

【变式8-1］（2024•贵州毕节•三模）在△48C中，内角B,C所对的边分别为a,b,c,X=—,若点D

满足而•方=0,且同=如+冠，贝哈=（）

1

AB.2C.D.4

-I4

【变式8-2](2024•山东荷泽•模拟预测)在△4BC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c.已知瓦•前-瓦？•丽=4

—>2

AB

(1)若4=1,判断△ABC的形状；

(2)若4=今求tan(B-4)的最大值.

【变式8-3](2023•江苏苏州•模拟预测)如图，两射线人、L均与直线/垂直，垂足分别为。、E且DE=1.

点/在直线/上，点8、C在射线上.

⑴若厂为线段3c的中点(未画出)，求赤•前的最小值;

(2)若△4BC为等边三角形，求△ABC面积的范围.

►过关测试

一、单选题

1.(2024,黑龙江•模拟预测)已知向量闷=3,|2-3|=同+2力，则|五+山=()

A.V3B.2C.V5D.3

2.(2024,江西吉安•模拟预测)若方=(1,%)工=(短-2),且|五+引=|五_引,则％=()

A.V2B.-V2C.--D.乎

3.（2024・辽宁・模拟预测）若心方是夹角为60°的两个单位向量，疝+石与刀一石垂直，则4=（）

C.-1D.-2

4.（2023•黑龙江哈尔滨•模拟预测）己知向量获满足同=2了=（3,0）,|五-同则向量H在向量后方向

上的投影向量为（）

D.(1,0)

5.（2024•陕西安康•模拟预测）若平面向量日石满足同=VX扬|=1,|方+引=遮，则向量2,B夹角的余弦值

为（）

A.g

（2024•宁夏石嘴山•三模）已知向量五=（一3,1）,6=（2,1）,则以下说法正确的是（

A.—可=V5

C.向量降向量让的投影为孚D.若/=（浮一管），贝呢1个

7.（2024・四川绵阳•模拟预测）某公园设计的一个圆形健身区域如图所示，其中心部分为一个等边三角形

广场，分别以等边三角形的三条边作为正方形的一条边构造三个正方形区域用于放置健身器材，其中每个

正方形有两个顶点恰好在圆上.若4B=2a,则说•次=（）

A.-4（2+B.-2（2+V^）Q2C.-2（3+V^）a?D.-2（1+

8.（2024•四川成都•三模）在矩形4BCD中，AB=5,4。=4,点E满足2荏=3而，在平面4BCD中，动点

P满足无•丽=0,则而•加的最大值为（）

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2V13-6

9.（2024・山东•模拟预测）已知向量3=（1,8）,6=（-2,0）,则下列说法正确的是（

A.a-b=2B.2与b的夹角为石

C.a1(a+2b)D.2+石在3上的投影向量为超

10.(2023•山东潍坊•模拟预测)已知非零向量五43,口=1,对任意tCR,恒有同一比|N|H—矶，则

()

A.3在3上的投影的数量为1B.|a+e|>|a-2e|

C.a1(a—e)D.e1(a—e)

11.(2024・河北保定•一模)已知P为△力8c所在平面内一点，则下列正确的是()

A.若腐+3方+2同=0,则点P在的中位线上

B,若西+而+定=0,贝UP为△4BC的重心

C.若荏•前>0,则△力BC为锐角三角形

D.若/=冠+|前，则△ABC与△ABP的面积比为3:2

三、填空题

12.(2024・陕西安康•模拟预测)已知向量五=(一2比一3),B=(k,k—2),且五_1刃，则卜=.

13.(2024•上海・模拟预测)已知向量五,b,工满足|司=历|=1,|c|=V2,Ma+&+c=O,则cos(五一胡-工)

14.(2024•天津河西•二模)如图，直角梯形N8CD中，AB||CD,ABLAD,AB2CD=2AD=2,在等

腰直角三角形CDE中，ZC=9O°,则向量荏在向量方上的投影向量的模为；若M,N分别为线段

BC,CE上的动点，且箱•前=玄则而•丽的最小值为.

15.(2024•天津河北•模拟预测)已知向量五=(3,4),9=(l,x),c=(l,2).

(1)若五_L刃,求同的值；

(2)若工II(a-2b),求向量与2的夹角的余弦值.

16.(23-24高一下•北京东城•期中)已知向量获的夹角为卓且同=2,由=4,求:

⑴展反

⑵忖-况

(3)五与五一石夹角的余弦值.

17.(2024・湖南邵阳•一模)在△4BC中，内角4满足gsin24-cos24=2.

(1)求角力的大小；

⑵若反=2而，求需的最大值.

18.(2024•湖南衡阳•模拟预测)在△48C中，内角4,B,C所对的边分别为a,6,c,已知向量范云满足方=

(2a,—V6),n=(V2sinB,fo),且为1n.

⑴求角力；

(2)若△NBC是锐角三角形，且a=3,求△ABC周长的取值范围.

19.(23-24高一下•浙江宁波•期末)在直角梯形2BCD中，AB//CD,^DAB=90°,AB=2AD=2DC=4,

点尸是BC边上的中点.

(1)若点E满足而=2近，且前=2刀+〃而，求2+〃的值；

(2)若点P是线段4尸上的动点(含端点)，求丽•丽的取值范围.

专题5.3平面向量的数量积及其应用【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1平面向量数量积的运算】..................................................................4

【题型2平面向量的夹角问题】....................................................................7

【题型3平面向量的模长】........................................................................9

【题型4平面向量的垂直问题】...................................................................11

【题型5平面向量的投影】.......................................................................12

【题型6坐标法解决向量问题】...................................................................13

【题型7平面向量的实际应用】...................................................................16

【题型8向量数量积与解三角形综合】............................................................18

►考情分析

1、平面向量的数量积及其应用

考点要求真题统计考情分析

⑴理解平面向量数量积

的含义及其几何意义2022年新高考全国II卷：第4

⑵了解平面向量的数量题，5分平面向量的数量积是高考的热点内

积与投影向量的关系2023年新高考I卷：第3题，容.从近几年的高考情况来看，试题往往

⑶掌握数量积的坐标表5分以选择题、填空题的形式呈现，主要考

达式，会进行平面向量数2023年新高考H卷:第13题，查向量的数量积、夹角、模与垂直条件

量积的运算5分等知识，难度中等，有时会与三角函数、

(4)能运用数量积表示两2023年北京卷：第3题，5分平面几何等相结合命题.学生在高考一

个向量的夹角，会用数量2024年新高考I卷：第3题，轮复习中应注意加强训练，要能灵活运

积判断两个平面向量的垂5分用定义法、坐标法和基底法解决常见的

直关系2024年新高考H卷：第3题，数量积有关问题.

⑸会用向量的方法解决5分

某些简单的平面几何问题

►知识梳理

【知识点1向量数量积的性质和常用结论】

1.向量数量积的性质和运算律

(1)向量数量积的性质

设。，b是非零向量，它们的夹角是e是与b方向相同的单位向量，则

①a'e=e-a=同cos0.

②QJ_ba-6=0.

-»->|->I]—I->-»->->I-»I[—1

③当a与l同向时，。口=同同；当〃与务反向时，a-b=-|Z)|.

特别地,Q-Q=Q2=|Q|之或同=JQ.q

④|a-"《同当且仅当向量a,6共线，即a〃b时，等号成立.

@0086>=-^^7

(2)向量数量积的运算律

由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：

对于向量"b,1和实数，有

①交换律：a-b=b-a；

■->->->->->->

②数乘结合律：(A<2)-b=X(a-b)=a-(26)；

③分酉己律：(a+b)~c=a•c+b'c.

2.向量数量积的常用结论

/->-»\2［今->|2|4|2->一|4|2->?->今->7

⑴±=,土.=|。|±2a•方+问=a^2a-b+b；

(2)蓝一/=6+1)伞_刀=向2_阿

⑶6+犷+(1犷=2(问2+叶)；

-2~2今->

(4)a+b=0a=b=0；

⑸।向—阿归口+司+同+网,当且仅当】与」同向共线时右边等号成立,:与I反向共线时左边等

号成立.

以上结论可作为公式使用.

【知识点2平面向量数量积的解题方法】

1.平面向量数量积的两种运算方法

(1)基底法：当已知向量的模和夹角。时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关

计算问题；

(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.

【知识点3数量积的两大应用】

1.夹角与垂直

-»->

a•b->->->->

根据平面向量数量积的性质：若4,6为非零向量，则cos，=(夹角公式),alb-a-b=0等,

可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.

2.向量的模的求解思路：

(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；

(2)公式法：利用同=H及G±与2=同2±2〉5+网2,把向量的模的运算转化为数量积运算;

(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利

用余弦定理等方法求解.

【知识点4向量数量积综合应用的方法和思想】

1.向量数量积综合应用的三大解题方法

(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应

的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来

进行求解.

(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以

向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.

【知识点5极化恒等式】

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

|a+S|2+|a-S|2=2(|a|2+|S|2).

证明：不妨设方=2,而=加贝!)工=2+几DB=a-b,

阿=ER+H=@+2鼠1+配①》

网2=加=R_.@_27B+卑②,

①②两式相加得:

⑵极化恒等式:

上面两式相减，得：之二=；］(a+q2_R_q〔-------极化恒等式

平行四边形模式：a-b=^AC^-\DB^.

(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的

4

【方法技巧与总结】

I.平面向量数量积运算的常用公式

(l)(a+6)・(a—6)=/一片；

->2-»->->2

(2)p±犷=Q±2q•6+b.

2.有关向量夹角的两个结论

->->->->->—>->->

(1)若a与6的夹角为锐角，则a-6>0；若。•6>0,则a与6的夹角为锐角或0.

->->->->->->->->

(2)若。与6的夹角为钝角，则a-6<0；若。-bO,则a与6的夹角为钝角或兀

->->->

->今77•77

3.向量。在向量6上的投影向量为需•备.

►举一反三

【题型1平面向量数量积的运算】

【例1】(2024•江西宜春•模拟预测)在ZkAeC中，已知A8=4C=2,BD=2DC,若丽•近=2,则前•前

=()

A.-1B.1C.2D.-2

【解题思路】将前和反转化成前和左来表示，再结合而•BC=2求得NB4C即可求解.

【解答过程】由题意。为BC边靠近C点的三等分点，

所以而=AC-DC=AC-^BC=AC-^^AC-AB')=河+痴，

所以AD-BC=[^AC+•yAC-AB)=|XC-^AB-AC-^AB

=~^cos(AB,4C)=g-gcos/B力C=2,

所以ABAC=拳

所以前AC=\AB\\AC\cosABAC=2X2x(-|)=-2.

故选：D.

【变式1-1](2024•陕西安康•模拟预测)已知向量2=0,2)了=0，-1)5>0),〈为3)=事，a-b-0,且

|c|=V3,若石々=乎，则(五+刃),才=()

A3H2显B_返C3心+2前D3V6

•2~•2•2

【解题思路】根据数量积的坐标表示得到=2,再确定01),由=挈即可求出m从而得到小的值，

最后根据数量积的定义及运算律计算可得.

【解答过程】因为2•石=0,所以@动=5且五•石=血相一2=0,所以77171=2,

又1.2=挈>0,且(赭=与,所以屈)=亨一今=也

所以石•c=|h|•\c\cos(b,c)=Vn2+1xV3x曰=呼，解得九=±1,

又n>0,所以几=1,则m=2,

所以五=(2,2),则同=V22+22=2企，

所以(五+6)­c=a-c+6-c=|H|•\c\cos(a,c)+b-c

=2V2XV3X(-1)+^=^V6.

故选：A.

【变式1-2](2023•山东日照•一模)已知正六边形4BCDE尸的边长为2,尸是正六边形4BCDE尸边上任意

一点，则刀•丽的最大值为()

A.13B.12C.8D.2V3

【解题思路】以正六边形/3CDE/中心。为原点建立平面直角坐标系如图所示，由向量数量积的坐标表示

研究最值.

以正六边形4BCDE尸中心。为原点建立平面直角坐标系如图所示，48、DE交y轴于G、H,

WJC(2,0),F(-2,0)M(-l-V3),B(1-V3),G(0,-每E(—1,何。(1,何W(0,V3),

设P(x,y),PA=(-l-x,-V3-y),PB=(l-x-V3-y),~PA-PB^x2+y2+2何+2,由正六边形对称性,

不妨只研究y轴左半部分，

(1)当P在上时，贝!Ue[—1,0],y=®则瓦？•丽=/+11w12；

(2)当尸在/G上时，贝1,0],y=-V3,则谈•丽=/一1<0；

(3)当P在即上时，则令尸：y=V3(x+2),%G[-2,-1],则丽•丽=4%2+18x+26=4(%+?2+与

<12；

(4)当P在/尸上时，则UF：y=-V3(x+2),xe[-2,-1],则丽•丽=4尤2+6x+2=4(x+

<6.

综上，所求最大值为12.

故选：B.

【变式1-3](2024•北京•三模)已知点N在边长为2的正八边形4/2,…，45的边上，点M在边&&上，则

病•嬴的取值范围是()

A.[-4-2V2,2V2]B.[-4,4+2V2]

C.[—2A/^',4+2A/2^]D.[—2>/^,4]

【解题思路】以公为原点，建立平面直角坐标系，表示出点M、N的坐标，计算&MS1N即可.

【解答过程】以公为原点，&&为久轴，4遇6为y轴建立平面直角坐标系,

设N则41M==（亚,%）,

所以41用-4/=打％2，

由于正八边形的每个外角都为今

则刀26[O,2],X16[-V2,2+V2],

所以-A±N=6[-2V2,4+2V2].

故选：C.

【题型2平面向量的夹角问题】

【例2】（2024•江苏扬州•模拟预测）已知单位向量口加满足大（2五+石）=2,则2与茄勺夹角等于（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解题思路】根据数量积的运算律求出ai,再由夹角公式计算可得.

【解答过程】因为3,（2五+1）=工+办=2,BP2a-b+I2=2,解得五•9=g,

设己与茄勺夹角为仇贝。（：058=瀚=今又0。38式180。，所以8=60。，

即H与刃的夹角等于60。.

故选：B.

【变式2-1】（2024•江西新余•二模）已知2=（8,2遮），b=（-V3,A）,若为+石与石的夹角为与，贝壮=

（）

A.-1B.1C.±1D.±2

【解题思路】利用向量积的运算律计算Q+丹i,再利用向量数量积的定义计算（五+为不，列出相关等式

可得4的值.

【解答过程】因为Z=（但28），b=（-V3.2）,

所以a,b=X（―V3^）+2V^A=—3+2V3A,

a+b^（V3,2V3）+（-V3.A）=（0,2遮+A）,

|a+fo|=J（2A/3+A）2=|2V3+A|,

因为（五+£））,/?=2,b+b=—3+2y[^入+3+Q=%+2^/^九

又（五+b）-h=|a+b\\b\co^-=|2A/3+A|XV34-A2x

所以M+2V3A=|2V3+A|xV3TI2x（-1）,

解得a=1或a=-1,

因为2g+awo,所以N+2后<0,

解得—2V^<A<0,

所以％=-1.

故选：A.

【变式2-2］（2024•湖北•二模）已知平面向量2=（1-%一久一3）,3=（1+久,2）,a-b=-4,贝皈+2）与［的

夹角为（）

A谓B.JC.亨D.空

【解题思路】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得刀=-1,再由平面向量的夹角公式代入计算，即

可得到结果.

【解答过程】a-b=-4=>(1—x)(l+%)—2(%+3)=—4=>x=—l=>a=(2,—2),

b=(0,2尸五+2b=(2,2),

)—*—»(1+21)$_0+4_y/2

・••cos(a+2b,b)

\a+2b\\b\一2V2x2~~

(a+2港)6[0,ii],.・.(a+2b,b)=

故选：B.

【变式2-3］（2024•河北•模拟预测）平面四边形ZBCD中，点E、F分别为AQBC的中点，|CD|=2|人用=8叫网

=5,则cos（同，反）=（）

A.磊B.C.--D.4

1664840

【解题思路】由向量的加法法则可得2而=而+瓦^两边同时平方可得瓦•希=10,由平面向量的夹角

公式求解即可.

【解答过程】因为平面四边形力BCD中，点E、尸分别为4D,8c的中点，

所以而=TC+~CD+1）E=~FB+~BA+AE,

所以2而=而+而+而+而+0+福=而+或，

由|CD|=2|力切=8可得：\CD\=8,\AB\=4i

两边同时平方可得：4F£2=（3+BA）2=而？++23-瓦

----»2----->2,>-----»----»

所以4X25=CD+BA+2CD-BX=64+16+2CD-BA,

解得：DC-AB=10,所以cos（福友）=瑞倚=瞪=看

故选：A.

【题型3平面向量的模长】

【例3】（2024•河北・三模）已知非零向量心丽夹角为去a=\a-b\=l,则忆+书|=（）

A.1B.C.V2D.V3

【解题思路】分析可知同=1,向量落2-石的夹角为3根据为+刃=2H-Q-励结合数量积的运算求解.

【解答过程】因为五=（一孚3）,则同=1,

且非零向量区茄勺夹角为3艮-同=1,可知向量落3-3的夹角为？

则2-(a-S)=lxlx|=|,

所以B+川=|2a—（a—b）|=J4a2—4a-（a—b）+（a-b）2=V3.

故选：D.

【变式3-1]（2024•山东烟台•三模）已知向量五，石满足同=4,9在五方向上的投影向量为晶且31

（2a-b）,则|五+引的值为（）

A.4B.4V3C.16D.48

【解题思路】根据题意结合投影向量可得五%=8,再根据垂直关系可得同=4,进而可求模长.

【解答过程】由题意可知：同=4,即五

因为了在五方向上的投影向量为（居上=（照/=浜，可得/%=8,

又因为b（2五一匕）,则刃•（2石—石）=22,石―1=16—b=0,可得国=4,

贝加之+b|2=a2+2a•B+片=48,所以忆+b\=4V3.

故选：B.

【变式3-2]（2024•湖南长沙•三模）在平