中考数学专项复习：整式的乘除

专题1.1整式的乘除

典例精析

【典例1】【知识回顾】有这样一类题:

代数式(1久一y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值;

通常的解题方法；

把x,y看作字母，。看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0,即原

式=(a+3)x-6y+5,所以a+3=0,即a=-3.

b

图1图2

【理解应用】

(1)若关于x的多项式(2m-3)x+2m2-3m的值与x的取值无关，求m的值；

(2)已知3[(2x+1)(刀-1)一x(l-3y)]+6(-/+无y-1)的值与x无关，求了的值；

【能力提升】

(3)如图1,小长方形纸片的长为°、宽为6,有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形

/BCD内，大长方形中有两个部分(图中阴影部分)未被覆盖，设右上角的面积为Si，左下角的面积为S2,

当的长变化时，S「S2的值始终保持不变，求。与6的等量关系.

【思路点拨】

(1)根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；

(2)先根据整式的加减求出34+6B的值，再根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；

(3)设4B=x,先求出SiS，从而可得S1—S2，再根据“当AB的长变化时，S1一S2的值始终保持不变”

可知Si-52的值与x的值无关,由此即可得.

【解题过程】

解：(1)(2%—3)m+2m2-3x=2mx—3m+2m2—3x

=(2m—3)x—3m+2m2,

•・・关于x的多项式(2%—3)m+2m2—3x的值与x的取值无关,

2m—3=0,

解得m=

(2)令4=(2x+l)(x-l)-x(l-3y)=2%2-2%+x-l-x+3%y=2x2+3xy-2%-l,

B=—%2+xy—1,

原式=3Z+68=3(2/+3%y—2%—1)+6(—%2+xy-1)

=6x2+9xy—6%—3—6x2+6xy—6

=15xy—6x—9

=(15y—6)x—9,

•••34+6B的值与%无关，

•••15y—6=0,

解得y=I；

(3)解：设48=%,

由图可知，S1=a(x-3b)=ax—3ab,S2—2b(x—2d)=2bx—4abf

则Si-S2=ax-3ab—(2bx—4ab)

=ax—3ab—2bx+4ab

=(a-2b)x+ab,

・・•当AB的长变化时，Si-S2的值始终保持不变，

・•・Si—S2的值与％的值无关，

a-2b=0,

ct—2b.

学霸必刷

1.(2022春・贵州六盘水•七年级统考期中)已知。1，。2,。3，…，。2022均为负数，则M=31+。2+。3+…+

a2021)(a2+a3----卜。2022)，N=(%+。2+a3----卜a2022)(a2+a3----卜。2021)，则”与N的大小关系是

()

A.M=NB.M>NC.M<ND.无法确定

2.（2022秋・全国•七年级专题练习）设x,y为任意有理数，定义运算：x*y=（x+l）（y+1）-1,得到

下列五个结论：@X*y=y*X;@x*y+z=x*y+x*z；③（久+1）*（x—1）=X*X—1；@x*0=0;

⑤（比+1）*（久+1）=x*x+2*x+1.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2022春•江苏•七年级专题练习）设x+y+z=2020,且就^=疏齐=就［，则炉+炉+z3一3xyz=

（）

4.（2022春・江苏南京•七年级南京市人民中学校联考期中）如图，长为y（cm）,宽为x（cm）的大长方形被

分割为7小块，除阴影/,3外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm,下列

说法中正确的是（）

①小长方形的较长边为y-15；

②阴影/的较短边和阴影8的较短边之和为x-y+5；

③若x为定值，则阴影N和阴影B的周长和为定值；

④当％=15时，阴影/和阴影8的面积和为定值.

A.①③B.②④C.①③④D.①④

5.（2022春•浙江杭州•七年级统考期中）若a=255,b=344,c=433,d=522,则a,b,c,d的大小

（用（号连接）.

-V）（泊+H

（）的结果是.

7.（2022春・浙江杭州•七年级校考期中）如果（久-1）（久-2）（久-3）（久-4）+爪是一个完全平方式，那么

m—______

8.（2022秋・湖南长沙•七年级校联考阶段练习）若。+6+。=0,a3+b3+c3^0,贝U

23

a+b23+c23=.

9.（2022秋・上海•七年级专题练习）若a,b,c满足a+b+c-1,a2+b2+c2—2,a3+b3+c3-3,

则a4+/?4+C4=

10.（2022春•江苏•七年级专题练习）建党100周年主题活动中，702班潺潺设计了如图1的“红色徽章”其

设计原理是：如图2,在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为6的小正方形，构造了一个大正

方形ABCD,并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标.现将阴影部分图形面积记作Si，每一个边长

为匕的小正方形面积记作S2,若SI=6S2,贝吟的值是.

11.（2022秋•七年级课时练习）若（/+3小久-：）（/一3x+几）的积中不含有乂与炉项.

（1）直接写出小、九的值，即m,n-；

（2）求代数式（一2n尸+（9mn）2+（3加产14n2016的值.

12.(2020春・浙江杭州•七年级校考期中)回答下列问题：

(1)填空：

(a—b)(a+b)—；

(a-b)(a2+ab+b2)=；

(a—b)(a3+a2b+ab2+b3)=.

(2)猜想：

(a-b)(an-1+an-2b++abn~2+bn-1)=.(其中n为正整数，且九22)；

(3)利用(2)猜想的结论计算：

①21°+29+28+27+…+23+22+2；

②210-29+28-27+…-23+22-2.

13.（2022春・江苏•七年级专题练习）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+...+2202。+22。21的值，采

用以下方法：

设S=l+2+22+.•.+22020+22021①

贝112s=2+22+.•■+22021+22022②

②一①得，2S—S=S=22°22一1.

请仿照小明的方法解决以下问题：

（1）2+22+…+220=.

（2）求l+g+表+…++击=;

（3）求（-2）+（-2）2+…+（-2）1。。的和;（请写出计算过程）

（4）求a+2a2+3a3H--Fnan的和（其中a大。且aKl）.（请写出计算过程）

14.(2022秋・湖南永州•七年级校考期中)规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b),如果招=6.我们

叫(a力)为“雅对”.

例如：因为23=8,所以(2,8)=3.我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立.证明

如下：

设(3,3)=叱，(3,5)=71,贝归机=？，3n=5,故3m•3"=3巾+"=3x5=15,

则(3,15)=m+n,即(3,3)+(3,5)=(3,15).

(1)根据上述规定，填空：(2,4)=；(5,1)=；(3,27)=.

(2)计算(5,2)+(5,7)=,并说明理由.

(3)利用“雅对”定义证明:(2几,3与=(2,3),对于任意自然数几都成立.

15.(2022春・江西抚州•七年级统考阶段练习)我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项

式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从

大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式

为0或余式的次数低于除式的次数.

例：计算(8/+6x+1)+(2x+1),可依照672+21的计算方法用竖式进行计算.因此(8炉+6x+1)4-

(2x+1)=4x+1.

422x+l

——0

0

(1)(炉+4/+5x-6)+(x+2)的商是,余式是.

(2)利用上述方法解决：若多项式2/+4x3+ax2+8x-b能被久2-x+1整除，求小值.

(3)已知一个长为2),宽为(尤-2)的长方形若将它的长增加6,宽增加a就得到一个新长方形8,

此时长方形3的周长是/周长的2倍(如图).另有长方形C的一边长为(比+10),若长方形8的面积比C

的面积大76,求长方形C的另一边长.

16.(2022春・浙江金华•七年级校联考阶段练习)对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以

得到一个数学等式.例如图1可以得到(4+6)2=a2+2ab+b2,请解答下列问题:

(1)写出图2中所表示的数学等式；

(2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题:若a+b+c=15,ab+ac+be-35,则a?+b2+c2=；

(3)小明同学用图3中x张边长为。的正方形，y张边长为6的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸

片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形图形，则x+y+z=.

(4)如图4所示，将两个边长分别为。和6的正方形拼在一起，B,C,G三点在同一直线上，连接力G和

GE,若两正方形的边长满足a+%=12,ab=20,你能求出阴影部分的面积吗？

17.（2022秋・江苏常州•七年级校考期中）已知7张如图1所示的长为a,宽为6（a>b）的小长方形纸片,

按图2的方式不重叠地放在矩形力BCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示.设左上角与右下角

的阴影部分的面积的差为S.设BC=t.

（'1）用a、b、t的代数式表示S=.

（2）当BC的长度变化时，如果S始终保持不变，则a、b应满足的数量关系是什么？

（3）在（2）的条件下，用这7张长为a,宽为b的矩形纸片，再加上比张边长为a的正方形纸片，y张边

长为b的正方形纸片（x,y都是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），

则当x+y的值最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含匕的代数式表示）？并求出此时的x、y

的值.

18.（2022春・四川达州•七年级统考期末）把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行

拼图（重合处无缝隙）.

图1图2图3图4

（1）如图2,将四个基本图形进行拼图，得到正方形4BCD和正方形EFG”，用两种不同的方法计算图中

阴影部分的面积（用含。，6的代数式表示），并写出一个等式；

（2）如图3,将四个基本图形进行拼图，得到四边形MNPQ,求阴影部分的面积（用含0,6的代数式表示）;

（3）如图4,将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一

个长方形图形，若AB=b,BC把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为Si，S2,若m=Si-

52，求证：加与X无关.

19.（2022春•江苏泰州•七年级校考阶段练习）如图，4张长为x,宽为〉（x>y）的长方形纸片拼成一个边

长为（x+y）的正方形48CZX

（1）当正方形/BCD的周长是正方形EFGH周长的三倍时，求工的值；

y

（2）当空白部分面积是阴影部分面积的二倍时，求三的值；

y

（3）在（2）的条件下，用题目条件中的4张长方形纸片，机张正方形纸片和"张正方形麻HG纸

片（加，〃为正整数），拼成一个大的正方形（拼接时无空隙、无重叠），当加，〃为何值时，拼成的大正

方形的边长最小？

20.（2022春・广东佛山•七年级统考期末）