陕西省宝鸡市金台区2025届高三年级上册第一次模拟考试数学试题（含答案解析）

陕西省宝鸡市金台区2025届高三上学期第一次模拟考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={-2,-1,0,1,2},5={X|X2>1},则仅3)=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,2}D.{-1,1}

2.若复数z满足iz=l-3i,则目=()

A.VsB.V10C.5D.10

3.已知平面向量1=(2,1),1=(-2,4),若(2Z+3)M苏一可，则实数%=()

A.-1B.-2C.1D.2

若

4.sin(a-£)=J,且tana=2tan/?,则sin(a+/?)=()

6

A."1

D.---c.-D.-

2232

5.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活,

蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母

线长为2月n轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是面积为3百m2的等腰钝角三角形，则该蒙

古包的体积约为()

A.2171m3B.187rm3C.(18+3后)D.(20+3班)兀11?

-2

ax+2x-l(x>2)

已知函数丫是上的减函数，则实数。的取值范围是()

6.Id一5一R

试卷第1页，共4页

A.(一8,-1]B.8,—gIC.(-8,0]D.(-8,1]

7.函数/(%)=1口1-(：054%的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

8.定义在R上的函数/(x)满足〃0)=0,/(x)+/(l-x)=l,=且当

0WX]＜X2Wl时，/(xJW/Xw)，则/()

1111

A------B.----C.—D.—

2561286432

二、多选题

9.下列说法中，正确的是()

A.数据40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位数为32

B.已知随机变量4服从正态分布N(2,*),尸偌＜4)=0.84；则尸(2＜〈＜4)=0.34

C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为？=&+去；若5=2,元=1，页=3,

贝(I&=1

D.若样本数据占,/的方差为2,则数据2再-1,2尤2-1,…,2再。-1的方差为4

10.已知函数f(x)=d-x+1,则()

A./(x)有两个极值点

B.7(x)有一个零点

C.点(0,1)是曲线＞=/(x)的对称中心

D.直线＞=2x是曲线y=/(x)的切线

11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在

研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xQy中，4-2,0),5(2,0),

动点尸满足卢，4卜|尸目=5,其轨迹为一条连续的封闭曲线C,则下列结论正确的是()

A.曲线。与y轴的交点为(0,1)和(0,T)

B.曲线C关于x轴、夕轴对称，不关于原点。对称

C.点尸的横坐标的范围是[-3,3]

试卷第2页，共4页

D.|。尸|的取值范围为口,2]

三、填空题

12.一*;的展开式中常数项是.(用数字作答)

13.若斜率为6的直线与N轴交于点A,与圆/+(y-1)2=1相切于点B,则

.

14.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九

宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得

到了4个小格子中的准确数字，a/,c,d,e这5个数字未知，且6,d为奇数，则。+6>5的概

率为.

9a7

bcd

4e5

四、解答题

15.记V/BC的内角B,C的对边分别为a,b,c,已知sin/+Gcos/=2.

⑴求4

⑵若a=2,06sinC=csin23，求V/2C的周长.

16.已知椭圆C：]+/=1(。>6>0)的一个焦点为尸(2,0),且离心率为9.

(1)求椭圆。的方程；

⑵直线/：y=x+机与椭圆c交于4,2两点，若面积为百，求直线/的方程.

17.已矢口函数/(')=〃(e*+a)—x.

⑴讨论了(x)的单调性；

3

(2)证明：当a〉0时，/(x)>21m+—.

试卷第3页，共4页

18.如图，在四棱锥P-/8CD中，底面48CD为正方形，PA=PD=AB,E为线段的

中点，平面/EC，底面/BCD.

⑴求证：/E_L平面尸2。；

（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

19.中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”

得主，并十度成为世界冠军，2023年在杭州第19届亚运会上女排再度获得冠军.她们那种

团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋

进提供了强大的精神力量.如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，各行各业的人们在女排精

神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏.某中学也因此掀起了排球运动的热潮，在一次排

球训练课上，体育老师安排4人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一

个矩形（如图），已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为（，传给对角线上的同学的

概率为g,由甲开始传球.

（1）求第3次传球是由乙传给甲的概率；

（2）求第"次传球后排球传到丙手中的概率;

⑶若随机变量％服从两点分布，且尸（X,=1）=1-尸（X,=0）=2，:1,2,…，n,则

记前〃次（即从第1次到第〃次传球）中排球传到乙手中的次数为y,求

Ii=\);=1

E(Y).

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BBDDCABDBCABC

题号11

答案AC

1.B

【分析】根据补集结合一元二次不等式求备5,再根据交集运算求解.

【详解】因为3={尤>1},则”={X|，V1}={X|-1VXM1},

所以41佃8)={-1,0,1}.

故选：B.

2.B

【分析】利用复数除法化简，然后由复数模公式可得.

【详解】因为匕=1-3i,所以z=上曰■=

1

所以闫=J(一3丫+(-1)2=丽.

故选：B

3.D

【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示求解.

【详解】因为：=(2,1),方=(-2,4),

所以2a+B=(2,6),Aa—b—(22+2,2—4),

因为(20+否)_1_(/10-3),

所以(2公+可—可=(2,6>(22+2,；1—4)=4/1+4+6/1—24=0,

解得2=2.

故选：D

4.D

【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算sinacos民coscsin/?,再根据和角公

式计算即可.

【详解】因为sin((z-夕)=sinacos。-costzsin夕=—,

答案第1页，共15页

sina2sin尸.

又tana=2tanp,即----=------,则sinacos4=2cosasmp,

cosacos/3

所以sinacos=—,cosasin/3=—

36f

故sin(a+力)=sinacos/3+cosasinp=—+—=—.

362

故选：D

5.C

【分析】根据题意求圆锥的高和底面半径，再结合锥体、柱体体积运算求解.

【详解】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为«<71,

r

因为其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是腰长为2百m,面积为3扇2的等腰三角形,

所以工产sina=Lx(267xsina=38,解得sina=也，则a==或a=«(舍去),

22'/233

由a=型得力=/cos—=2A/3xcos—=V3,r=Zsin—=2出xsin—=3,

32323

2

则上半部分的体积为g兀/〃=|TCX3XV3=36ml2,下半部分体积为兀/〃=18re,

33

故蒙古包的体积为(18+3君)7im3.

故选：C.

6.A

【分析】首先由题意有/(2)=-1,若/'(x)是R上的减函数，故只需当x>2时，

/(x)=aY+2xT单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可.

【详解】当x42时，/*)=&］一：单调递减，asR,且/(x)最小值为"2)=-1,

当x>2时，当。=0时，f(x)=2x7单调递增，不符题意，

又注意到/(x)是R上的减函数，

故只能抛物线/(x)=江+2x-1的开口向下即0<0,其对称轴为x=」，

答案第2页，共15页

。<0

则由题意有-,解得

a

cix2?+2x2--1

故选：A.

7.B

【分析】函数/(x)=lnx-cos4x的零点个数，即函数g(x)=lnx与〃(尤)=cos4尤(x>0)的图

像在区间(0,+8)上的交点个数，作函数图像，利用数形结合求解.

【详解】函数/（x）=lnx-cos4x,定义域为（0,+<»）,

令g（x）=lnx,h（x）=s*cos4x（x>0）,

函数〃尤)=Inx-cos4x的零点个数即函数g(x)与"(x)的图像在区间(0,+。)上的交点个数,

作出函数g(x)与〃(X)的图像，如图所示,

In—<1,hcos271=1,

2

g（兀）=ln兀>1,h（7i）=COS4TI=1,g（兀）〉"（兀）,

函数g(x)与〃(x)的图像在区间(0,+e)上有3个交点，即函数"X)=lnx-cos4x的零点有3

个.

故选：B

8.D

【分析】先由已知条件求出一些特值，/(1)=1,〃!)=；，反复利用/j)=，x)，可得

八人"高)=M再由盘］与/舄?)、/［盘］与〃高)的大小关系从而

得出结论.

【详解】•••/(0)=0,/(x)+/(l-x)=l,

令x=l得：/⑴=1,又/(1)=5(x)n/(H

反复利用公)=g/(x)可得：

答案第3页，共15页

f(-----)=—f()=—f()=—f(—)=—f(­)=—①，

31252625412582516532一

再令X=g,由/(x)+/(1)=l,可求得吗)=；,

同理反复利用/(|)=可得：

f(-----)=—f()=—f(—)=—f(—)=—f(1)=—②,

1250225045081016232

由①②可得：有〃三次)='(?］葛)==,

-m"#小2)，而°<自/蒋(1'

所以"2024””3125)F'”2024)'"1250)=豆'

故〃一1一)」.

202432

故选：D.

9.BC

【分析】根据第50百分位数为中位数判断A,根据正态分布的性质判断B,根据回归直线

方程的性质判断C,根据方差的性质判断D.

【详解】对数据排列：27,30,31,32,38,40,列54,因为第50百分位数为中位数，所以50百

分位数为35,故A错误；

因为随机变量4服从正态分布N(2,*),尸(4<4)=0.84,所以尸(算4)=0.16,所以

P(^<0)=0.16,所以P(0<J<4)=0.68,所以P(2<4<4)=0.34,故B正确；

因为5=2，x=1,y=3,贝U2=歹一宸=3—2=1,故C正确；

因为样本数据占，…，%的方差为2,所以数据2再-1,2%-1,…,2/-1的方差为232=8,

故D错误.

故选：BC.

10.ABC

【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB；

根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C；根据导数的几何意义即可

判断D.

【详解】A：r(x)=3x2-l,

答案第4页，共15页

令r(x)＞0得x＞立或一且，令八x)＜0得一立＜x3,

3333

所以/(X)在(一8，一日)，(等,+◎上单调递增，(-g,g)上单调递减，

所以x=土立时取得极值，故A正确；

3

B：因为=]+与＞0,/(%=＞与＞0,/(-2)=-5＜0,

所以函数/(X)只在-甩-上有一个零点，即函数/(X)只有一个零点，故B正确；

\7

C：令〃(x)=xJx,该函数的定义域为R,，(-x)=(-尤了-(-x)=-X，+尤=-〃(x),

则〃(X)是奇函数，(0,0)是〃(x)的对称中心，将a(x)的图象向上移动一个单位得到了(X)的图

象，

所以点(0,1)是曲线了=/(%)的对称中心，故C正确；

D：令/'(x)=3*-l=2,可得x=±l,又/⑴=

当切点为(1,1)时，切线方程为了=2x-l,

当切点为(T，D时，切线方程为P=2x+3,故D错误.

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其中

选项C,构造函数〃(x)=/-x,奇函数图象关于原点对称推出“X)的对称性是解决本题的

关键.

11.AC

【分析】根据题意，求得曲线C的轨迹方程为舟+产=J16/+25-4，利用轨迹方程，结合

选项，逐项判定，即可求解.

【详解】解：设点尸(x,P),因为|上4卜|尸理=5,[(x+2)2+.[(x-2)2+/]=25,

整理得：f+j?=。6工2+25-4,

对于A中，当x=0时，解得y=±l,即曲线C与y轴的交点为(0,-1),(0,1),所以A正确；

对于B中，因为x2+j?=，16/+25-4,

用-y替换歹，方程不变，则曲线C关于x轴对称，

用-x替换x,方程不变，则曲线C关于夕轴对称，

答案第5页，共15页

同时用-无替换X,用-y替换V,方程不变，可得曲线c关于原点对称，所以B错误;

对于C中，因为―+丁=&6八25-4,即可得j?=J161+25-4-/20,

即J16尤2+2524+X?，BPX4-8X2-9<0>解得04/<9，

即-3WxW3,所以点尸的横坐标的取值范围是[-3,3],所以C正确；

对于D中，因为|。尸"犬+"=]16/+25-4,

由C项知-3WxW3,所以故1<|。尸|<3,所以D错误.

故选：AC.

12.-40

【分析】利用二项式展开式的通项公式求出指定项即可.

【详解】由12/的展开式的通项得:

=(-l)rC；25-r?5-5\

令15-5r=0,得1=3,故为=-C；2?=-40.

故答案为：-40.

13.V3

【分析】设直线N5的方程为y=Gx+6,则点/（。）），利用直线与圆一+5-1）2=1相

切求出6的值，求出|/C|,利用勾股定理可求得|/却.

【详解】设直线48的方程为y=6x+b,则点/（0）），

由于直线与圆/+&一1）2=1相切，且圆心为C（0,l）,半径为1,

则也”=1,解得方=-1或6=3,所以|/C|=2,

因为忸c|=i,故|明=卮问所二君.

故答案为：百.

14.2

3

【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可；

【详解】这个试验的等可能结果用下表表示：

abcde

答案第6页，共15页

21638

21836

61238

61832

81236

81632

23618

23816

63218

63812

83216

83612

共有12种等可能的结果，其中。+6>5的结果有8种,

所以a+b>5的概率为：=|.

2

故答案为：

JT

15.(1)^=-

(2)2+76+3^

【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin/+Gcos/=2进行化简处理即可求解，常规方法

还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决;

（2）先根据正弦定理边角互化算出8,然后根据正弦定理算出瓦c即可得出周长.

【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）

由sin/+抬'cos/=2可得-sin4+也^cosA=1,即sin（/+三）=1,

223

-r*//c、.71,714兀、.,/兀兀,.71

由t于《€（0,兀）=>4+；€（二,-^）,故/+彳=彳，h解TX/x得=/

333326

答案第7页，共15页

方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）

由sin4+6cos4=2,Xsin2A+cos2A=1f消去sinZ得到：

4cos2A-4y/3cosA+3=0<^=>(2cosA-A^)2=0,解得cos4=^^,

IT

又Ze(0,兀)，故/

6

方法三：利用极值点求解

设/(x)=sinx+Gcosx(0<x<兀)，则/(x)=2sin[x+<x<兀)，

显然x——时，/(x)max=2,注意到/(4)=sinA+V3COSA=2=2sin(/+—),

63

/(%)max=/■)，在开区间(0,兀)上取到最大值，于是必定是极值点，

即/'(/)=0=cos/sin/,BPtanA=,

又/£(0,兀)，故力

6

方法四：利用向量数量积公式(柯西不等式)

设。=(1,=(sin4cos4),由题意，a-b=sinA+V3cosA=2

根据向量的数量积公式，屐3=同|年荻,3=2cos(％乡,

贝(J2cos落3=2ocos"B=1,此时点1=0,即同向共线，

巧

根据向量共线条件，l.cosZ=6・sinZ=tan4=——，

3

又Ze(0,兀)，故/=F

6

方法五：利用万能公式求解

设/=12!1(，根据万能公式，sinN+Aos/=2=同二),

21+r1+Z2

整理可得，》一2(2-扬/+(2-⑻2=0=(7-(2-囱了，

解得tan《=/=2-百，根据二倍角公式，tan/=P=巫，

2I-r3

又Ze(0,兀)，故/=?

(2)由题设条件和正弦定理

41bsmC=csin28o逝sinSsinC=2sinCsinBcosB<

答案第8页，共15页

又瓦Ce（O,兀）,则sinBsinCwO,进而cos3=变，得到3=巴,

24

7兀

于是。=兀-4—B=—,

一12

V2+V6

sinC=sin（兀一4-5）=sin（4+5）=sin4cosB+sinBcosA=

4

2bc

abc==z-

由正弦定理可得,——-=—~„，艮Rfln.兀•兀.7兀,

sinZsin5sinCsin—sin—sin——

6412

解得b=2\/2,c=A/6+应，

故V4BC的周长为2+a+次历

16.（1）—+4=1

62

（2）y=x±2

【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求出a，c,从而求出6,即可求解方程;

（2）联立直线与椭圆方程，韦达定理求出弦长，利用点到直线的距离求出高，根据面积建

立方程求解即可.

【详解】（1）由焦点为尸（2,0）得c=2,又离心率6=二="，得到°=指,

a3

所以〃=4—/=6—4=2,所以椭圆。的方程为二+^=1.

62

（2）设力（久1，%），8（%2，、2），

卜-—1

联上V62，消>得4/+6冽x+3冽之一6二0,

y=x+m

22

A=36m—16（3加2_6）=—12加2+96>0,得至|Jm<s,

3m3m2-6

由韦达定理得,玉+工2=一号-，西工2二一；一

又因为=J1++2民-xj=+%

H

又原点到直线的距离为〃=7F

所以S.ABO=J.小|=gx-7=x-^Vs-rn~4见8_”彳）^Ti,

所以〃/-8〃/+16=0,所以加2=4,即机=±2,满足〃/<8,

所以直线/的方程为y=x±2.

答案第9页，共15页

17.(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)先求导，再分类讨论aW0与a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即

可得解；

(2)方法一：结合(1)中结论，将问题转化为Ina>0的恒成立问题，构造函数

g(«)=a2-1-ln«(«>0),利用导数证得g(a)>0即可.

方法二：构造函数〃(x)=e*-x-l,证得e'Nx+l,从而得到/(x)2x+lna+l+/-x,进

而将问题转化为/>0的恒成立问题，由此得证.

【详解】(1)因为/(x)=a(e*+a)-无，定义域为R,所以/'(x)=ae-l,

当a«0时，由于e、>0,贝！UlVO,故/'(x)=〃e、—1<0恒成立，

所以/(“在R上单调递减；

当〃〉0时，令/'(%)=〃廿一1=0,解得x=-lna,

当》<-ln〃时,/,(%)<0,则在(-8,-In。)上单调递减;

当x〉—In〃时，r(x)>0,则/(x)在(—Ina,+8)上单调递增；

综上：当时，/(x)在R上单调递减；

当〃〉0时，/(x)在(-8,-Ina)上单调递减，/(x)在(-Ina,+8)上单调递增.

(2)方法一：

由(1)得，/(工上出=/(一Ina)="e"11"+Q)+ln〃=1+/+]n〃，

331

要证/(x)〉21na+—,即证1+/+1口。〉21n“d■—,即证"----ln«〉0恒成立，

222

答案第10页，共15页

令g(〃)=〃2—彳―In”(a>0),则g，(q)=2〃=——-，

2aa

令/⑷<0,则0<"冬令g，(a)>0,贝0>亨；

所以g(。)在0,半上单调递减，在宁,+8上单调递增，

(万、(5、1卜

所以g(a)m,n=g苧=拳-L-ln^=ln^>0,则g(a)>0恒成立，

11111I2JI2J22

3

所以当。>0时，/(x)〉21n〃+5恒成立，证毕.

方法二：

令〃(x)=e"-x-1,则"(x)=e"一1,

由于>=/在R上单调递增，所以"(x)=e“-1在R上单调递增，

又/(0)=e。-1=0,

所以当x<0时，/?"(%)<0；当%>0时，Az(x)>0；

所以“X)在(-*。)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

故〃(x)2〃(O)=O,则e-x+l,当且仅当x=0时，等号成立，

因为/(%)=Q(e"+〃)-1=aex+a2-x=Qx+]na4-^2-x>x+lna+l+tz2-x,

当且仅当x+lna=0,即x=-lna时，等号成立，

331

所以要证/(x)>2Ind!+—,BPffix+lntz+l+4Z2-x>21ntz+—,即证〃之一,一出〃>0,

令g(〃)=〃2—彳—ln〃>0),则g'(q)=2〃=——-,

2aa

令/⑷<0,则令g，(a)>0,贝卜〉日；

所以g(〃)在0,半上单调递减，在十,+8上单调递增，

(5、(万丫16

所以g(a)min=g苧=拳-y-ln^=ln^>0,则g(a)>。恒成立，

I2JI2722

3

所以当〃>0时，/(x)〉21n〃+5恒成立，证毕.

答案第11页，共15页

18.(1)证明见解析

⑵泽

【分析】(1)先证明8。1平面/EC,所以5£)_1他，又因为4P=/8,£为尸5中点，所

以4ELPB,由线面垂直的判定即可得证；

(2)建立空间直角建系，不妨取NB=2,得出平面PBC的法向量，利用空间向量求解即可.

【详解】(1)因为平面/EC_L平面/BCD,且平面力£。1平面488=/。，

BDLAC,3Ou平面/BCD,所以8。1平面/EC,/£u平面NEC,所以

又因为4P=/B,E为P8中点，所以/E_LPB,

又PBcBD=B,PB,BDu平面PBD,所以N£_L平面尸8D；

(2)设点P在底面48CD的射影为点。，则尸。上平面ABC。，

又/。u平面N3CD,所以尸Q_L4D,取/。中点

因为尸工=尸。，所以4DJ_W,

又PQcPM=P,20,尸加＜=平面尸°朋\所以4。，平面尸0M,

因为0Mu平面尸。所以/。，加，即。在/O的中垂线上，

如图建立空间直角建系，不妨取/8=2,

则设尸为(,S),a2+b2=3,/(2,0,0),8(2,2,0),

所以存=[—1],丽=(2,2,0),通=(0,2,0),

由(1)可知瓦.丽=0，计算得。=-1,b=4i，所以尸收)，

又无=(2,0,0),CP=(1,-3,V2),

设平面PBC的法向量为比=(x,y,z),

m-CB=Q2x=0/i—\

则一，即f+后=0'取而=(®，

m-CP=0

2拒

2x72+911

答案第12页，共15页

【分析】（1）设第"次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为。“也,c“Z，”eN*,

2124

得到%=0,4=]勺=94=）,求出仇=石，从而得到第3次传球是由乙传给甲的概率；

（2）求出。“也N*之间的关系式，联立后得到a,-c.,bn=dn,进而得到

工+1-口一是以一3为首项，公比为一1的等比数列