浙江省强基联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省强基联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，，可得.故选：A.2.“是等腰三角形”是“是等边三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为等腰三角形不一定是等边三角形，所以“是等腰三角形”推不出“是等边三角形”，又等边三角形一定是等腰三角形，所以“是等边三角形”可以推出“是等腰三角形”，所以“是等腰三角形”是“是等边三角形”的必要不充分条件.故选：B.3.不等式的解集是（）A. B.或C. D.或【答案】C【解析】原不等式等价于，即.故选：C.4.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命题“，”的否定是“，”.故选：C.5.不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为不等式对于任意恒成立，所以，即，解得.故选：D.6.已知全集，集合，，，则阴影部分对应的集合是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得到，所以，由，得到，所以，又，得到或，由图可知阴影部分对应的集合是集合，又，所以.故选：D.7.已知，，，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于选项A，由，可得，又，，所以，即，所以选项A错误，对于选项B，由，，可得，所以，所以选项B错误，对于选项C，取，，，，显然满足条件，但，所以选项C错误，对于选项D，因为，得到，又，得到，所以选项D正确.故选：D.8.若，，则的最小值为（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】，当且仅当，时取到最小值.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】集合为点集且都在直线上，故选项A错误，选项B正确；由，，选项C、D正确.故选：BCD.10.已知关于的方程，则（）A.当时，方程只有一个实数根B.是方程有实数根的必要不充分条件C.该方程不可能有两个不等正根D.该方程不可能有两个不等负根【答案】AC【解析】对于A，时，方程只有一个实根，A正确；对于B，方程有实数根，则，即，解得或，因此是方程有实数根的充分不必要条件，B错误；对于C，若方程二根为则，，不可能有两个不等正根，C正确；对于D，当时，方程有2个不等负根，D错误.故选：AC.11.若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】原不等式等价于，根据的正负讨论，当时，解集为，则成立；当时解集中没有0，不合题意，时，解集不可能为不合题意，故.故选：AD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.设，，，，若，则____________．【答案】【解析】，，，，，，，，，.13.已知，，则的取值范围为________．【答案】【解析】因为，所以又，两式相加可得14.若方程有且仅有一个实数解，则实数取值集合为______.【答案】【解析】方程有且仅有一解等价于有一个不等于3的实数解.当时，解为，满足题意；当，且只有一解时，由，得到，解得，又时，的解为，满足题意，当时，且有两解时，由，解得，综上，实数取值集合为.四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由，得，所以.（2）由，得，所以.16.解下列不等式（组）：（1）；（2）；（3）.解：（1）由题意得：，解得，故不等式的解集为.（2）由题意得：解得，故不等式组的解集为.（3）由题意得：，得：，无解，故不等式的解集为.17.为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查.（1）小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围；（2）某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数.解：（1）由题意得，且，解得，故的取值范围为.（2）设只玩的人数为，由图得，解得，则人.故班上这三种游戏都不玩的同学有28人.18.现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为.（1）若要使窗户面积不小于2平方米，求的取值范围；（2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好.（i）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？（ii）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由.解：（1）设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，，所以，又矩形面积，解得，故的取值范围为.（2）（i）设地板面积为，解不等式组，解得，故当时，窗户面积最小，此时由（1）可得或.故当为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米.（ii）设和分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，，则.因为，，所以.又，所以.因此，即.所以窗户和地板同时增加相等面积，采光条件变好了.19.已知二次函数（，且）.（1）若，求该二次函数的最大值；（2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值；（3）若，，，恒成立，求的取值范围.解：（1）当时，，当时，函数有最大值，最大值为2.（2）设，，由题知，是方程的两个相异根，则，得到，由韦达定理知，，令，得到，所以，又，所以，解得，故的值为1或.（3）因为，则，当且仅当时取等号，由题有在恒成立，即恒成立，又，则，即，解得，故的取值范围为.20.设数集满足：①；②，且，有，则称数集具有性质.（1）判断集合，是否具有性质，并说明理由；（2）证明：集合具有性质；（3）求满足性质的所有三元素集.解：（1）若，，则，故集合不具有性质；集合中元素均为整数，满足①，且，，，满足②，故集合具有性质.（2）证明：①，；②且，，则集合具有性质.（3）